Квантовомеханический случай

Трудности, встречающиеся в только что рассмотренном специальном примере, имеют место и в классическом случае. В гл. 5, 6 ) было показано, что если потенциал обладает свойством (12.209) и — а> J , то классическая частица будет по спиральной траектории двигаться к началу координат и ее угол рассеяния будет равен бесконечности. При этом сечение рассеяния можно определить только для обедненного пучка частиц, в котором отсутствуют частицы с угловыми моментами J С, V — о.. При формальной замене J на / 1/г мы приходим к квантовомеханическому случаю. [c.366]

Если перенести все это на квантовомеханический случай, то мы получим [c.96]

Покажем это на примере канонического распределения (см. также гл. 2, 3). Рассмотрим квантовомеханический случай обобщенная сила X, сопряженная обобщенной координате х, входящей в гамильтониан (р, д, х), определяется соотношением [c.40]

Обобщение нашего основного результата (4.10) на квантовомеханический случай здесь рассматриваться не будет. [c.227]

Квантовомеханический случай. От рассмотренной классической теории легко перейти к квантовомеханическому случаю. При этом функция распределения заменяется матрицей плотности р, скобки Пуассона — оператором коммутирования, а фазовое интегрирование — операцией свертки. В результате уравнение (2.5) перейдет в [c.361]

В отличие от классического случая для квантовомеханического вектора момента количества движения, кроме величины модуля, может быть определена только одна его проекция на некоторое выделенное в пространстве направление. Спектр возможных [c.63]

Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания системы. Описание же с помощью волновой функции г1 (х) является частным случаем, отвечающим матрице плотности [c.191]

Рассмотрим теперь квантовомеханическое описание такой же системы N взаимодействующих частиц. Для простоты ограничимся случаем, когда система свободна от воздействия внешнего поля, т. е. = 0. В обычном координатном представлении гамильтониан опять имеет форму (2.4.1), но теперь является оператором. В частности, кинетическая энергия сохраняет вид (2.4.2), причем [c.70]

Преимущества представления когерентных состояний становятся очевидны при работе с квантовомеханическими операторами. Как мы увидим, такие операторы могут быть представлены функциями комплексных переменных, которые отражают все квантовые свойства динамических переменных. В статистической механике особую важность приобретает то обстоятельство, что аналогичное представление может быть введено также и для статистических операторов. Для простоты в дальнейшем ограничимся случаем одной степени свободы, описываемой бозе-операторами Ь и. Обобщение на многочастичные бозе-системы оставим читателю в качестве упражнения. [c.145]

Значительно сложнее определить потенциальную кривую для состояния 2. Это состояние является отталкивательным за исключением области расстояний, в которой превалируют дисперсионные силы. Взаимодействия такого типа не приводят к образованию стабильных молекул и поэтому не могут быть изучены спектроскопическими методами. Выполнение же достаточно строгих квантовомеханических расчетов чрезвычайно сложно. Поэтому в работе [7] использовался приближенный метод. На малых расстояниях взаимодействие определяется в основном кулоновскими и обменными силами для этого случая справедливо соотношение [c.366]

СИЛЫ. Выполнив усреднение по квантовым флуктуациям и квантовомеханическому состоянию системы, получим полуклассические уравнения для двухфотонного лазера. Эти уравнения можно рассматривать как прямое обобщение уравнений однофотонного лазера. Хорошим упражнением для читателя было бы перенесение других методов, например метода матрицы плотности или подхода, основанного на уравнении Фоккера—Планка, на случай двухфотонного лазера. Необходимые для этого первые шаги будут указаны в следующем разделе. [c.317]

Полученное только на основании соображений симметрии уравнение (1.22-9) показывает, что эффекты второго порядка (например, получение второй гармоники и суммарных и разностных частот) не могут возникать в системах с центром инверсии. Однако, поскольку описание именно этих эффектов является особенно важным, мы не будем рассматривать модели, построенные по типу атома водорода или щелочного металла (обладающего инверсионной симметрией). Вместо таких моделей мы воспользуемся моделью, в которой центр тяжести оптического электрона расположен вне центра сферически симметричной системы (скажем, на оси х). Такое эксцентрическое положение равновесия определяется молекулярными или кристаллическими силами. Далее мы примем, что рассматриваемый оптический электрон в молекулярной или кристаллической системе принадлежит к электронам, образующим связь. Зависимость потенциальной энергии от смещения центра тяжести размазанного облака заряда оптического электрона определяется электростатическими и квантовомеханическими силами, обусловленными всеми взаимодействующими с ним носителями заряда, а также симметрией молекулы или кристаллической решетки предсказание детального хода потенциала для общего случая сделать невозможно, так как при тех или иных конкретных условиях могут иметь место самые разнообразные потенциальные функции. Однако возможно указать общее свойство интересующих нас типичных потенциальных функций по порядку величины квадратичные силы приближаются к линейным силам, если смещение центра тяжести достигает значения межатомного расстояния (Р 10- о м). Для силовых постоянных имеет место соотношение [c.111]

Для этого случая квантовомеханическое полное эффективное сечение равно 4яа , или в четыре раза больше классической величины. Даже в классическом пределе, X < а, полное эффективное сечение равно удвоенной классической величине, что обусловлено [c.166]

Для полей, представляемых оператором плотности (9.12), все средние от нормально упорядоченных произведений операторов можно вычислять по формулам, которые, как и в случае одной моды, очень похожи на формулы классической теории. Так, в этих вычислениях параметры а играют почти такую же роль, как случайные фурье-амплитуды поля в известной классической теории СВЧ шумов [17]. Весовая функция Р ( а ) играет при этом роль, аналогичную распределению вероятности для фурье-ампли-туд. Хотя это сходство оказывается весьма полезным при вычислениях, а также помогает разобраться в применении принципа соответствия, не следует забывать о том, что в общем случае функция Р ( оа ) является квантовомеханической величиной. Она может принимать отрицательные значения и точно не интерпретируется как распределение вероятности, за исключением классического предельного случая сильно возбужденных или низкочастотных полей. [c.103]

Теперь мы должны исследовать, как преобразовать квантовомеханические уравнения из пространственного представления в представление чисел заполнения. Для этого рассмотрим простейший случай оператора Я, который составлен аддитивно иэ одночастичных операторов Л (г,) Я = Л (г,). Он может [c.360]

Истинное физическое резонансное явление обусловлено захватом падающих частиц рассеивателем аналогично классическому случаю закручивания (см. гл. 5, 4). Его квантовомеханическое объяснение основано на том, что при определенных длинах волн в области мишени могут возникать почти стоячие волны, так что резонанс тесно связан со случаем, возникающим в теории электромагнетизма и обсуждавшимся в гл. 3, 3, п. 1. То обстоятельство, что падающие частицы почти полностью захватываются, указывает не существенную роль, которую играет в рассматриваемом явлении запаздывание их появления в качестве рассеянных частиц. Несмотря на то что в эксперименте обычно наблюдается только пик, для явления в целом время запаздывания столь же существенно, как и большая величина сечения. По причинам практического порядка в соответствующих экспериментах время появления рассеянных частиц обычно не измеряется и часто считается, что наличие любого резкого максимума в сечении служит на самом деле доказательством существования резонанса. Но это предположение оправдывается только в том случае, когда пик имеет ширину, меньшую той, которую было бы разумно ожидать на основе принципа причинности при уменьшении фазы. В последнем случае ширина пика равна приблизительно размерам энергетической области, в которой фазовый сдвиг изменяется на л поэтому [c.294]

Данная аргументация, будучи основана исключительно на сохранении потока, является по существу классической. При квантовомеханическом подходе мы должны ожидать, что близость порога нового процесса скажется уже тогда, когда переходы в новый канал энергетически еще невозможны. Это происходит потому, что могут иметь место виртуальные переходы, влияние которых тем сильнее, чем меньше они нарушают сохранение энергии. Поэтому не следует удивляться, если на пороге наклон старых сечений как функций энергии будет бесконечен при приближении к порогу и сверху, и снизу. Таким образом, сечения могут обладать поведением типа а , б , в или г (фиг. 17.8). Первые два случая соответствуют появлению пиков, остальные — сглаженных ступенек. [c.490]

Таким образом, для предельного случая бесконечных температур решетки полуклассический расчет релаксации формально эквивалентен квантовомеханическому. [c.268]

Общее выражение для Тх в предположении существования спиновой температуры найдено ниже в связи с задачей теории ядерной релаксации в металлах. Эта задача будет рассмотрена в первую очередь в качестве лучшей иллюстрации случая, когда важную роль играют квантовомеханические свойства решетки . [c.331]

Заметим, что и здесь в конечном счете связь должна иметь электростатическую природу. Однако сам способ, посредством которого проявляется электростатическое притяжение, оказывается теперь настолько отличным (например, от случая ионных кристаллов), что подобный тип связи получил особое наименование. Более строгий квантовомеханический вывод вандерваальсовского взаимодействия дан в задаче 1. [c.21]

Легче всего наглядно представить себе такие точечные дефекты, как отсутствующие ионы (вакансии), избыточные (междоузельные) ионы или же ионы другого типа (примеси замещения). Не столь очевиден случай, когда ион в идеальном кристалле отличается от своих соседей только возбуждением электронного состояния. Такой дефект называется экситоном Френкеля. Поскольку в возбужденном состоянии может находиться любой ион, а между внешними электронными оболочками ионов имеется сильное взаимодействие, энергия возбуждения может в реальной ситуации передаваться от одного иона к другому. Следовательно, перемещение экситона Френкеля по кристаллу не связано с изменением положения ионов, поэтому он (как и полярон) имеет гораздо большую подвижность, чем вакансии, междоузельные атомы и примеси замещения. В большинстве задач вообще не имеет смысла считать экситон локализованным. При более строгом описании электронную структуру кристалла, содержащего экситон, представляют как суперпозицию квантовомеханических состояний, в которой возбуждение с равной вероятностью может быть отнесено к любому иону в кристалле. Последний подход связан с представлением [c.244]

Случай в = Q. Это случай полностью вырожденной системы. Нам предстоит, по существу, рассмотреть квантовомеханическую задачу о системе N ферми-частиц, находящихся в объеме V, т.е. выяснить структуру и энергетические характеристики основного состояния системы, а также простейшего типа возбужденных ее состояний. (Заметим, что при 0 = О в смешанном состоянии w для любой статистической системы остается только одно основное состояние, и все статистические средние по Wn превращаются в средние по этому основному состоянию.) [c.152]

Результаты предыдущей главы имеют много физических применений. Очевидно, что классификация собственных векторов по симметрии является полезной сама по себе. Затем свойства симметрии собственных векторов можно использовать в разного рода тензорных вычислениях аналогично более известному квантовомеханическому случаю, который будет обсуждаться ниже в гл. 11, где нужно вычислить матричные элементы, являющиеся интегралами от произведений функций. В классической динамике решетки реализуется похожая ситуация. В ней при определении свертки оператора с собственными векторами возникают величины, напоминающие матричные элементы. Такая свертка похожа на скалярное произведение, и получаются соотношения, напоминающие формулу Вигнера — Экарта. Такое рассмотрение допускает максимальное использование симметрии, в частности если имеются в распоряжении соответствующие коэффициенты Клебша — Гордана. Как следует из 18, 60 и т. 2, 16, коэффициенты Клебша — Гордана для пространственных групп стали публиковаться только в последнее время, но можно надеяться, что они будут вычислены в большом количестве в ближайшем будущем,- Использование тензорного анализа упрощает расчеты такого рода и показывает, что рассматриваемые метричные элементы можно представить в виде произведений приведенных матричных элементов на множители, полностью определяемые симметрией. [c.298]

ЧИСТОЕ СОСТОЙНИЕ—состояние квантовомеханич. системы, к-рое характеризуется заданием полного набора возможных значений динамич. переменных, определяющих состояние системы. Ч. с. описывается волновой функцией от этих переменных и является одним из осн. понятий квантовой механики. Суперпозиция волновых ф-ций (т. е. их сумма с произвольными комплексными коэф.) также описывает Ч. с. системы. Обычно Ч. с. называют просто квантовомеханическим состоянием, хотя в квантовой механике есть более общий случай—смешанное состояние. [c.459]

В случае перехода с изменением мультиплетности (например, l S->2 S в Не см. рис. 6.5) борновское приближение дает нулевое сечение в любом порядке разложения экспоненты ехр[г(к-г)]. Действительно, в таком переходе происходит изменение спина, в то время как в рамках борновского приближения падающий электрон через электростатическое взаимодействие с ним может оказывать влияние лишь на орбитальное движение атома, а не на его спинТеория для этого случая разработана Вигнером, а ее исходным постулатом служит тот факт, что при столкновении должна сохраняться сумма полного спина атома и спина падающего электрона, но не обязательно спина непосредственно атома. Следовательно, переходы могут осуществляться за счет столкновения с обменом электронами, когда налетающий электрон замещает электрон атома, участвующего в переходе, и этот электрон в свою очередь вылетает из атома (однако в процессе столкновения оба электрона квантовомеханически неразличимы). Для сохранения полного спина спин на- [c.142]

Чтобы глубже понять механизмы, участвующие в возбуждении посредством передачи энергии, рассмотрим несколько вопросов, связанных с квантовомеханическим вычислением адв. В процессе переноса энергии, который в действительности происходит следующим образом когда частица А приближается к частице В, между ними происходит взаимодействие, которое может быть описано потенциальной энергией взаимодействия. Эта энергия может быть либо энергией притяжения (см. рис. 2.23), либо энергией отталкивания (см., например, рис. 6.25) в зависимости от того, стремятся ли две частицы сблизиться или оттолкнуться друг от друга. Рассмотрим эту двухчастичную систему как целое. Потенциал взаимодействия обозначим как t/(г,-, R ), где г,- и R координаты соответственно электронов и ядер двухчастичной системы. Заметим, что, когда двумя сталкивающимися частицами являются атомы, единственной интересующей нас ядерной координатой является межъядерное расстояние R. Однако если частицы — это молекулы, то потенциал взаимодействия будет также зависеть от взаимной ориентации двух молекул. Чтобы упростить обсуждение данного вопроса, ограничимся рассмотрением случая сталкивающихся атомов. Во время столкновения межъядерное расстояние R будет меняться во времени [т, е. = / (/)], что приведет к зависящему от времени потенциалу f7(r,-, R t)) = = U Ti, t). Для атомов, которые отталкиваются друг от друга, функция U t), по-видимому, будет иметь общий вид, показанный на рис. 3,26, а порядок величины времени столкновения Лтс можно найти из выражения (2.61). Поскольку мы рассматриваем двухатомную систему как целое, будем считать, что волновая функция i 3i начального состояния (т. е, до столкновения) соответствует ситуации, когда атом А находится в возбужденном состоянии, а атом В — в основном состоянии. Иными словами, 1 з, = где г13д. и iljg — волновые функции двух [c.154]

Расчет потенциала отталкивания U ОТ прбдстэвлябт сложную квантовомеханическую задачу. Для простейшего случая проникновения протона в атом водорода было найдено [c.36]

Идея метода, развитого в этой главе, состоит в том, что в качестве собственного значения однородных задач, которые порождают систему собственных функций, берется диэлектрическая проницаемость. Дифрагированное поле представляется в виде ряда по этим собственным функциям. Собственное значение е есть диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела, занимающего ту же область, что и тело, на котором происходит дифракция. Истинная диэлектрическая проницаемость не входит в однородную задачу. Поэтому, в частности, на собственных значениях никак не скажется комплексность нстинного е. Собственные значения вещественны, если в задаче нет других потерь, кроме диэлектрических. Если же, например, есть излучение, то метод сохраняется, дифрагированное поле по-прежнему представимо в виде ряда по собственным функциям, но собственные значения — комплексны. Знак мнимой части собственного значения положителен — это соответствует тому, что во вспомогательной однородной задаче тело является активным, в нем выделяется энергия, компенсирующая потери. Далее в этой главе приведены обобщения на случай дифракции на неоднородном теле и на векторные задачи, описываемые уравнениями Максвелла. В 7 весь этот аппарат применен к решению квантовомеханической задачи об упругом рассеянии на потенциальном поле. [c.24]

Принцип суперпозиции. Распространение формулировки Маделунга на случай ММ требует проверки выполнения принципа суперпозиции состояний, на котором базируется физическая интерпретация квантовомеханического аппарата. В отсутствие ММ это гарантируется эквивалентностью уравнений гидродинамики линейному уравнению Шредингера (14), каждой паре решений которого 1 2 (и паре комплексных параметров С 2 = 71,2ехр(го 1 2)) можно сопоставить третье решение [c.239]

Мильтона — Якоби (9.71), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона — Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. 9.5). КрОхМ е того, при рассмотрении уравнения Гамильтона — Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений. [c.407]

Полуклассическая теория, в которой поведение атомов описывается некоторыми квантовомеханическими средними, а световое поле рассматривается как классическая величина, приводит к одному странному выводу. В то время как выше критического значения мощности накачки, в результате которой атомы непрерывно возбуждаются, лазерное излучение возникает в виде полностью когерентной волны, ниже этой критической мощности вообще не должно быть испускания света. Но адекватная теория лазера должна включать в себя описание излучения и обычных излучателей как частный случай и должна быть в состоянии объяснить различие между светом обычного теплового источника и лазерным излучением. Известно, что излучение обычных ламп обусловлено спонтанным испусканием. Спонтанное излучение — типичный квантовый процесс. Очевидно, что полуклассическая теория не в состоянии описать такой процесс. В связи с этим становится необходимым развить полностью квантовомеханическую теорию лазера. Созданная ранее квантовая теория, в частности разработанная Вайскопфом и Вигнером, могла подробно описать спонтанное излучение отдельного атома, но была непригодна для описания работы лазера. [c.29]

В этой главе я попытался изложить в общих чертах некоторые основные идеи в области оптической бистабильности, близко придерживаясь первой части статьи Луджато [9.5]. В литературе можно найти исследования других явлений, в особенности для предельного случая (9.44). На основе разложения поля Е по модам резонатора были выведены уравнения, очень близкие к уравнениям полуклассической теории для многомодового лазера. Их точное или приближенное решение позволяет изучать переходные процессы. При этом выявляются такие качественно новые явления, как возникновение импульсов или хаоса при постоянной интенсивности падающего света. Проведен также подробный квантовомеханический анализ этих явлений. Но все это выходит за рамки нашей книги. Впрочем, можно отметить, что методы, используемые при таком подходе, либо полностью аналогичны методам, которые мы изложили здесь применительно к лазеру, либо могут рассматриваться как их определенное развитие, как, например, метод одетых мод Луджато и Бенца. Для более подробного ознакомления с результатами, упомянутыми выше, мы отсылаем читателя к литературе, в особенности к статье Луджато [9.5]. [c.248]

Квантовомеханический эквивалент этой формулы дан Гайтле-ром [19]. Мы видим, что до тех пор, пока энергия фотона существенно меньше энергии связи электронов (или разности энергий возможных возбужденных атомных состояний в квантовомеханической формулировке), эффективное сечение пропорционально четвертой степени энергии падающего фотона. Для случая Йю > эффективное сечение постоянно ( сгт) относительно энергии до тех пор, пока длина волны не станет сравнимой с размерами атома (Ь(о несколько киловольт). Выше этой энергии атомное электронное облако не способно осциллировать как целое, и результирующая интерференция разрушает этот эффект. [c.141]

Последовательные квантовомеханические расчеты вероятности дезактивации определяющей время релаксации (Цепер [17], Шварц и Герцфельд [18]), также приводят в адиабатическом пределе к формуле, содержащей экспоненциальный фактор (6.17). В работе [18] рассмотрен весьма общий случай столкновений и для числа столкновений перед дезактивацией получена формула [c.307]

О такой системе говорят как о находящейся в чистом состоянии , в противоположность случаю смешанного состояния , когда волновая функция не известна. Ясно, что для чистого состояния все системы внутри ансамбля описываются одной и той же волновой функцией, например Р , и при определении значения физической величины фактически используется только один процесс усредие-иия — квантовомеханический. Для каждого чистого состояния можно провести полный эксперимент [3] в том смысле, что его результат является предсказуемым с полной определенностью, если он выполнен для системы, находящейся в подобном состоянии. Это можно понять, если вспомнить, что с наблюдаемым значением параметра системы связан эрмитов оператор, так что постановка полного эксперимента эквивалентна нахождению оператора, которому в качестве собственной функции соответствует волновая функция чистого состояния. Необходимое и достаточное условие того, что матрица плотности р описывает чистое состояние, выражается равенством [c.98]

Имеются другие пути рассмотрения задачи о нелинейном взаимодействии монохроматического сигнала с шумом, позволящие получить решение для трехмерного случая. Один путь—это использование гамильтонова подхода (подробнее об этом см. статью [45]). В рассматриваемой задаче каноническиг переменные и гамильтониан определены. Следовательно, можно использовать квантовомеханическую аналогию для описания процесса. Записав известные коммутационные соотношения для канонических переменных, можно определить операторы рождения и уничтожения элементарных возбуждений акустического поля. Гамильтониан взаимодействия содержит комбинацию канонических переменных в степени выше второй. Поэтому элементарные возбуждения в результате действия возмуш ения, определяемого нелинейностью, с некоторой вероятностью могут переходить из одиого состояния в другое. Эта вероятность вычисляется, если из- [c.115]

Здесь можно указать на довольно очевидную, но часто встречаюш,уюся ошибку, связанную с тем, что слово адиабатический применяется в двух разных смыслах. Во-первых, в квантовомеханическом смысле, или, как иногда говорят, в смысле.. Эренфеста, слово адиабатический относится к изменению статистического ансамбля, в случае, когда один из внешних параметров изменяется таким образом, что переходы не индуцируются и, следовательно, населенности различных уровней остаются неизменными. Во-вторых, в термодинамическом смысле слово адиабатический относится к обратимому изменению системы в термодинамическом равновесии, когда к системе тепло не подводится и не выделяется из нее. Очевидно, что, за исключением специальных случаев (например, случай эквидистантных уровней), если в момент = О суш,ествует тепловое равновесие, т. е. больцмановское распределение населенностей, оно не будет оставаться больц-мановским при адиабатических переходах в смысле Эренфеста, когда изменяются уровни энергии, но не населенности. Таким образом, эти два определения, вообш,е говоря, несовместимы. В дальнейшем мы будем понимать слово адиабатический в смысле Эренфеста, называя другие типы переходов изэнтропическими. [c.136]

Р1наче говоря, если хронологическая свертка двух операторов есть с-число, то она с точностью до множителя I совпадает с соответствующей причинной функцией Грина. С этим и связано название причинная функция свертки определяют элементы -матрицы, описывающей причинную эволюцию квантовомеханической системы во времени. При этом формула (1.23), очевидно, решает поставленную задачу для частного случая двух операторов выражение Т С С ) представлено в виде суммы нормального произведения и члена [c.269]

Излагаемая теория применима как к случаю наличия вещественных точек заворота z, и 2 (отражение волны от потенциального барьера — по квантовомеханической терминологии), так и в случав отсутствия вещественных точек заворота ( падбарьерное распространение и отражение волны). В каждом случае важным является правильный выбор знаков корней и путей интегрирования. При вещественных z, и 2 мы выбираем Imp О при Zj < 2 < 2j и тогда Е — вещественная отрицательная величина. При ком-ллекспых 2i и Zj, Re /> > О, — вещественно, положительно. [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...