Волновые функции и энергии электронов

Чтобы понять, в чем заключается основная трудность в практических расчетах волновых функций и энергий электронов валентной зоны, постараемся ответить на вопрос, почему приближение почти свободных электронов (см, гл. 9) не применимо к валентным зонам в реальном твердом теле. Простой, но поверхностный ответ состоит в том, что потенциал не мал. В качестве грубой оценки для и (г) можно считать, что по крайней мере в области ионной сердцевины он имеет кулоновский вид [c.197]

ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ и ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНОВ [c.13]

На практике теория неупорядоченных систем применяется к идеализированным моделям сплавов. Даже в случае сплава малой концентрации примесный атом (это относительный термин) может, вообще говоря, отличаться по размеру от замещаемого атома, так что вблизи него решетка несколько искажается. Замена может также повлиять на распределение электронов в непосредственной близости от примесного атома например, при замене иона Си+ ионом Хп++ последний, имея большую валентность, вызывает вблизи себя появление дополнительного экранирующего заряда. Расчет указанных эффектов даже для изолированных примесей представляет собой важную задачу теории твердого тела этих вопросов мы здесь касаться не будем. Иными словами, не выясняя, откуда это известно, примем, что при замене атома А атомом В в данном узле решетки изменяются значения характерных для данного атома параметров — массы, констант упругой связи с соседями, волновых функций и энергий связанных электронов, поперечного сечения рассеяния и т. д. Все эффекты, связанные с локальным искажением решетки или с экранированием электронами, считаются уже учтенными в самом определении понятия замещения . [c.18]

Поведение полной энергии в зависимости от расстояния R для симметричной и антисимметричной волновых функций электрона показано на рис. 92,6. При уменьшении расстояния между ядрами для антисимметричных волновых функций полная энергия возрастает. Это означает, что для сближения ядер надо затратить [c.301]

Как видно, в электрическом поле и вследствие температурного градиента возникают разные неравновесные распределения электронов, и в связи с этим скорости релаксации в указанных двух случаях могут существенно различаться. Электрическое сопротивление появляется вследствие процессов рассеяния, стремящихся восстановить равновесное распределение в электрическом поле. В процессе рассеяния электрон из правой части фиг. 10.5, а переходит в левую, и его волновой вектор должен при этом существенно измениться. С другой стороны, когда отклонения от равновесия вызваны температурным градиентом, то возвращение к равновесию может происходить как вследствие процессов с большим изменением волнового вектора (при этом электроны переходят с заполненных уровней на свободные в противоположных сторонах фигуры), так и вследствие процессов с малым изменением волнового вектора и энергии (при этом электроны переходят с заполненных на свободные уровни в одной стороне фигуры). Поскольку область энергии вблизи ферми-поверхности, в которой функция распределения Ферми меняется от 1 до 0, имеет порядок АвТ , то этот же порядок имеют изменения энергии при последнем процессе и соответственно происходят малые изменения волнового вектора электрона. Как будет видно в дальнейшем, если сопротивление обусловлено главным образом рассеянием на [c.188]

Остается теперь выяснить, в каких случаях гамильтониан удовлетворяет условию (2.41), т. е. инвариантен относительно операции инверсии. Очевидно, это имеет место для системы с центром инверсии. Другим важным случаем является изолированный атом. В этом случае потенциальная энергия fe-ro электрона равна сумме потенциальной энергии взаимодействия с ядром (которая описывается симметричной функцией) и энергии взаимодействия со всеми остальными электронами. Для i-ro электрона эта энергия зависит от гг—г [, т. е. от расстояния между двумя электронами. Следовательно, соответствующие члены будут также инвариантными относительно инверсии. Важным случаем, когда (2.41) не выполняется, является случай, когда атом находится во внешнем электрическом поле (например, в электрическом поле кристалла), не обладающем центром инверсии. В этом случае волновые функции не имеют определенной четности. [c.40]

Теперь мы можем использовать эти результаты для решения задачи о почти свободных электронах. Так как мы предположили, что невозмущенные волновые функции и а вырождены, то им будет соответствовать одна и та же кинетическая энергия, и в матричных элементах Hlj можно рассматривать только члены, соответствующие потенциальной энергии. Мы знаем, что потенциал поля решетки должен обладать тем же периодом, что и сама решетка поэтому мы предположим, что потенциальную энергию электрона можно записать в виде ряда Фурье, т. е, суммы синусоидальных и косинусоидальных членов с тем же периодом, что и у решетки [c.79]

Введение. Щелочные атомы занимают в определенном смысле промежуточное положение между атомом водорода и другими многоэлектронными атомами. С одной стороны, у щелочных атомов имеется лишь один электрон во внешней атомной оболочке. Энергия связи этого электрона примерно на порядок величины меньше энергии связи электронов из еле-дующей, заполненной оболочки. Соответственно следует ожидать, что при описании взаимодействия внешнего электромагнитного поля с щелочными атомами можно использовать (как и для атома водорода) одноэлектронное приближение. С другой стороны, наличие многоэлектронного остова приводит к тому, что поле, в котором движется валентный электрон, не является кулоновским при небольших расстояниях от его остова. Поэтому необходимо конструировать приближенные одночастичные волновые функции для валентного электрона. [c.126]

Определим энергию и волновые функции квантового движения электрона в простейшем случае, когда поверхность Ферми является эллипсоидом вращения, определенным поперечной т и [c.173]

СЯ соседней молекулой, которая также переходит в возбужденное состояние Ej с последующим испусканием фотона = EJ- Ео. Виртуальный обмен фотонами между флуктуирующими диполями возбужденных молекул приводит к понижению энергии их взаимодействия, т.е. к их притяжению. Энергия этого парного взаимодействия вычисляется в рамках второго приближения теории возмущений квантовой механики. В этом приближении энергия взаимодействия рассматривается как слабое возмущение, когда Ео — собственной энергии изолированных частиц. Волновые функции их электронов не перекрываются. Напомним, что первое приближение теории возмущений соответствует перекрыванию волновых функций и образованию прочной химической ковалентной связи. Энергия во втором приближении [c.211]

Теперь выведем уравнение движения электрона в кристалле. Сначала рассмотрим движение волнового пакета в одномерном кристалле при наличии внешнего электрического поля. Предположим, что волновой пакет состоит из волновых функций одной энергетической зоны с волновыми векторами, близкими к некоторому вектору к. Как и в волновой оптике, в данном случае общее выражение для групповой скорости имеет вид = йа/йк. Частота, связанная с волновой функцией, отвечающей энергии 8, равна и = е/Й, и поэтому [c.340]

Здесь и а> — энергия и волновая функция начального состояния электрона, и [е>—соответствующие величины конечного состояния, Е и гУ—промежуточного, виртуального, состояния ), [c.271]

Забудем пока о требовании антисимметрии волновой функции и рассмотрим математическую проблему, которую ставит перед нами уравнение (2.12). Если бы гамильтониан можно было записать в виде суммы гамильтонианов, зависящих только от индивидуальных частиц, то полная волновая функция имела бы вид произведения одноэлектронных волновых функций, каждая из которых является функцией координат одного электрона. Хотя в данном случае это и не так, но Хартри предложил вариационную процедуру, в которой волновая функция аппроксимируется произведением одноэлектронных функций и одновременно минимизируется энергия (Ч I Я 1 У I У)- Даже если волновая функция и не получается при этом очень точной, все-таки можно надеяться, что энергия будет определена в хорошем приближении. [c.85]

Наш анализ резонансных состояний основывался на приближении самосогласованного поля. Можно, однако, и в отношении этих состояний поставить вопрос о переходе Мотта. Построим из резонансных состояний пакет таким образом, чтобы получить настоящую локализованную волновую функцию, и совершим соответствующее преобразование зонных состояний так, чтобы сделать их ортогональными этой функции. Тогда на их основе можно построить многоэлектронные волновые функции и поставить вопрос о том, какой из этих многоэлектронных функций отвечает наименьшее среднее значение электрон-электронного взаимодействия. Для очень узкого резонанса может оказаться, что наименьшей энергией обладает локализованное состояние. Таким образом мы придем к настоящему локализованному состоянию с энергией, близкой к энергии свободного атома, хотя она и лежит в середине зоны проводимости. Можно полагать, что такого рода ситуация годится для описания /-состояний в редких землях, но не подходит для -состояний переходных металлов группы железа. Даже тогда, когда формируются локализованные магнитные моменты (этим мы займемся в 7 гл. V), такие состояния следует рассматривать как резонансные. [c.218]

В отношении орбитального момента, который для молекулы или иона в плотном веществе не является, вообще говоря, хорошим квантовым числом, подобное заключение сделать нельзя. Равенство нулю Ьх), Еу), Ь,), в невырожденном электронном основном состоянии необязательно означает, что общий орбитальный момент Ь равен нулю, или какому-либо определенному значению в этом состоянии. Напротив, легко показать, что отсутствие орбитального вырождения представляет собой достаточное условие равенства нулю значений Ь ), Ьу)у (Ь,), или, как говорят, замораживания орбитального момента [9]. Пусть г ) — волновая функция невырожденного состояния электронной системы. Гамильтониан, являющийся суммой кинетической и электростатической энергии электронов, будет вещественным, и г ) также можно считать вещественной функцией. В противном случае ее действительная и мнимая части были бы по отдельности собственными функциями гамильтониана для одного и того же значения энергии, а это было бы несовместимо с предположением об отсутствии вырождения. Поскольку функция гр — вещественная, то величина [c.169]

Теперь мы должны дополнить уравнение Шредингера (2.4) граничным условием, отражающим тот факт, что электрон удерживается внутри куба. При этом мы должны быть уверены, что выбор граничного условия не повлияет на рассчитываемые объемные характеристики. Одна из возможностей — потребовать, чтобы волновая функция 1 з (г) обращалась в нуль в точках г, лежащих на поверхности куба. Однако такой выбор часто оказывается не вполне удовлетворительным, поскольку тогда решения уравнения (2.4) имеют вид стоячих волн, в то время как явления переноса заряда и энергии электронами намного удобнее анализировать, используя бегущие волны. Более приемлемым оказывается другой путь — вообще избавиться от поверхности, подчеркнув тем самым, что ее наличие не имеет значения. Это можно сделать, представив, что каждая из граней куба соединена с противоположной ей гранью тогда электрон, подходящий к поверхности, не отражается обратно, а выходит из металла и одновременно возвращается в него в соответствующей точке на противоположной поверхности. Если бы металл был одномерным, то это означало бы. что отрезок прямой от О до в котором содержатся электроны, заменяется окружностью длиной Ь. В трехмерном случае геометрическое осуществление подобного граничного условия, которое приводило бы к соединению всех трех нар противоположных граней куба, оказывается топологически недопустимым. Однако в аналитическом виде такое граничное условие легко обобщить и на этот случай. В одномерном случае круговая модель металла приводит к граничному условию х Ь) = 1 з х) для трехмерного куба его обобщение очевидно [c.46]

На рис. 2.6 приведены плотность вероятности нахождения электрона на индивидуальных атомных орбиталях V / и / в и на молекулярных орбиталях Фб и Фа (с учетом спиновой части волновой функции электрона). Функция Фб соответствует электронам с антипараллельно направленными спинами, а Фа — с параллельно направленными спинами. Из рисунка видно, что электрон с волновой функцией Ф имеет более высокую вероятность нахождения между ядрами, чем электрон с волновой функцией Фа. Увеличение электронной плотности между двумя положительно заряженными ядрами сопровождается значительным выигрышем энергии по сравнению с невзаимодействующими атомами водорода, что и является причиной образования химической связи в молекуле. Образование химической связи в молекуле водорода иллюстрирует формирование гомеополярной ковалентной связи. [c.26]

Электронные волновые функции (орбитали) молекулы образуются из волновых функций отдельных атомов. Если сблизить атомы водорода Нл и Нб, так чтобы волновые функции их Ь-электронов перекрывались, то волновые функции молекулы водорода можно выразить как фл + фв или — >в. Первая из этих молекулярных орбиталей соответствует системе с меньшей энергией, электроны часть времени находятся между атомами — в поле притяжения обоих атомов, что обусловливает положительное значение энергии связи. Волновой функции — в соответствует минимальная электронная плотность между атомами, обращающаяся в нуль посредине линии связи, что приводит к отрицательному значению энергии связи. Зависимость энергии связи для обеих орбита-лей от расстояния между атомами показана на рис. 12. [c.32]

Это приближение очень старо и использовалось до определенного времени в химии под названием метода линейной комбинации атомных орбиталей, или метода ЬСАО. Его идея основывается на том, что мы знаем волновые функции и энергии электронов свободного атома. Если собрать совокупность атомов вместе — неважно в молекулу или твердое тело,— описание состояний при условии, что волновые функции атомов только начали перекрываться, можно получить на основе малых поправок к состояниям свободных ато- [c.171]

Волновые функции и энергии электронов в бесконечно протяженном кубическом кристалле сначала обсуждаются на основе элементарной квантовой механики, чтобы показать, что уровни энергии электронов в кристалле образуют зоны. Вслед за этим учитывается возмущение, накладываемое введением поверхности в случае полупроводника возникают поверхностные состояния, способные локализовать электроны на поверхности с образованием хемосорбционных связей в случае металла происходит соответствующее перераспределение электронов на поверхности металлов, что и определяет природу хемосорбированного состояния. [c.13]

Рассмотрим построение МО ЛКАО на примере молекулы воды. Предположим, что ядра молекулы воды находятся в положении равновесия и что в поле ядер имеется единственный электрон, и решим уравнение (8.11) для волновых функций и энергий молекулярных орбиталей. Для этого молекулярные орбитали представляются в виде линейной комбинации атомных орбиталей с центрами на ядрах. Если ограничиться базисом атомных орбиталей, состоящим из 1 s-орбиталей электрона на каждом ядре и 2s- и 2р-орбиталей электрона на ядре кислорода, то каждую молекулярную орбиталь можно представить в виде [c.188]

Классификация электронных волновых функций линейной молекулы по типам симметрии точечной группы имеет одну интересную особенность, к рассмотрению которой мы теперь перейдем. Электронные волновые функции и энергии Ve получаются при решении электронного волнового уравнения для конкретной конфигурации ядер [см. уравнение (8.2)]. Решение этого уравнения для различных конфигураций ядер дает зависимость Ve от коораинат ядер, которая в сумме с энергией Vnn отталкивания ядер дает функцию Fn потенциальной энергии ядер в зависимости от их координат для каждого электронного состояния [см. (8.5)]. Для линейной конфигурации H N основное электронное состояние относится к типу 2, а первое возбужденное электронное состояние — к типу П. Однако если молекула изогнутая, то она принадлежит к точечной группе s и ее электронные состояния невырождены. Электронное П-состояние [c.374]

О поверхностных экситонах. Влияние границы кристалла на экситонные состояния может носить двоякий характер. Наличие границы прежде всего сказыватся на поведении около поверхности кристалла волновой фз нкции объемных экситонов, т. е. таких экситонов, само существование которых не связано с наличием границы. Этот эффект обсуждался в пп. 10.4 и 10.7. Кроме того, наличие границы в некоторых случаях приводит к появлению особых поверхностных экситонов, которые аналогичны поверхностным рэлеевским волнам в теории упругости и таммовским поверхностным уровням электронов в ограниченном кристалле. Таким образом, если в принципиальном отношении возможность появления поверхностных экситонов не является чем-то неожиданным, то нахождение волновых функций и энергий поверхностных экситонов для различных кристаллов является малоисследованной проблемой и, вообще говоря, требует использования микротеории. Исключением в этом смысле [c.277]

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений к, ограниченную первой зоной Бриллюэна. Тем не менее, иногда полезно считать, что волновой вектор может изменяться по всему к-пространству. Поскольку для любых двух значений к, от-личаюш,ихся на вектор 2пН, все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписывать индексы п так, чтобы при заданном п собственные функции и соб- [c.221]

Волновым функциям и соответствуют разные энергии. Решению ijji отвечает меньшая энергия, которая соответствует верхней границе первой зоны (точка А на рис. 7.9), а решению г1з2 — энергия, соответствуюш,ая нижней границе второй зоны (точка А ). При knla — энергиями, большими, чем Еа. В интервале от Еа до Еа нет ни одного собственного значения энергии электрона, т. е. эта область представляет собой запрещенную зону. [c.229]

Приближение, использованное для получения решений (8.9) и (8.10) уравнения (8.6), является радикальным. Третий член в уравнении (8.7) описывает взаимное электростатическое отталкивание электронов н оказывает значительное влияние на электронные энергии и волновые функции. Поэтому движения электронов уже не считаются независимыми друг от друга, как это было бы при описании их функцией ф в уравнении (8.9) в действительности эти движения коррелированы друг с другом. Несмотря па приближенный характер, собственные функции Фе очень полезны для классификации собственных функций Яе по типам симметрии и для их описания. При учете усредненного эффекта отталкивания остальных электронов путем соответствующей добавки к Н описание электронных собственных функций в виде произведения молекулярных орбиталей сохраняется, но при этом достигается лучшее приближение к точному решению. Этот усовершенствованный метод называется приближением самосогласованного поля (ССП), а усовершенствованный однозлектронный гамильтониан обозначается символом [см. например, уравнение (9.99) в книге [41]]. Второй член в уравнении (8.7) также связан со взаимодействием движения электронов, по вклад этого члена корреляции в кинетическую энергию зависит от масс ядер и имеет тот же порядок величины, что и члены, которыми пренебрегают в приближении Борна —Оп-пенгейыера. Поэтому во всех случаях, когда не требуются особо точные расчеты, этим членом можно пренебречь. [c.187]

Расчеты по методу ячеек энергии связи щелочных металлов дали удовлетворительные результаты. Наиболее хорошее согласие с экспериментом получено для натрия. На рис. 1.14 показаны результаты расчета энергии связи металла в зависимости от междуатомного расстояния г. С уменьшением г возрастает перекрывание волновых функций валент-йых электронов соседних атомов и убывает потенциальная энергия системы ионсУБ и электронов за счет увеличения электронной плотности между ионами. Увеличение электронной плотности сопровождается в то же время ростом кинетической энергии электронов. Сумма энергий притяжения и отталкивания изображается кривой с минимумом, определяющим равновесное состояние металла (штриховая кривая). Расчет дал энергию связи 24,4 ккал/моль, а экспериментальное значение 26ккал7моль. Период элементарной ячейки из опыта а=4,25 А, из расчета с поправками на обмен и корреляцию а=4,51 А. [c.45]

Согласно существующим представлениям, междуузельный ион серебра не может служить устойчивой внутренней ловушкой электрона при комнатной температуре. Эта предпосылка в неявном виде подразумевается в теории Герни и Мотта и подтверждается исследованиями электропроводности и других свойств хорошо отожженных кристаллов галоидного серебра при комнатной температуре [19]. Другим экспериментальным доказательством этого предположения является очевидная неспособность двухвалентных ионов кадмия в смешанных кристаллах галогенидов серебра и кадмия захватывать электроны при комнатной температуре, как это было показано Вестом ). Недавние теоретические вычисления Симпсона [20] согласуются с этими экспериментальными данными. Симпсон исходил из модели, в которой положительный точечный заряд находился в среде с диэлектрической проницаемостью галоидного серебра. Далее определялась волновая функция 1 5 электрона, связанного в кулоновском поле этого заряда. В этом приближенном вычислении не учитывается тот факт, что внутри объема междуузельпого иона поведение электрона может быть описано более точно с помощью волновой функции 5 5. Если учесть это указание, то исправленное теоретическое значение энергии связи электрона в поле междуузель-ного иона будет несколько превышать величину, полученную Симпсоном. Точное знание времени жизни электрона в этом состоянии как функции температуры имело бы большую ценность для интерпретации многих экспериментальных данных, например данных Веста по фотопроводимости галогенидов серебра. [c.118]

Классификация электронных состояний, В уравнении Шредингера для движения электронов (1,5) величина Уе обозначает потенциальную энергию электронов в поле ядер (неподвижных). Как указано выше, в первом приближении (которое, как правило, является хорошим) мы можем рассматривать движение электронов при равновесном положении ядер. Поэтому функция Уе У 1меет ту же симметрию, что и молекул(а в определенном электронном состоя- ти. Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее электронное ч движение, не изменяется под действием операции симметрии. Следовательно, 4 лектронная волновая функция невырожденного состояния может быть 4 олько симметричной или антисимметричной по отношению к каждой из оне-. Ч аций симметрии, допускаемых симметрией молекулы в равновесном ноло- ении, т. е. она либо остается неизменной, либо только меняет знак. В случае вырожденных состояний собственная функция может превращаться только в линейную комбинацию двух (или более) вырожденных волновых функций, так что квадрат волновой функции, представляющий собой электронную плотность, остается неизменным. Различные волновые функции могут вести себя по-разному по отношению к различным операциям симметрии данной точечной группы но, как правило, не все элементы симметрии точечной группы независимы друг от друга, поэтому возможны лишь определенные комбинации поведения волновых функций по отношению к операциям симметрии. Такие комбинации свойств симметрии называются типами симметрии (см. [23], стр. 118). На языке теории групп это неприводимые представления ])ассматриваемой точечной группы. Каждая электронная волновая функция, а следовательно, и каждое электронное состояние принадлежат к одному из возможных типов симметрии (представлений) точечной группы молекулы [c.17]

Строго говоря, в данной задаче при любых энергиях движение электрона является инфинитным в положительном направлении оси z. Даже для электрона в глубине ямы имеется конечная вероятность туннелирования через треугольный потенциальный барьер в надбарьерную область, расположенную справа от ямы. Вследствие этого для ямы конечной глубины имеется континуум состояний не только над ямой, но и внутри нее. Коэффициенты —B , характеризующие волновую функцию при заданной энергии, находятся из условий непрерывности волновой функции и ее производной на границах ямы Z = а/2, которые дают четыре уравнения. Пятым условием является затухание функции ф( при z -> -оо, откуда 2 =0. Наконец, недостающее шестое уравнение дает условие нормировки на 5-функцию (3.55). Можно показать, что из него следует уравнение [c.63]

Таким образом, для частицы с положительной кинетической энергией соответствующие волны де Бройля синусоидальны (для однородной среды) и имеют волновое число кх- Частице с отрицательной кинетической энергией соответствуют экспоненциальные волны де Бройля, характеризуемые коэффициентом ослабления Волновые функции возможных состояний электрона, перемещения которого ограничены потенциальной ямой, очень похожи по форме на граничные моды системы связанных маятников, описанной в п. 3.5. Таким образом, волновая функция /(г), соответствующая основному состоянию, синусоидальна в области положительной кинетической энергии (в дисперсивной области) с таким волновым числом, что кС немного меньше я. При г=0 и г=1 синусоидальная волновая функция без скачка (гладко) переходит в экспоненциальную функцию, которая уменьшается до нуля на бесконечном расстоянии от дисперсивной области. (Два самых низких стационарных состояния показаны на рис. Д.2.) [c.487]

Если мы действительно переходим к приближению свободных электронов, мы пренебрегаем различием между гладкими псевдо-волновыми функциями и истинными волновыми функциями, которое в области сердцевины атома весьма существенно. Однако объем, занимаемый сердцевиной атома, в простых металлах мал (порядка 10% от атомного объема), и для большинства физических процессов важны именно те области пространства, где псевдоволновая и истинная волновая функции одинаковы. В некоторых случаях — особенно заметно это проявляется при описании оптических свойств — мы должны будем все-таки вернуться к истинной волновой функции. Мы будем активно пользоваться приближением свободных электронов, изучая экранирование и явления переноса в этих случаях использование гладкой псевдоволновой функции оправдано. Сейчас мы сосредоточим внимание на собственных значениях энергии здесь нам удобно будет пользоваться псевдоволно-выми функциями. Затем найдем отклонение полученных собственных значений энергии от значений в приближении свободных электронов. [c.124]

До тех пор, пока мы интересовались лишь энергиями электронных состояний, мы могли использовать псевдопотенциал непосредственно, нам не нужно было беспокоиться о том, что соответствующие псевдоволновые функции отличаются от истинных волновых функций. Когда же мы рассматриваем свойства, зависящие от самих волновых функций, следует быть более аккуратными. В таких случаях лучше всего сначала выразить рассматриваемую величину через истинные волновые функции и истинные энергии, а уже затем подставить выражения для волновых функций, в которые входят псевдоволновые функции и ортогонализационные поправки. Систематически учитывая вклады вплоть до данного порядка, мы можем при этом снова выразить результат через псевдопотенцнал. Такие результаты будут отличаться от тех, которые мы получили бы, заменив систему газом почти свободных электронов, а истинный потенциал — псевдопотенциалом. [c.338]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...