Нормальные формы линейных колебаний

Нормальные формы линейных колебаний [c.268]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Ниже показывается использование фазовой плоскости применительно к нормальной форме ) линейной однородной системы дифференциальных уравнений свободных линейных колебаний системы с одной степенью свободы [c.75]

Обзор результатов по теории устойчивости положений равновесия и стационарных движений механических систем содержится в [II]. Элементы теории колебаний изложены в [6], [7], [39]. Работы [40], [41] содержат полное описание нормальных форм линейных гамильтоновых систем. [c.291]

Теперь не представляет труда с помощью метода нормальных форм колебаний учесть линейное демпфирование. Например если требуется заменить на ( 1 -f it]) в уравнении движения, то при этом ничего в процессе решения не изменится и модуль Юнга можно заменить на его комплексный аналог на любом этапе решения, и решение (1.31) примет вид [c.27]

В рассмотренных примерах длительность импульсов и ищс течением времени стремится к нулю, а их энергия — к бесконечности. Это влечет за собой неограниченное возрастание градиентов деформации и напряжения, что нереально. Учет же в исходной модели нелинейности, потерь и дисперсионных свойств реальной системы приведет к установлению конечной амплитуды и длительности импульсов. При линейной же идеализации полученные результаты достаточно хорошо отражают начальный этап переходных процессов и правильно предсказывают форму возбуждаемых колебаний в режимах неустойчивости. Это указывает на эффективность метода итераций при исследовании динамических процессов в различных устройствах, в которых рабочий элемент можно считать одномерной системой с изменяющейся во времени длиной. Кроме того, он позволяет выявить характерное время формирования импульсов из гладких начальных возмущений в критических режимах (таких, как параметрическая неустойчивость или резонанс) и оценить допустимое время нахождения системы в этих опасных состояниях без существенного нарушения их нормальной эксплуатации. [c.166]

Точное определение перемещений масс упругой системы значительно усложняется тем обстоятельством, что частота при передвижении крана является переменной величиной, зависящей от V и I, которые изменяются в весьма широком диапазоне. Кроме того, равенство со = р (частота р при этом может относиться к любой из нормальных форм колебаний) сохраняется непродолжительное время, при этом максимальные амплитуды получаются не в момент совпадения частот, а несколько позже и нарастают по линейному закону [17]. [c.329]

Мильтона, но нельзя убить все члены четвертой степени (это связано с тем, что в линейной системе частота колебаний не зависит ст амплитуды, а в нелинейной, вообще говоря, зависит). Указанное затруднение преодолевается выбором нелинейной нормальной формы, учитывающей изменение частот (так называемая вариация частоты). В результате можно (в так называемом нерезонансном случае) ввести переменные действие — угол вблизи положения равновесия так, что система станет интегрируемой с точностью до членов сколь угодно большой степени в ряду Тейлора. [c.352]

В п. 1.15 обсуждались численные решения для систем с одной степенью свободы, при действии возмуш,ающей силы, которые нельзя было описать аналитическими выражениями. В двух основных подходах, использовавшихся там, применялись кусочно-постоянные и кусочно-линейные интерполирующие функции. Указанные подходы здесь будут применены в методе нормальных форм колебаний при исследованиях неустановившегося поведения систем со многими степенями свободы. Как и в предыдущих параграфах, предполагаем, что имеет место пропорциональное демпфирование или демпфирование по формам колебаний. Поскольку здесь потребуется большой объем вычислений, предполагается, что методы, описываемые в данном параграфе, будут применяться с использованием ЭВМ. [c.315]

К стержню с жестко закрепленными концами внезапно прикладывается распределенная продольная нагрузка, которая изменяется по линейному закону от нулевого значения при дг = О до значения Q при х = I. Методом нормальных форм колебаний исследовать динамические продольные перемещения этого стержня. [c.345]

Период любой нормальной формы колебаний изменяется пропорционально квадрату линейных размеров, если толщина остается неизменной. [c.428]

Произведенный анализ устанавливает существование нормальных координат, но не позволяет указать способы нахождения форм Л линейных преобразований (II. 190), независимых от предварительного интегрирования дифференциальных уравнений малых колебаний. Кроме этого, остается нерассмотренным случай кратных корней характеристического уравнения. [c.245]

Элементы векторов h, = (A,i,..A ,), определяемые из (3.17) с точностью до произвольного общего множителя, представляют собой амплитуды отклонений обобщенных координат от равновесного состояния системы при свободных колебаниях с частотами кг. Определив собственные формы системы, можно перейти к главным (нормальным) обобщенным координатам Wi,..., г с помощью линейного преобразования [c.46]

Во всех приведенных выше случаях, для любого заданного нормального колебания, т оказывалось обрат-но пропорциональным I. Следовательно, согласно (2) 46 период 2л/ для стержней из одного и того же материала пропорционален Р/к. Отсюда следует, что для геометрически подобных стержней период пропорционален линейным размерам стержня. Для стержней одинакового сечения период пропорционален квадрату длины. Что касается формы и размеров поперечного сечения, то здесь все зависит от радиуса инерции х. Так, для стержней с прямоугольным сечением частота пропорциональна толщине стержня в плоскости колебаний и не зависит от ширины сечения. Это последнее утверждение требует, однако, некоторых оговорок. Подразумевается, что ширина стержня мала по сравнению с его длиной, или (более точно) по сравнению с расстоянием между смежными узлами. Если это условие нарушено, то вся проблема приводит к более сложной теории пластинок ( 55). [c.170]

Каждому нормальному колебанию соответствуют определенные смещения атомов из положения равновесия. Рассмотрим в качестве простейшего примера формы колебаний трехатомных молекул— линейной молекулы СО2 (рис. 1.41) и угловой молекулы Н2О (рис. 1.42), для которых соответственно должно быть четыре [c.90]

Линейные консервативные системы. Собственные частоты и нормальные колебания. Зависимость собственных частот от параметров системы. Согласно результатам п. 2 настоящего параграфа задача о малых колебаниях консервативной системы около положения равновесия приводится к интегрированию уравнений Лагранжа, в которых кинетическая энергия Т является однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей, а [c.250]

На фиг. 90 схематически представлены формы нормальных колебаний, которые можно ожидать для моделей I и III. Три колебания vg, и v линейной модели являются дважды вырожденными. Надежное отнесение наблюденных инфракрасных и комбинационных частот (табл. 79) к основным колебаниям, изображенным на фиг. 90, пока еще [c.327]

Здесь диагональная матрица Сг, которую будем называть главной матрицей демпфирования, представляет собой линейную комбинацию матриц Мр и Sr- Когда матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице М, матрицу демпфирования в нормальных координатах запишем как [c.303]

Как указано в гл. 2, колебания в бесконечной пластине обладают многими свойствами, присущими колебаниям в круглом цилиндре. Так, например, можно провести аналогию между зависимостью задержки от, толщины в случае распространения волн в пластине и зависимостью задержки от диаметра для случая круглого цилиндра. Существует семейство продольных нормальных волн, напоминающее по характеристикам задержки продольные нормальные полны в проволоке. А характеристики задержки семейства изгибных нормальных волн по форме похожи на характеристики семейства изгибных нормальных волн п проволоке при п Однако никаких нормальных волн, соответствующих волнам в проволоке при /г > 1, не существует в этом состоит большое преимущество пластин перед цилиндрическими стержнями с точки зрения их применения для создания дисперсионных линий задержки. Как следует из кривых фазовой скорости, приведенных на фиг. 23, в области, где первая продольная нормальная волна имеет линейную характеристику задержки, не существует двух нормальных волн, обладающих одинаковыми фазовыми скоростями при данной частоте. Таким образом, в этом диапазоне частот не существует влияния критической частоты, которое наблюдается в проволочных линиях задержки. [c.534]

НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. Как известно, две квадратичные формы, из которых одна положитель-но-определенная, одним линейным преобразованием могут быть приведены к каноническому виду. В частности, построив надлежащим образом линейное преобразование [c.119]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (нормальные моды), собственные (свободные) гармонич. колебания линейных динамич. систем с пост, параметрами, в к-рых отсутствуют как потери, так и приток извне колебат. энергии. Каждое Н. к. характеризуется определ. значением частоты, с к-рой осциллируют все элементы системы, и формой — распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые И. к., отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, наз. вырожденными. Частоты Н. к. наз. собственными частотами системы. [c.470]

Р. в системах с неск. степенями свободы. В системах с числом степеней свободы п 2 и в распределённых системах Р. сохраняет все осн. черты Р. в системе с одной степенью свободы. В линейном приближении собств. колебания этих систем представляют собой набор нормальных колебаний (мод). Если отклик системы представляет собой суммарный отклик всех степеней свободы, резонансная кривая будет наложением резонансных кривых отд. норм, колебаний и может иметь сложный характер. Так, в системе с двумя степенями свободы, ввиду того что собств. колебания могут происходить с двумя разл. частотами, Р. наступает при совпадении частоты гармонич. внеш. воздействия как с одной, так и с другой норм, частотой системы (рис. 5). Подбором параметров норм, колебаний можно создать резонансную кривую практически любой формы, что широко используется, напр, в радиотехнике, для создания фильтров частот. [c.630]

Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы. Рассмотрим динамическую систему с квадратичноп функцией Лагранжа Ьг=Тг—Га О. Ее колебания выглядят особенно просто в специальных координата., которые называются главными или нормальными. [c.268]

Возможны и другие методы решения задачи о вынужденных колебаниях с произвольно распределенным вязким или гисте-резисным демпфированием. Было показано, например, что для этих случаев можно получить несвязанные уравнения движения линейных систем, если использовать комплексные функции демпфированных нормальных форм колебаний и комплексные собственные значения. Однако эти демпфированные нормальные формы не совпадают с классическими нормальными формами колебаний системы, обсуждавшейся здесь, и определять их оказывается непросто [4.5, 4.6]. [c.180]

Приведенные выше примеры иллюстрируют способы исследования систем, для которых задается только один вид перемеш,ения основания как абсолютно жесткого тела. В более сложных задачах могут иметь место три составляюш,ие перемеш,ения основания как абсолютно жесткого тела, а также три поворота как абсолютно жесткого тела. В подобных случаях перемеш,ение Хосп должно представлять собой вектор с компонентами в виде шести типов перемещений, тогда вектор 5осн превратится в матрицу пХб. Кроме того, повороты основания должны быть малыми, с тем чтобы оставалось справедливым допущение о линейности характеристик системы, на котором основывается метод нормальных форм колебаний. Единственными большими перемещениями, допустимыми при линейных исследованиях, являются перемещения как абсолютно жесткого тела. Задачи, которые включают рассмотрение подобных больших динамических перемещений, необходимо исследовать с использованием относительных координат с тем, чтобы избежать потери точности при определении динамических перемещений системы. [c.284]

Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс (г, являюш,емся границей области устойчивости в линейном приближении. При (Л = (Л частоты плоских колебаний равны между собой (шх = 0 2 = со = У 2/2), а частота пространственных колебаний (Оз, как и при любых значениях (г, равна единице. Линейным веш,ественным каноническим преобразованием д,, р, р] приведем квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме. Для этого переменные плоского движения д/, р,- (/= 1, 2) преобразуем с помош,ью матрицы N = ( , / = 1,.. 4), задаюш,ейся равенством (5.1) седьмой главы, а д , р оставим без изменения. Тогда функция Гамильтона возмуш енного [c.143]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Таким образом, если перемещения всех точек линейной системы имеют фазовый сдвиг я/2 по отношению к монофазному гармоничному возбуждению, то система совершает вынужденные колебания по собственной форме консервативной системы независимо от того, связывают диссипативные силы нормальные координаты или нет. Монофазное силовое распределение в этом случае должно удовлетворять условию (11.13.47). Использование этого условия для выбора сил затруднено, поэтому на практике обычно прибегают к фазовому критерию резонанса. Соответствующее силовое распределение выбирают либо вручную, либо в полуавтоматическом режиме работы вибрационных установок. Ест предположить, что диссипативные силы не связывают нормальные координаты, то можно получить более простое выражение для монофазного силового распределения [c.378]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

Для установления износа и величины искажения геометрической формы деталей применяют различные контрольно-измерительные инструменты. Контроль особо ответственных деталей рекомендуется производить в условиях, близких к нормальным. Важным показателем нормальных условий является температура, которая принята равной - -20°С. При данной температуре осуществлена градуировка и аттестация всех линейных и угловых мер, а также измерительных приборов. Отступление от указанной температуры не должно превышать значений, предусмотренных для заданной точности измерения. Погреи1ность, обусловленная колебанием температуры, может быть опр1 им1 иа как алгебраическая разность между полученным и действительным значениями измеряемой величины по формуле А1х1(а 1 ааА г), где М — температурная погрешность / — измеряемый размер а) и аг — коэффициенты линейного расширения материалов детали и измерительного средства — 20° — [c.137]

Решение задачи при помощи механических моделей. Ввиду сложности математических расчетов, Кеттеринг, Шатц и Эндрьюс [501] впервые предложили экспериментально изучать колебания молекулярных моделей. Роль атомов играют стальные шарики, связанные друг с другом пружинами, имми-тирующими силы, действуюш.ие между атомами. Такие модели, подвешенные на резиновых шнурах, приводятся в колебания с помощью эксцентричного диска, вращающегося от мотора, скорость вращения которого может регулироваться. При определенной скорости вращения мотора получается резонанс, приводящий модель в колебание при отсутствии резонанса модель остается в покое. Резонансные частоты являются нормальными частотами модели. Форма движения, отвечающая каждой нормальной частоте, может быть одновременно получена стробоскопическим или фотографическим методом (Эндрьюс и Мюррей [53]). Если отношения линейных размеров, масс и силовых постоянных в модели и в действительной молекуле одинаковы, то отношение частот модели и действительной молекулы будет постоянным. Таким образом, если известны силовые постоянные и геометрическая структура молекулы, то можно, не производя расчетов, предсказать основные частоты молекулы по частотам модели или, наоборот, испытывая ряд моделей и сравнивая модельные частоты с наблюденными частотами молекулы, можно сделать выводи о геометрической структуре молекулы и получить отношение силовых постоянных. [c.176]

Чтобы найти истинную форму нормальных колебании v, и v , не определяемую однозначно свойствами симметрии, мы должны взять линейную комбинацию координат симметрии Aj и S.2 (фиг. 55,а) с отношением (с -з-—— ( 21 — (см. стр. 169), гдеХ = Х1 или Подставляя [c.189]

Магнитное квантовое число 38 Магнитный дипольный момент 259 Матрица дипольного момента 271 индуцированного дипольного момента 275 Матричные элементы составляющих тензора полиризуемости 275. 279, 288, 291, 469 функции возмущения 234, 237 электрического дипольного момента 44, 71, 274, 288, 443 Мгновенная ось вращения асимметричных волчков 57 симметричных волчков 36 сферических иолчков 51 Междуатомные расстояния асимметричных волчков 519 изотопических молекул 424.466 линейных молекул 34, 192, 423 симметричных волчков 428, 466 тетраэдрических молекул 486 Механические модели для решения задачи о колебаниях 176 Миноры векового определителя, определение формы нормального колебания 83,87. 161, 164, 169, 172, 176 Множитель Больцмана 271, 283, 28Э Множитель, обусловленный ядерным спином, во вращательной части статистической суммы 539, 553 Модели молекулы, механические, для изучения колебаний молекулы 78,176 Модель потенциальной поверхности 219 Модификации, не комбинирующие асимметричных волчков 67, 498 влияние на термодинамические функции 538, 544, 553 линейных молекул 29 симметричных волчков 41—43, 444 тетраэдрических молекул 53, 482 Молекулы [c.604]

Мы получили искомый результат. Теперь продвинемся несколько дальше и попытаемся найти еще и форму нормальных колебаний. Оказывается, что эта задача полностью решается для невырожденных нормальных колебаний, но в случае двукратно вырожденных мод, преобразующихся по одному и тому же неприводимому представлению, остается некоторая неопределенность. Для данной цели необходимо, конечно, знать явный вид неприводимых представлений, и мы используем неприводимые представления, полученные выше. Если бы мы воспользовались другими двумерными неприводимыми представлениями, эквивалентными перечисленным выше, то получили бы другие линейные комбинации вырожденных мод, отличные от тех, которые приводятся здесь. Эти комбинации также давали бы правильное решение задачи, которое фактически эквивалентно получаемому ниже. Обратимся теперь к решению этой задачи. [c.52]

Случай пластинки, свободно опертой по всем краям, был рассмот С. П. Тимошенко, который, исходя из представления формы колебаний в де (9.45), нашел решение задачи методом нормальных координат [85], I Некоторое представление о расположении узловых линий на пластин свободно опертой по краям, можно получить, рассматривая отдельные сД гаемые ряда (9.45) и затем линейно налагая соответствующие им фор0( Так, первый член ряда (9.45) [c.356]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...