Решение рекуррентной системы уравнений для

Подставляя (15-10) и (15-11) в (15-8), приходим к рекуррентной системе уравнений для определения искомых коэффициентов ряда (15-10), являющегося решением задачи. Решая последовательно эту систему уравнений, находим выражения коэффициентов gi. Выражение для первого коэффициента gi получается следуюш им [c.407]

При составлении исходной системы уравнений для пространственных рычажных механизмов применяют матричные, векторные, тензорные, винтовые и другие методы. Ниже представлены векторный метод, основанный на применении векторной рекуррентной формулы [5], и матричный метод, базирующийся на использовании матриц 4x4. Векторный метод позволяет не только рациональным образом составить исходную систему уравнений анализа, но и найти ее решение в аналитической форме для большинства рассматриваемых механизмов. [c.420]

Для построения приближенного решения стохастического дифференциального уравнения (6.19) обычно используют метод малого параметра. Функцию прогиба представляют в виде ряда w (л ) = Wo (л ) + [1 1 (л ) -f 2 (л ) Уравнение (6.19) сводится к рекуррентной системе уравнений относительно функций Wo (л ), Wi (х), W2 (х) п т. д. [c.177]

Первое из этих уравнений есть уже знакомое нам уравнение для свободномолекулярных течений. Таким образом, решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана сведено к решению рекуррентной системы линейных дифференциальных уравнений. [c.382]

Легко видеть, что последние два уравнения принадлежат рекуррентной системе интегральных уравнений для функций /< > в теории Гильберта — Энскога ). Следовательно, на расстояниях, много больших к, т. е. при x — 0 Xj<), решение уравнения Больцмана стремится к решению Гильберта, и если ограничиться двумя членами ряда (5.3а), то течение может быть описано уравнениями Навье — Стокса (см. 3.8). Вблизи тела, т. е, в L-масштабе, решение уравнения Больцмана при малых е также упрощается, так как сводится к решению рекуррентной системы дифференциальных уравнений (5.3а). Однако в промежуточной области, т. е. на расстояниях порядка от тела, течение описывается интегро-дифференциальными уравнениями (уравнением Больцмана для и линейными уравне- [c.385]

При таком методе требуется большой объем памяти для хранения и решения системы уравнений. Эти недостатки в основном устраняются при использовании в описании функции Pi ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Форсайта и др. В таком случае коэффициенты аппроксимирующего уравнения вычисляются по рекуррентным формулам. Для вычисления коэффициентов на ЭВМ при произвольных выражениях Pi используются [c.20]

Замечание. Легко видеть, что, если отлично от тождественного нуля, то для фз получается рекуррентная система алгебраических уравнений, имеющая только тривиальное решение ф = 0. Поэтому предположение о выполнении равенства (П.2.6) является обязательным для построения интегралов с большой изменяемостью. [c.473]

Предлагаются конструкции рядов по системам специальных базисных функций, содержащих произвольные функции одного аргумента, для представления решений задач Коши и смешанных задач Коши в случае нелинейных уравнений с частными производными от двух независимых переменных. Описаны системы базисных функций, позволяющие вычислять коэффициенты рядов рекуррентно из систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для широкого класса исходных нелинейных уравнений. Приводятся примеры применения построенных рядов. [c.217]

Процедура получения решения системы уравнений (4.55) не отличается от примененной для соответствующей задачи теории упругости (4.18)-(4.22). В результате получаем искомое решение в рекуррентном виде [c.172]

Процедура получения решения системы уравнений (6.52) с учетом его гладкости в центре пластины не отличается от примененной для соответствующей задачи теории упругости (6.13)-(6.19). В результате получаем искомое решение в рекуррентном виде [c.335]

Займемся теперь определением частоты искомого периодического решения. Поскольку характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы, коэффициенты которого соответствуют уже определенной амплитуде периодического решения а, имеет пару сопряженных чисто мнимых корней, для определения частоты со можно воспользоваться системой простых рекуррентных уравнений, известных нам из материала второй части [c.236]

Система уравнений (24.9) решалась методом сеток характеристик дифференциальные соотношения вдоль характеристических направлений заменялись разностными уравнениями. При помощи рекуррентных формул для ячейки сетки характеристик при заданных граничных условиях определено дискретное поле напряжений, скоростей и деформаций как в упругих, так и в вязкопластических областях. Числовые расчеты проводились с помощью ЭВМ. Решения имеют локальный характер и дают хорошие результаты в достаточно малой окрестности цилиндрической поверхности и для малых времен. Для больших значений г и времени / погрешность, связанная с применением метода конечных разностей вдоль характеристик, становится значительной. [c.220]

Решение системы (3.51 ) при постоянных матрицах А ж В также, очевидно, записывается конечным отрезком цепной дроби. Простейшие аппроксимации N = 2 ш N = > приводят к замкнутой системе двух векторных уравнений. Отметим, что при одном и том же порядке точности — заданном значении N — порядок системы (3.5Г) примерно вдвое ниже порядка системы (3.49). Поэтому, если мы зададим порядок системы, то (3.51 ) будет ближе к своему предельному решению, чем (3.49). Аналогичная ситуация имеет место и в случае / (г) = /. Для нечетных значений к получаем замкнутую систему N -У 1 векторных уравнений, а при четных к — систему [А/2] + 1 уравнений. Однако при А > 3 эти системы уравнений не сводят решение задачи к цепной дроби, так как они являются рекуррентными равенствами более высокого порядка, чем [c.133]

Видно, что структура системы уравнений (6.25) представляет рекуррентное матричное соотношение типа (6.20). Следует отметить, что решение задачи нестационарной теплопроводности с использованием схемы (6.25) дает лучшие результаты для первых временных шагов, чем решение с использованием центральной разностной схемы (6.17). Сказанное иллюстрируется на примере решения задачи о разогреве призматического стержня (рис. 6.1). [c.110]

В настоящей работе метод функционала плотности используется для описания волновых движений межфазной границы в жидкой многокомпонентной смеси. Из общей системы уравнений гидродинамики для изотермических течений, полученных ранее в [3] на основе функционала свободной энергии, выводится одно уравнение типа Шредингера, описывающее капиллярно-гравитационные волны. Излагается рекуррентная процедура построения решения методом разложения в ряд по малому параметру, имеющему смысл отношения толщины переходной зоны к длине волны. [c.145]

Основная проблема ири использовании этого метода состоит в обеспечении устойчивости и допустимой погрешности разностной схемы. Для дифференциальных уравнений задача Коши, когда заданы начальные значения всех искомых функций, сводится к рекуррентным формулам для последовательности значений в узлах, начинающейся от начальных значений. Такая схема называется явной. Краевые задачи приводят к решению системы алгебраических уравнений — неявная схема. Обычно решение нетрудно реализовать в виде программы для ЭВМ, однако требования к объему располагаемой памяти и скорости выполнения операций оказываются весьма жесткими. [c.83]

Я+1-М слое по рекуррентным соотношениям (5.30) (обратная прогонка). При осуществлении метода прогонки, пригодного для решения линейных уравнений, нелинейность исходной системы введена в коэффициенты, зависящие от искомой функции. После операции обр.Чт-ной прогонки, когда найдена в первом приближении искомая функция (, уточняются коэффициенты а(, , Р ,ш, yi.m, 6i.m, после чего процесс прогонки повторяется. Итерационный процесс заканчивается, если по всех точках т на полюсе л-fl удовлетворяются неравенства [c.185]

Для решения системы (21), (27) развиты регулярные асимптотические методы большого и малого времени [2, 11, 12], сводящие ее к рекуррентной последовательности линейных задач, рассмотренных выше. Однако, эти алгоритмы не всегда стыкуются между собой, что не дает возможности исследовать исходную задачу во всем диапазоне изменения времени. Данная проблема решается построением, на основе метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений, равномерно пригодного решения системы (21), (27), структура которого, например, в частном случае задания осадки основания в форме [c.133]

Решение навигационной задачи по выборке нарастающего объема по разновременным измерениям, как правило, основано иа рекуррентных алгоритмах. По точности сии аналогичны итерационным методам, однако для их реализации необходимо построить динамическую модель движения определяющегося объекта, элементов рабочего созвездия СНС и задающего генератора времени (частоты). В данном случае под динамической моделью понимают математическую модель, которая описывает с той или иной степенью точности все процессы, происходящие в системе потребитель—СНС—внешняя среда. Сюда же входит и модель случайных возмущений определяемых параметров. Разработка динамических моделей является сложным и многоступенчатым процессом. Так, иапример, модель динамики объекта должна отражать закон изменения во времени его вектора состояния x(i), конкретный вид которого зависит от выбора опорной системы координат, от типа объекта (корабль, самолет, КА и т. д.) и от статистических характеристик действующих на него случайных возмущений. На практике исходят из предположения, что динамическая модель должна быть достаточно простой, чтобы сохранить время на вычисления и обработку результатов, и в то же время достаточно полной, чтобы учитывать маневренные характеристики объекта. Для многих задач оказывается приемлемым с точки зрения требуемой точности навигационных определений использование линейных динамических моделей, которые могут быть получены путем линеаризации исходных нелинейных систем дифференциальных уравнений около опорной траектории иа заданном временном участке, соответствующем, иапример, времени определения. В матричном виде линейная модель, описывающая динамику объекта с учетом случайных возмущений, имеет вид [c.247]

Для решения системы нелинейных уравнений использовался метод последовательных нагружений, причем нагрузка задавалась в девятнадцать этапов приращениями по 10 фунтов. В рекуррентных формулах использовались приближенные значения градиентов, вычисленные по конечноразностным формулам с шагом = 0.0001. [c.369]

Замкнутые системы, в состав которых входят запоминающие пары, могут использоваться для решения дифференциальных уравнений в конечных разностях (отработки рекуррентных соотношений) [c.259]

Постоянные интегрирования .j (г = 1, 2,. . ., 8 j = О, 1, 2) из (9.4), (9.5) необходимо определять из указанных краевых условий и условий непрерывности (9.8) и (9.10) при i, 2) которые дадут систему 24 линейных алгебрапческих уравнений. Численное решение указанной системы уравнений затруднено, так как матрица данной системы плохо обусловлена. Это связано с тем, что коэффициенты системы дифференциальных уравнений (9.2) содержат фактически два малых параметра и y4 VA . Однако с помощью компактной схемы исключения [79] получены рекуррентные сооотпошения для определения постоянных интегрирования Су (г = 1, 2,. .., 8 = 0, 1, 2) и тем самым найдены для них аналитические выражения, используя которые были получены обобщенные смещения [c.57]

Нахождение динамич. группы симметрии физ. задачи, с одной стороны, эквивалеитно решению Шрёдин-гера уравнения (или Дирака уравнения, Клейна — Гордона уравнения) для данной системы, с др. стороны — позволяет использовать хорошо развитый матем. аппарат теории представлений групп Ли и получать соот- [Ошения типа рекуррентных соотношений для матричных элементов операторов физ. величин, что важно при расчётах физ. эффектов по теории возмущепий (папр., при расчёте Штарка эффекта для атома водорода). [c.625]

Система линейных уравнений (8.15.4) решается путем сведения к системе рекуррентных алгебраических уравнений с заменой ин-тиралов суммами в соответствии с одной из квадратурных формул или с методом Крылова-Боголюбова [20]. Усилия в стержнях определяются исходя из решений для упругих систем с использованием принципа Вольтерры. [c.112]

Если при малых числах Кнудсена в результате разложения по малому параметру получаются сложные уравнения для макроскопических величин, то в рассматриваемом случае больших чисел Кнудсена, разлагая по малому параметру, приходим к рекуррентной системе сравнительно простых по структуре дифференциальных уравнений для самой функции распределения. Однако фактическое решение этих уравнений представляет весьма сложную вычислительную задачу, так как при репшнии уравнения для нужно помнить функцию от семи переменных /( - ) (или одновременно решать всю цепочку до включительно) и вычислять весьма сложный интеграл столкновений. Исключение составляет решение для /№), т. е. для свободномолекулярных течений. Общее решение этого уравнения тривиально и имеет вид [c.132]

О точности матричного метода расчета. Предлагаемая вычислительная процедура метода начальных параметров реализует вариант метода матричной прогонки, в котором как первая прогонка (вычисление коэффициентов Л , В ), так и вторая (вычисление неизвестных векторов Хо XJ) выполняются по рекуррентным формулам. Особенность данного варианта состоит в том, что независимо от числа элементов конструкции ре шается единственная система алгебраических уравнений четвертого порядка (4), а следующая за этим вторая прогонка выполняется не обратным ходом, а как и первая — прямым. Отсюда следует, что точность вычислений по формулам метода начальных параметров (1) — (3) с помощью разрешающего уравнения (4), сводя1цего краевую задачу для составной конструкции с заданными краевыми данными Z к задаче с начальными данными Xi, в значительной мере определяется точностью решения уравнения (4), дающего неизвестные краевые данные Z. Как будет показано ниже, выбор прямого хода для второй прогонки вызван тем, что при большой длине конструкции точность определения неизвестных краевых начальных данных (первые два элемента вектора Z) значительно выше точности определения неизвестных краевых данных на отдаленном краю (остальные два элемента вектора Z). [c.78]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

Тэйлоровский подход отличается от описанного только тем, что неизвестные функции, соответствующие f y) в уравнении (159), распространяются в виде бесконечных рядов, так что четыре из шести граничных условий (о том, что три компонента скорости исчезают на границах) удовлетворяются автоматически. Два оставшихся условия и рекуррентные формулы для коэффициентов одного из рядов получаются из дифференциальных уравнений при условии, что детерминант бесконечного порядка должен исчезать для нетривиального решения системы дифференциальных уравнений. Из уравнения этого детерминанта может быть получена кривая нейтральной устойчивости. Этот метод также относится к тем, где используется показательный фактор времени. [c.237]

Фактическое вычисление интенсивностей мультиполей из граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего системы функций у , Г , необходимо последовательно орто-гонализировать. Эта процедура монсет оказаться весьма трудоемкой, если для построения приближенного численного решения требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по пе-линейиости, характерных для решений уравнений движения обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов, возникающих в результате итераций но нелинейности, асимптотически мал при оо, поэтому достаточно ограничиться решением линейной задачи при больших N, что сильно упрощает алгебраическую систему для определения В , С , Д . [c.293]

Подстановка этих рядов в граничные условия даёт последовательность рекуррентных соотношений, из которых определяются коэффициенты и а . Особенно просто решается задача в тех случаях, когда отображающая функция ш(С) есть полином. В этом случае система совместных уравнений, которую приходится решать, оказывается конечной. Важность этого случая для практических приложений заключается в том, что заданную область 6 можно апроксимировать с произвольной точностью областью S , отображаемой на круг при помощи полинома достаточно высокой степени п. На этом может быть построен метод приближённого решения задачи. Ограничившись здесь только этими общими замечаниями, мы займёмся изложением другого метода решения поставленных краевых задач, именно сведением их к некоторым функциональным уравнениям. Этот приём основан на приложении интегралов типа Коши. [c.229]

Реализация методов наведения первой группы предполагает известность параметров орбитального движения КА и их относительного состояния, заданного, как правило, в осях ОСК. Получение исходной информации для целей управления, привязанной к орбитальной системе координат, начало которой совлющено с центром масс одвого из аппаратов, требует ее обработки (как правило, на основе рекуррентной схемы фильтрации) и последующего решения в общем случае краевой двухточечной задачи, вытекающей из условия выполнения процесса встречи для заданных начальных условий относительного движения. В результате решения находят значения импульсов скорости, формирующих траекторию сближения в виде нескольких активных участков малой продолжительности, разделенных длительными участками свободного полета. Методы наведения первой группы следует считать наиболее экономичными, однако техническая реализация их сопряжена со значительными трудностями. В меньшей степени отмеченный недостаток присущ методам наведения второй группы. Их бортовая реализация предполагает наличие информации об относительном состоянии объектов, получаемой по результатам измерений дальности, радиальной скорости и угловой скорости линии визирования. Целесообразность записи уравнений движения через перечисленные выше измеряемые параметры относительного движения приводит к использованию в качестве отсчетиой базы лучевой [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...