Матрица формы колебаний для НгО

Учитывая данное выше определение (4.27) матрицы форм колебаний, видим, что обобщенные перемещения Хр в выражении (4.34) фигурируют как масштабные коэффициенты перед столбцами форм колебаний в матрице Хд , которые вводятся для получения значений действительных перемещений X. Таким образом, главные координаты системы со многими степенями свободы являются собственными формами колебаний. [c.260]

Для иллюстрации использования нормальных координат в уравнениях, записанных через усилия, рассмотрим три массы, закрепленные на растянутом тросе (см. рис. 4.2, а). Собственные векторы этой системы, полученные в примере 2 предыдущего параграфа, являются столбцами матрицы форм колебаний [c.261]

С другой стороны, матрица Мр всегда является диагональной, поэтому обращение ее выполняется просто. Это обстоятельство важно при обращении матрицы форм колебаний. Формулу такого обращения получаем умножением уравнения (4.28) справа на матрицу Хм и умножением слева на матрицу Хм [c.263]

Когда матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице масс, главная матрица податливостей в соответствии с выражениями (4.46) и (4.49) принимает вид [c.264]

Зк/т. Так же были получены собственные векторы, при этом матрица форм колебаний имела вид [c.268]

Решение. В примере 2 из п. 4.2 была получена матрица форм колебаний [c.269]

Если матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице масс, выражение (4.63а) принимает вид [c.271]

Здесь диагональная матрица Сг, которую будем называть главной матрицей демпфирования, представляет собой линейную комбинацию матриц Мр и Sr- Когда матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице М, матрицу демпфирования в нормальных координатах запишем как [c.303]

Заметим, что при достаточно большом числе степеней свободы могут оказаться более предпочтительными и иные вычислительные процедуры для определения собственных частот и форм колебаний, которые освещены в специальной литературе 391. Один из таких методов, связанный с использованием так называемых матриц переноса, будет рассмотрен непосредственно при изложении задач динамики механизмов (см. п. 12). [c.86]

После определения собственных частот с помощью матриц переноса легко найти формы колебаний. Для этого достаточно, приняв в одном сечении амплитуду за единицу и используя граничные условия, найти в других сечениях амплитуды, соответствующие рассматриваемой собственной частоте k,. Полученные при этом значения являются коэффициентами формы. Знак минус в коэффициенте формы указывает на то, что колебания в рассматриваемом сечении и в сечении, где коэффициент формы принят равным единице, находятся в противофазе. [c.127]

Пример. Определим собственные частоты и формы колебаний для механизма, показанного иа рис. 19. Считая фц t) заданной циклической координатой, запишем матрицу переноса [c.127]

Как было показано в п. 18, частное решение системы однородных уравнений, отвечающее форме колебаний г, целесообразно искать в виде qj = В -р (t) os (/), причем для каждой формы может быть реализовано одно дополнительное условие вида (4.82). При этом в случае медленно изменяющихся параметров оказывается, что <7 —р (/) q -. Отсюда следует, что матрица переноса для инерционного элемента может быть представлена как (см. п. 12) [c.193]

Задачу о колебаниях составных стержней и рам при действии гармонического возбуждения можно свести к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Элементами матрицы являются суммы гиперболических и гармонических функций, зависящих от размеров стержней и частоты. С увеличением длины участка стержня и частоты аргументы функций растут, что при расчете на ЭЦВМ с ограниченным количеством значащих цифр приводит вначале к замене гиперболических функций экспонентами, а при дальнейшем росте аргумента — к потере гармонических функций. При этом матрица системы вырождается и получить удовлетворительное решение не представляется возможным. Например, на ЭЦВМ типа Минск вычисления производятся с семи значащими цифрами, поэтому при расчете колебаний опертой балки, начиная с третьей формы, гиперболические функции заменяются экспонентами, а расчет форм колебаний выше пятой практически осуществить не удается, так как теряются гармонические функции. [c.107]

Определим элементы матрицы динамической податливости методом разложения по собственным формам. Для этого в заданном диапазоне частот вычисляются все собственные частоты и соответствующие им формы колебаний, где I — номер собственной частоты в порядке ее получения при расчете. Матрица Ф ( ., f) получается суммированием податливостей Ф /), соответствующих [c.135]

Выше указывалось, что если исходить из целесообразно подобранных значений г/,-, которые мы вводим в столбец матриц в левой части (2.66), и если вычислить правую часть, которую нормируем аналогично тому, как в матрице (2.65), а новые значения iji применим для повторного расчета, то все вычисления приобретают определенный предел. При этом предполагается, что речь идет о низшей критической угловой скорости и о соответствующей ей форме колебаний. [c.62]

Если вал лежит на двух подшипниках по концам, то для качала расчета вполне достаточно предположить, что (1)У, = 1, (1)У2 = I, 1 )Уя=1 и т. д. В этом случае можно также вследствие ортогональности основных форм колебаний уменьшить количество степеней свободы на одну и расчет повторить для новой системы уравнений. Приведем простое доказательство сходимости указанного метода, например для матрицы (2.66). С этой целью перепишем матрицу (2.66), придав ей форму, которая намечает 62 [c.62]

Индекс с левой стороны означает порядок приближения. Выразим вертикальную матрицу оу при помощи матриц основных форм колебаний vh, соответствующих отдельным критическим угловым скоростям 0 . Очевидно, что [c.63]

Ввиду своеобразия матрицы А (матрица симметричная и содержит много нулевых элементов), для определения нулей определителя и нахождения собственных форм колебаний, соответствующих частоте выбран метод квадратного корня. Матрица А представляется в виде произведения двух транспонированных треугольных матриц [c.68]

Собственные частоты колебаний этой системы можно теперь найти, вычисляя значения к, при которых определитель матрицы уравнения (4.101) равен нулю. После того как представляющие интерес собственные частоты определены, можно найти соответствующую п-й собственной частоте нормальную форму колебаний, подставляя найденное значение Хп в систему (4.101) и решая ее относительно произвольных семи постоянных и выражая их через восьмую. Таким образом, форма колебаний определяется выражениями (4.91) и (4.92) с точностью до постоянного множителя, который можно выбрать из какого-либо условия нормировки. [c.177]

Д — определитель матрицы Д = xjL безразмерный параметр жесткости Гг — безразмерный параметр жесткости (см. выражение (5.19)) фь ф2 — функции п-й формы колебаний соответственно 1 и 2 балок [c.206]

Исследование влияния настроенных демпферов на динамическое поведение тонкостенных конструкций показало возможность применения изолированных настроенных демпферов из эластомеров для управления динамическими перемещениями по нескольким формам колебаний. Для таких исследований можно применить метод нормальных форм колебаний и определить влияние настроенных демпферов на поведение конструкций, состоящих из набора панелей, подкрепленных стрингерами и рамами [5.28], а также использовать метод передаточных матриц, который дает возможность оценить влияние настроенных демпферов на поведение изогнутых тонкостенных конструкций с подкреплением (рис. 5.18) [5.13]. [c.229]

Динамическая модель системы, разбитая на две половины, для изучения кососимметричных форм колебаний представлена на рис. 1, в. Здесь введена подвижная опора, обеспечивающая возможное горизонтальное перемещение по оси у и поворотные перемещения б и 0z из плоскости симметрии. Соответствующая динамическая матрица кососимметричных колебаний имеет вид [c.10]

Определение форм колебаний. Для каждого из определенных значений формы колебаний для общего случая (когда элементы матрицы А зависят от е) моя но найти только численным счетом. [c.139]

Когда все векторы, составляющие матрицу форм колебаний, будут указанным образом пронормированы, индекс М изменим на Н и введем обозначение Хн вместо Х . Тогда главная матрица масс, определяемая выражением (4.28), примет вид [c.261]

Решение. В предположении, что гпу= тц= т и ky = к, ранее были определены собственные значения системы р = 0,382fe/m pl = 2,6 8klm. Кроме того, были найдены значения отношений амплитуд rj = 0,618 и —1,618. Следовательно, матрица форм колебаний имеет вид [c.267]

Нет необходимости исследовать слабо демпфированные системы таким сложным способом, особенно с учетом того обстоятельства, что еще недостаточно известна сама природа явления демпфирования в физических системах. Простейшим является подход, основанный на предположении, что уравнения движения приводятся к несвязанному виду с помощью матрицы форм колебаний, полученной для системы без демпфирования. Другими словами, матрица Хм считается ортогональнои не только матрицам М и S [см. выражения (4.23) и (4.24)1, но также и матрице С [c.305]

Совершенно иной подхЛд к расчету интенсивностей дает метод парциальных осцилляторов. Целью любого полу эмпирического метода расчета интенсивностей является введение таких электрооптических параметров, которне бы отражали структурные особенности молекулы (например, связи, из которых она составлена) и позволяли бы использовать параметры одной молекулы в других молекулах, имеющих те же структурные элементы. Валентно-оптическая схема решает эту задачу в рамках классической механики. Метод Парциальных осцилляторов является последовательным квантовомеханическим подходом к той же проблеме. Поэтому в нем отсутствуют такие атрибуты классического описания, как, например, - матрица формы колебаний.Вместе с тем в теории появляются новые величины и(что самое главное) по-другому определяются электрооптические параметры. Все это открывает новые возможности в методах расчета интенсивностей. [c.132]

Расчет частот и форм колебани покажем па ггримере ь олсбапи 1 консольного стержня. Задаемос сначала некоторым значением частоты р тогда все элементы матрицы /1 становятся известными. [c.403]

Несмотря на формальное сходство с аналогичной процедурой, приведенной в п. 12, использование матриц переноса в системах с нестационарными связями имеет одно существенное отличие. В силу П- =j= onst преобразуемые с помощью матриц переноса амплитуды перемещений и сил являются функциями времени. Соответственно переменными оказываются собственные частоты и отношения между функциями В , отвечающими фиксированной частоте (t), которые характеризуют форму колебаний. Кроме того, говоря в данном случае об амплитудах, следует иметь в виду приведенный выше вполне определенный вид частного решения, в котором функция В является коэффициентом при [c.193]

Из Ilfиведенпых рассуждений вытекает, что для каждой критической скорости мы полу [им. матрицу пор.чдка Ь/, т. е. h,-. Совокупность этих матриц для всех к, начиная с fe=l до к=п, образует фундаментальную систему ненулевых решений, например уравнение (2.52), в котором в целях упрощения опущено гироскопичское влияние дисков. Каждая форма колебаний при определенном k называется собственной формой свободных колебаний, а соответствующая угловая скорость ч> — собственной угловой скоростью (в некоторых случаях также собственной угловой частотой). Отдельные матрицы, состоящие из величин д.Ь , т. е. являются линейно независимыми друг от друга. Это означает, что уравнение С,, h,- + С., Ь,- -. . . С , ,h О может быть удовлетворено только тогда, когда i= >-. . . = С -— 0, Все основные формы колебаний удовлетворяют уравнению [c.53]

Основные формы колебаний обладают еще одной особенностью сни являются ортогональными при условии, что квадратная матрица D, состоящая из коэффициентов симметрична по х иагоналп ( с = , ). Кроме того, преобразованная матрица D равна исходной матрице, т. е. D =D. Обозначим через и две собственные угловые частоты, а через 4I1,, h,- - соответствующие им основные формы колебаний. Докажем , что [c.54]

Отметим, что использование нормальных форм колебаний диа-гонализует матрицу, описывающую решение, и выражение [c.27]

Отметим, что в этом случае получается комплексная и недиагональная матрица, хотя часто оказывается, что влияние недиагональных членов мало по сравнению с диагональными. Дальнейшая процедура также требует укорочения рядов, но теперь наиболее эффективным методом решения будет использование вычислительных машин для решения системы комплексных матричных уравнений. Здесь это не будет делаться, поскольку наша цель — лишь проиллюстрировать, что можно и чего нельзя сделать прежде, чем приступать к подробному решению этой конкретной задачи. Следует отметить важное обстоятельство несмотря на появление указанного сингулярного выражения в точке х = 1, порядок уравнений задачи не увеличился, в то время как в прямом методе это было не так. Легкость, с которой это решение было получено, указывает на тот факт, что не математический подход создает трудности при учете недиагональных членов в разрешающей матрице (хотя иногда это, конечно, может случиться), а, скорее, отсутствие достаточно полных сведений о механизме демпфирования и о точках его приложения. Что же касается обратного перехода от замера форм колебаний к оценке физической модели механизма демпфирования (что полностью противоположно процессу, описанному ранее), то он исключительно труден в лучшем случае и невозможен — в худшем. Однако для многих эластомеров, полимеров и стекловидных материалов, рассматриваемых в данной книге, разумное количественное математическое описание не только возможно, но и стало весьма совершенным, так что его можно использовать для оценки влияния технологических обработок (для демпфирования) или демпфирующих механизмов (при использовании указанных материалов) на поведение конструкции, шумоизоляцию или акустическое излучение. То же самое можно сказать и о некоторых нелинейных демпфирующих системах типа металлов с высокими демпфирующими свойствами или типа демпферов с сухим трением, хотя при этом существенно возрастают математические трудности, обусловленные учетом нелинейности. [c.29]

Трудности в численных расчетах, встречающиеся при исследовании балки, опертой на жесткие пружины, обсуждались Пестелем и Леки [4.8. Эта проблема становится еще более актуальной при расчете панелей самолетов. Одной из основных возникающих здесь трудностей является цепочка перемножений матриц типа представленных в уравнении (4.125), так как если цепочка становится длинной, а жесткость упругого элемента, определяющая матрицу [Р], существенно превышает жесткость балки на изгиб, определяющую матрицу [U], то возникает неустойчивость процедуры численного счета, что по существу является результатом вычисления малых разностей больших чисел в вычислительных машинах при конечной точности представления чисел. Для задач о свободных колебаниях это означает, что иногда, особенно когда это связано с задачами, описываемыми уравнениями высоких порядков (типа уравнений оболочек), возникают трудности определения частот, при которых частотный определитель достаточно близок к нулю, с тем чтобы с необходимой точностью найти формы колебаний. При решении задач о вынужденных колебаниях может вызвать затруднение процедура численного обращения матрицы (см. уравнение (4.128)). Как было показано Лином и Макданиэлом [4.7], это связано с соотношением [c.186]

Далее по формуле (20) можно вычислить матрицу-столбец для произвольного сечения г-го участка, причем в (19) б , = (s — Zj i). Полученные векторы Xjj позволяют определить искомую форму колебаний ротора, а также отвечающую ей упругую линию гибкого вала на каждом из его участков. [c.12]

При жсспедовании динамики сложных дискретных пространственных систем одной из основных задач является определение собственных частот и форм колебаний Zj. Для решения этой задачи составляется динамическая матрица жесткости [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...