Представление когерентных состояний

Статистический опе ратор в представлении когерентных состояний определяется выражением айда [c.209]

Вычисление среднего значения в (5Д.46) наиболее просто проводится в представлении когерентных состояний для фононной моды ). Напомним, что для любой степени свободы, которой соответствуют бозе-операторы 6 и 6, когерентные состояния 1 ) и z определяются как собственные состояния этих операторов [c.419]

Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на использовании так называемого представления когерентных состояний ), которое позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим метод когерентных состояний к уравнению (7.3.32) для затухающего квантового осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы фиксировать обозначения. [c.123]

Б. Представление когерентных состояний [c.142]

Поскольку последующий анализ основывается, фактически, на коммутационном соотношении (7Б.З), ясно, что представление когерентных состояний может также быть введено для любой системы квазичастиц, подчиняющейся статистике Бозе. [c.142]

Рассмотрим кратко представление когерентных состояний для бозе-системы, описываемой набором операторов рождения и уничтожения и 6 , где индекс I нумерует одночастичные квантовые состояния. Поскольку операторы рождения и уничтожения, относящиеся к различным одночастичным состояниям, коммутируют, все приведенные выше соотношения для системы с одной степенью свободы могут быть легко обобщены на случай произвольной бозе-системы. Дискретное п-представление (или представление чисел заполнения) строится с использованием полного ортонормированного базиса [c.144]

В. Квантовые операторы в представлении когерентных состояний [c.145]

Преимущества представления когерентных состояний становятся очевидны при работе с квантовомеханическими операторами. Как мы увидим, такие операторы могут быть представлены функциями комплексных переменных, которые отражают все квантовые свойства динамических переменных. В статистической механике особую важность приобретает то обстоятельство, что аналогичное представление может быть введено также и для статистических операторов. Для простоты в дальнейшем ограничимся случаем одной степени свободы, описываемой бозе-операторами Ь и. Обобщение на многочастичные бозе-системы оставим читателю в качестве упражнения. [c.145]

Определим нормальный символ 0) z z ) оператора О как диагональный элемент в представлении когерентных состояний [c.145]

Как уже отмечалось, след операторных дельта-функций можно вычислить в представлении когерентных состояний [см. сноску к формуле (7В.18)]. В результате простых, хотя и несколько громоздких выкладок получаем [c.148]

Указание. Вычисление следа в (7.3.38) удобно проводить в представлении когерентных состояний (см. приложения 7Б и 7В). Тогда [c.156]

Для этого нужно представить в фазовом пространстве два состояния, входящие в скалярное произведение — когерентное состояние фсо х) и собственное энергетическое состояние т). Мы уже нашли выше, что собственное энергетическое состояние представляет круговую полосу. Обратимся к соответствующему представлению когерентного состояния. [c.240]

Так как, согласно (11.17), -представление когерентного состояния 3) имеет вид [c.348]

Использование когерентных состояний в квантовой электродинамике фактически не требует явного введения переменных координаты и импульса. Поэтому мы пересмотрели общеизвестные представления когерентных состояний с помощью этих переменных, надеясь, что они могут оказать некоторую помощь в понимании различных применений когерентных состояний, к рассмотрению которых мы вскоре перейдем. [c.78]

Преобразование вакуумного или когерентного состояния, к-рому соответствуют операторы а и в+, в сжатое (соответственно операторы Ь и Ь+) описывается операторным ур-нием в представлении Гейзенберга [c.489]

Функция Вигнера — это только одна из бесконечного набора функций распределения в фазовом пространстве. Эти обобщённые функции распределения следуют из подходящим образом упорядоченных представлений матрицы плотности с помощью когерентных состояний. Они очень важны для квантовой электродинамики резонаторов. Поэтому мы сначала конспективно излагаем квантование поля излучения, а потом переходим к обсуждению различных квантовых состояний. И вновь фазовое пространство является общей основой, объединяющей эти темы. Многоканальные системы, то есть комбинации светоделителей и устройств для сдвига фаз позволяют измерять такие функции распределения в фазовом пространстве. [c.49]

Подчеркнём, что ширины этих гауссовских распределений, заданные величинами Зх и Зр, не зависят от времени только для 5=1, то есть для когерентного состояния. Это особенно отчётливо видно из эис.4.19, на котором изображена эволюция во времени функции Вигнера и соответствуюш,их предельных распределений. Эти кривые, в отличие от случая когерентного состояния, представленного на рис. 4.10, имеют огромные максимумы в точках поворота, которые указывают на сильную зависимость от времени характера осцилляции сжатого волнового пакета. [c.164]

Элементарный подход. Когерентное состояние — это смещённое основное состояние. В нашем упрощённом представлении собственного энергетического состояния как полосы в фазовом пространстве основное состояние изображается кругом с радиусом л/2 и с центром в начале координат. Следовательно, когда мы смещаем центр этого круга в точку жо = л/2 а на положительной оси х (рис. 8.2), когерентное состояние представляется кругом, внешняя граница которого определяется формулой [c.240]

Есть ещё одно свойство, которое отчётливо проявляется в таком наглядном представлении энергетического распределения пуассоновское распределение асимметрично по отношению к максимуму. В гауссовском пределе (8.6) мы пренебрегли этим свойством. Однако в формализме перекрытия оно становится очевидным. Действительно, так как площадь каждой полосы постоянна, а радиус возрастает с ростом квантового числа, ширина Ат каждой полосы уменьшается. Следовательно левая половина круга, отвечающего когерентному состоянию, может уместить меньшее количество состояний, чем правая. Это естественно приводит к асимметрии энергетического распределения. [c.241]

Предполагаемое распределение вероятностей У/т = имеет, таким образом, максимум при т = — 1/2 в согласии с формулой (8.6). Однако полуширина этого распределения по т равна 2а в противоречии с предсказанием л/2 а. Поэтому такой элементарный подход, хотя и даёт более глубокое представление об энергетическом распределении когерентного состояния, всё же не позволяет выяснить всю правду. [c.243]

Это достаточно сложное представление фоковского состояния в виде суперпозиции когерентных состояний, отвечающих всем точкам комплексного пространства. Здесь мы параметризовали комплексное пространство с помощью окружностей с непрерывно меняющимся радиусом. Подчеркнём, что когерентные состояния, относящиеся к окружности с фиксированным радиусом, содержат фазовый множитель который зависит от состояния п). Сначала берётся суперпозиция состояний, расположенных вдоль окружности, а потом ещё строится суперпозиция состояний для многих таких окружностей. [c.344]

Рис. 11.2. Более сложное представление квантово-механической суперпозиции двух когерентных состояний опирается на функцию Вигнера. Последняя состоит не только из двух гауссовских колоколов, которые расположены в фазовом пространстве осцилляторных переменных х-р около точек х = л/2 а os ip и р = л/2 а sin(/ и соответствуют двум отдельным когерентным состояниям и но включает также и интерференционный член, локализован-

Заметим, что представление в базисе когерентных состояний, в полной аналогии с представлением в базисе фоковских состояний, включает, в общем случае, недиагональные элементы (а р /3). Следовательно, [c.380]

В теории К. к. важную роль играет описание попей матрицей плотности р в диагональном представлении когерентных состоянии, в т. п. Р а.) — представлении Глаубера [c.272]

При работе с функцией распределения f z,z t) часто бывает удобно использовать ее связь с так называемым вейлевским символом [gg t)) z,z ) статистического оператора Символы операторов в представлении когерентных состояний подробно рассматриваются в приложении 7В. Здесь мы лишь напомним определение вейлевского символа. Для любого квантовомеханического оператора О, построенного из бозевских операторов рождения и уничтожения, вейлевский символ 0)цr z, z ) есть функция комплексных переменных z и z, которая определяется соотношением [c.124]

На этом этапе удобно перейти к представлению когерентных состояний для всех операторов, связанных с полевой подсистемой. Во-первых, введем функцию распределения квазивероятностей [c.137]

Свойства функции распределения квазивероятностей для осциллятора уже обсуждались в разделе 7.3.4. Представление когерентных состояний для операторов рассматриваются в приложении 7В. [c.137]

В заключение отметим, что представление когерентных состояний может быть введено и для систем, отличных от рассмотренной здесь бозе-системы. Если расширить гильбертово пространство состояний, определив произведение векторов состояния на антикоммутирующие величины которые являются образующими так называемой алгебры Грассмана, то представление когерентных состояний можно обобщить на ферми-системы [135]. Другим важным примером являются спиновые системы [144] [c.144]

Итак, если известна функция 0)j z,z ), то нормально-унорядоченную форму оператора О можно найти путем разложения этой функции по степеням z и z. Коэффициенты в этом разложении совпадают с коэффициентами Отп в (7В.1). Интересно, что в представлении когерентных состояний оператор полностью определяется своими диагональными матричными элементами ). [c.146]

Запишем для этого след в п-представлении, а затем воспользуемся соотпошепием (7Б.17), чтобы перейти к матричным элементам операторной дельта-функции в представлении когерентных состояний [c.147]

Итак, теперь из системы уравнений (7Г.5) - (7Г.8) нужно выразить операторы д(2 и через матрицу плотности поля. Удобно записать предварительно эту систему уравнений в представлении когерентных состояний, переходя к вейлевским символам всех операторов по схеме, изложенной в приложении 7В. [c.152]

Следует отметить, что подход Г. Хакена к квантовой теории лазера методически интересен, отличается прозрачностью и простотой. С его помощью реально удается получить решение для газовых лазеров с малой плотностью возбужденных атомов, когда можно пренебречь коллективными эффектами в спонтанном излучении. Правда, если среднее число фотонов в моде велико, то лазерное поле естественно описывать в квазиклассическом приближении, используя представление когерентных состояний. Цитированные выше работы [28, 29] как раз и посвящены построению квантовой теории лазера, асимптотически точной по квазикласси-ческому параметру в результате удается единым образом описать все основные типы лазеров при произвольном соотношении времен релаксации среды и поля в резонаторе с учетом существенной роли коллективных эффектов. [c.8]

Когерентное состояние осциллятора а> можно выразить посредством орто- ормальиой группы состояний осциллятора в числовом представлении > (п=0,, 1. ..) а>= Slre>, где < 1а> — коэффициенты разложения [c.198]

Для читателей, не знакомых с этим представлением, мы приводим необходимые соотношения. Более подробные сведения о когерентных состояниях можно найти в большинстве современных учебников по квантовой механике (см., например, [14]). На математически строгом, но вполне доступном для физиков уровне теория когерентных состояний изложена в книге А.М. Переломова [46], которую мы рекомендуем читателю. Применение метода когерентных состояний к задачам неравновесной статистической механики мы обсудим в главе 7 второго тома. [c.419]

Анализ коррелящюнных функций стал предметом современной радиометрии, значительное развитие которой за последние 20 лет связано с космическими программами, где необходимы точные радиометрические измерения. В то время как классическая радиометрия основывалась главным образом на измерении средней спектральной плотности излученной энергии, эксперименты по измерению когерентности первого и второго порядка (разд. 1.8) открыли новые перспективы, связанные с разработкой систем, в которых используются лазеры. В настоящее время мы находимся на той стадии, когда радиометрия вовлекает в себя квантовую теорию когерентности. Это основано на развивающемся начиная с 1963 г. (работы Глаубера [35] и Сударшана [36]) квантовостатистическом описании полей излучения. Глаубер ввел в квантовую электродинамику так называемые когерентные состояния поля, переходящие при обращении в нуль постоянной Планка (что соответствует большому числу фотонов в поле) в классические синусоидальные колебания вектора поля с данной амплитудой и фазой, которые записываются в виде (г, /) = оехр( /к г)ехр(/(оЛ). Полезным аналитическим методом статистического описания квантованного поля является Р-представление, которое в классическом пределе соответствует распределению плотности вероятности для ком- [c.320]

Фоковское состояние на окружности когерентных состояний. На самом деле из-за переполненности системы когерентных состояний нет необходимости интегрировать по радиусу /3 окружностей. Можно получить такое представление фоковского состояния, которое содержит только когерентные состояния, расположенные вдоль одной окружности произвольного радиуса, а именно. [c.344]

В квантовой механике, однако, принцип неопределённости Гайзен-берга не допускает представления о состоянии системы как о точке в фазовом пространстве. Допускаются только области фазового пространства с минимальной площадью 2тгЙ. Поэтому-то и удивительно, что существует, тем не менее, подход к квантовой механике, основанный на фазовом пространстве. Мы уже подробно обсудили описание с помощью функции Вигнера. В данной главе мы показываем, что когерентные состояния позволяют определить в квантовой механике и другие распределения в фазовом пространстве. [c.362]

Теперь мы вычислим среднее значение оператора электрического поля 8 в когерентном состоянии, предполагая, что ( -функция может быть использована как классическая функция распределения в фазовом пространстве. Тогда Q-функция выступает в качестве весовой функции njpn интегрировании классического представления (а,а ) оператора 8 а,а ) по переменным а и а. [c.373]

Р-функция из Q-функции. Q-функция представляет собой среднее значение матрицы плотности в когерентном состоянии. Следовательно, Q-функция определена явным образом. Напротив, Р-функция определена неявным образом. Это диагональное представление матрицы плотности в когерентном состоянии. В предыдущем эазделе мы получили соотношение [c.383]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...