Ортогональность собственных форм колебаний

Ортогональность собственных форм колебаний нужно понимать в этом случае буквально как ортогональность соответствующих векторов. [c.183]

Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний, установленных для элементарной теории стержневых систем в 6.2. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты Шл всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что toi = = а + г . Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень (02 = а — ф. Соответствующие собственные формы будут также комплексно сопряженными [c.434]

Дальнейшие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний. Умножим первое уравнение (IV.86) на Нц, а второе — на а , сложив затем полученные уравнения, найдем [c.252]

Ортогональность собственных форм колебаний [c.360]

Мы видели, что собственные формы колебаний системы образуют последовательность, причем каждая форма отличается от всех остальных. На языке математики говорят, что каждая собственная форма ортогональна ко всем остальным формам, причем условие ортогональности может быть записано в виде математического соотношения. Это условие играет важную роль в теоретических исследованиях, и поэтому весьма существенно, что условие ортогональности собственных форм колебаний системы без демпфирования оказывается гораздо проще соответствующего условия для собственных форм, наблюдаемых при наличии демпфирования. [c.51]

Как средняя скорость потока, так и величины подъемной силы и момента в приведенных выше выражениях являются функциями х. В таком случае больше неприменимы соотношения об ортогональности собственных форм колебаний [как это делалось, например, в выражении (6.82)], и выражения для преобразованных с учетом этого передаточных функций становятся еще более сложными. Однако связанные с этим вычисления могут быть проведены на ЭВМ. [c.196]

Дальнейшие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний. Умножим первое из уравнений (132) на А , а [c.132]

Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональности выбирая соответствующим образом числовой множитель, их можно сделать ортонормированными, так что [c.179]

Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональности, которое совершенно аналогично свойству, доказанному в 6.2 для системы с конечным числом степеней свободы. Если Zf и Z, — две собственные формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам сол и ю,, то [c.197]

Обращаем внимание на то, что 1 а т могут быть непостоянны вдоль оси балки и являться функциями от г. Если бы была известна функция Ко (г), описывающая с точностью до множителя, зависящего лишь от времени, вид оси балки в процессе колебаний по одной из собственных форм, то, подставляя ее в (17.336), получили бы точное значение квадрата соответствующей собственной частоты колебаний но функция Vo z) нам неизвестна. Однако, если задаться видом функции VQ z) для аппроксимации одной из собственных форм колебаний, разумеется, удовлетворяя при этом граничным условиям и условиям ортогональности аппроксимации искомой собственной формы колебаний всем ранее принятым аппроксимациям собственных форм с меньшими номерами, то, подставляя принятый вид функции в (17.336), получаем приближенное значение соответствующей собственной частоты колебаний. Степень близости этого значения к точному [c.239]

Представляя движение тела в виде разложения по собственным формам колебаний недемпфированной системы (1. 20) и используя свойство ортогональности, получим выражение для кинетической энергии тела в виде суммы кинетических энергий форм колебаний [c.31]

Если под критической скоростью понимать такую, при которой увеличиваются амплитуды вынужденных колебаний, возбужденных небалансом, то для осесимметричного вала критические скорости обратной прецессии на самом деле не являются критическими, так как можно показать [501, что в этом случае возмущающие силы от небаланса ортогональны к собственной форме колебаний вала (т. е. работа этих сил за оборот равна нулю), и поэтому они не могут поддерживать колебания вала указанной формы. Увеличение амплитуд колебаний при прохождении критических скоростей обратной прецессии может иногда наблюдаться только по причине наличия возмущающих сил другой природы, нежели силы небаланса, или же в случае отсутствия осевой симметрии жесткостных свойств опор (см. ниже). Резонансы с критическими скоростями обратной прецессии менее опасны еще и потому, что в этом случае внутреннее трение гасит колебания, так как изгибные напряжения в каждом волокне за каждый оборот вала дважды меняются с плюса на минус и наоборот. [c.55]

Понятие о собственных формах колебаний, как и важное свойство их ортогональности, будет использовано далее при рассмотрении систем, имеющих произвольное конечное число степеней свободы. При этом число собственных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадают с числом степеней свободы системы. [c.91]

Как и выше, можно установить, что любые две собственные формы колебаний взаимно ортогональны [c.107]

Условия ортогональности для собственных форм колебаний ротора с неравномерным распределением масс [c.143]

Свойства собственных форм. Собственные формы колебаний попарно ортогональны по кинетической энергии, т. е. [c.170]

Собственные формы колебаний попарно ортогональны по потенциальной энергии, [c.170]

ВИДОВ краевых условий балочные функции представлены в табл. 4. Функции, соответствующие /г-ой собственной частоте, обозначают обычно через Л х). Балочные функции широко используют в качестве системы базисных функций для приближенного решения различных задач теории колебаний упругих распределенных систем. Это обусловлено тем, что будучи собственными формами колебаний, они обладают свойствами ортогональности и полноты, что вытекает из общей теории собственных колебаний распределенных систем (см. гл. IX). [c.197]

Каждой собственной форме колебаний <р, соответствует определенная частота Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональности по потенциальной и по кинетической энергии. Например, условие ортогональности по кинетической энергии [c.219]

Система собственных форм колебаний ортогональна по энергии оператора X, т.е. [c.217]

Оно показывает, что формы колебаний ортогональны друг другу относительно матрицы масс, и называется поэтому условием ортогональности собственных форм. [c.361]

Любые две различные собственные формы колебаний ортогональны одна к другой [c.277]

Эти равенства выражают условия ортогональности главных форм колебаний. Из соотношения (4.23) видно, что собственные векторы [c.258]

Важно, что произвольные постоянные, содержащиеся в выражениях для Oi и Фц, определяются по граничным )/словиям независимо. При этом использование ортогональности соответствующих функций сводит этот процесс к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. Ортогональность системы функций Q, (а,г) на интервале г г , может быть показана непосредственно с использованием уравнения для функций Бесселя и соответствующих граничных условий. Это обстоятельство интересно также с физической точки зрения. Сама возможность такого раздельного определения произвола указывает на то, что собственные формы колебаний в выделенном объеме формируются без взаимодействия радиальных и окружных волновых движений. [c.18]

Возникшая ситуация с особыми случаями волнового движения в-волноводе допускает довольно простую физическую интерпретацию. По исходным свойствам такой колебательной системы, как волновод с колеблющимися стенками, ясно, что в ней имеется бесконечная последовательность собственных частот. Соответствующие собственные формы колебаний отвечают некоторым толщинным движениям, когда в поле имеется только составляющая скорости При этом любое внешнее воздействие в виде такого распределения колебательной скорости, которое не вызывает изменения объема области под колеблющимися стенками, оказывается ортогональным собственной форме и резонансных явлений в колебательной системе не возникает. Если же во внешнем воздействии имеется составляющая, связанная с изменением объема, то при вынужденных колебаниях возникают обычные резонансные явления, обусловливающие обращения в бесконечность амплитуд колебаний на частотах со = (/ = 1, 2,...). [c.25]

Важным свойством собственных форм колебаний х (г) является их взаимная ортогональность с весовой функцией, характеризующей распределение массы, т. е. [c.143]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Ортогональность собственных форм колебаний. При колебаниях системы по первой собственной форме наибольшие отклонения равны Пц и а21, этим отклонениям соответствуют силы инерции тхПцр и Аналогично при колебаниях по второй [c.91]

Форд Р., Фурд К. Анализ флаттера в вентиляторах авиационных двигателей с использованием пары идентичных взаимно ортогональных собственных форм колебании.—Энергетические машины и установки, 1980, т. 102, jV 2, с. 115—122. [c.221]

Этот минимум достигается в том случае, когда все С , за исключением С , равны нулю. Тогда аГ(, = С1К1, т. е. распределение амплитуд по координатам совпадает с первой собственной формой колебания. Для нахождения второй собственной частоты щ следует выбрать начальное отклонение лгр ортогональным первой собственной форме колебания, т. е. [c.288]

Это соотношение выражает свойство ортогональности двух собственных форм колебаний после деления на йцПхг оно может быть переписано также в виде [c.91]

Замечание. Если имеет кратность а, так что этому значению соответствуют а собственных форм колебаний tpQj Ф = -.., ос), то необходимо поставить условия ортогональности [c.179]

Решение уравнений изгиба гибкого ротора. Балансировка гибкого ротора должна осуществляться с учетом формы его изгиба, а также соотношений между балаиси-ровочиой, рабочей и критически.ми скоростями и собственных форм, соответствующих Этим скоростям. Для этого приходится решать дифференциальные уравнения колебаний гибкого ротора с Дисбалансом или корректирующими массами, распределенными по его длине по тому или ииому закону. Решение этой задачи существенно облегчается благодаря свойству ортогональности собственных форм (см. справочник, т. 1). Распределенную неуравновешенность можно разложить в ряд по собственным формам, каждая из составляющих вызывает колебания только по своей форме, Балансировку гибкого ротора можио проводить раздельно по каждой из со- [c.62]

Использование собственных форм колебаний вращающейся лопасти позволяет выразить члены от упругих и центробежных сил через собственную частоту Vk, а поскольку эти формы ортогональны, получаем, что дифференциальное уравнение для k-to тона не связано с другими тонами (кроме как через аэродина-. мическую силу). Поделив на 1л и введя безразмерные величины, [c.358]

Расс)Ю1фим важный для практических приложение вопрос об ср -тогональности собственных форм колебаний тонкой упругой пластин -ки. Условие ортогональности этих форы записано в виде равенства [c.85]

Вернеиоя к уравнению вынузпенных колебаний (18.2). Его решение будем строить в форме разложения по системе ортогональных собственных форм [c.85]

Если часгота 0 возбуждающей нагрузки приближается к одной из собственных частот а>т, то амплитуда соответствующей формы колебаний неограниченно возрастает (явление резонанса). Исключением является случай дт — О (нагрузка ортогональна некоторой форме колебаний, работа внешней нагрузки на этой форме колебаний равна нулю). В этом случае нужна осторожность, так как малое видоизменение внешней нагрузки нарушает ортогональность. Для отыскания ограниченного решения в резонансной области следует учесть диссипацию энергии вследствие внешнего и (или) внутреннего трения. При малом трении может оказаться необходимым применить нелинейную теорию. [c.390]

Предполояага, что мы можем определить собственные формы колебаний судна и установить условия ортогональности этих форм. Волнение приводит к возбу/кдению колебаний но собственным формам, причем, как и в рассмотренном в предыдущем параграфе примере с автомобилем, возбуждение представляет собой случайный процесс. Упомянутая выше бортовая качка (см. рис. 32) связана с сильным возбуждением колебаний по кососимметричной форме (вернее, по приближенной антисимметричной форме, не учитывающей упругих деформаций). [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...