Вращение твердого тела по инерции

ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ИНЕРЦИИ [c.103]

Векторы ф и -ф направлены по осям и г соответственно (рис. V.8) положим ф = (й1, ф а и в силу равенства (79) разложим в плоскости П вектор на (Oi и 2 (рис. V.12). Модули этих векторов постоянны, так как модуль вектора <в, а также углы между < и осями 5 и 2 сохраняют постоянное значение. Таким образом, движение симметричного твердого тела по инерции можно рассматривать как сумму двух вращений с постоянными угловыми скоростями. Одно вращение про- Рис. V.I2. исходит вокруг оси симметрии t с [c.201]

Первое из уравнений (38) показывает, таким образом, что момент количеств движения относительно оси вращения выражается произведением на Л (момент инерции тела относительно той же оси), где нужно взять знак плюс, если ось вращения ориентирована таким образом, что в рассматриваемый момент вращение твердого тела по отношению к ней оказывается правым. [c.247]

Согласно принципу наименьшего действия, движение твердого тела по инерции (в отсутствие внешних сил) есть геодезическая на группе вращений с указанной выше левоинвариантной метрикой. [c.290]

Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. [c.10]

Третье уравнение (теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек в относитель 10м движении по отношению к центру инерции, записанная для случая вращения твердого тела вокруг подвижной оси, движущейся поступательно) описывает относительное вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр инерции С твердого тела перпендикулярно к неподвижной плоскости. [c.252]

Статическая неуравновешенность обусловливается смещением центра инерции ротора от геометрической оси вращения. Динамическая неуравновешенность является следствием наклона главной оси инерции твердого тела по отношению к геометрической оси вращения. [c.632]

В последнее уравнение системы (25) не входят силы реакций закрепленных точек. Это уравнение является уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Ог. Из него по заданным силам определяется угловое ускорение е, если известен момент инерции тела относительно оси вращения. По угловому ускорению интегрированием определяется угловая скорость, если известно ее значение в начальный момент. Для определения шести неизвестных проекций сил реакций остается пять уравнений. Система уравнений (25) не позволяет определить каждую из неизвестных 2а и 1 - Из третьего уравнения системы можно определить только сумму этих неизвестных. Для того чтобы из этой системы можно было определить все неизвестные, необходимо закрепить тело в точках А п В так, чтобы неизвестных проекций сил реакций в них было не более пяти. Этого можно достигнуть, например, поместив в точке А подпятник, а в точке В — подшипник (рис. 88). Для таких опор оси тела = 0 и все оставшиеся неизвестные могут быть определены из системы уравнений (25). [c.361]

Первая основная задача. По заданному закону вращения твердого тела = вокруг неподвижной оси z и моменту инерции тела относительно этой оси найти момент равнодействующей силы Ml, вызывающей это вращение. [c.285]

ТО опорные реакции определяются как в статике, ибо в соотношениях (6.2) все члены, стоящие в левых частях, пропадут. Если этого случая пет, то реакции будут зависеть от угловой скорости вращения твердого тела (о и производной d(Si/dt. При численно больших значениях и da/dt, мы получим численно большие опорные реакции. Чтобы этого не случилось, в центрифугах ось вращения направляют по главной оси центрального эллипсоида инерции. [c.179]

Центробежные моменты инерции (моменты девиации). Остановимся на только что отмеченном обстоятельстве если прямая а, проходящая через точку О, не является перманентной осью вращения, а начальная угловая скорость совпадает с ней по направлению, то ось мгновенного вращения при движении тела по инерции будет смещаться тотчас же после начала движения из своего начального положения а. Чтобы несколько выяснить причины этого явления, посмотрим, нельзя ли добавить (к возможным внешним активным силам с результирующим моментом относительно точки О, равным нулю) новую силу, которая препятствовала бы оси а перемещаться и вынуждала бы твердое тело перманентно вращаться вокруг нее с заданной начальной угловой скоростью. [c.90]

Пример 1 (Устойчивость стационарных вращений твердого тела в СЛУЧАЕ Эйлера). Как показано в п. 99, при стационарных вращениях твердого тела в случае Эйлера вращение происходит с постоянной по величине угловой скоростью вокруг любой из главных осей инерции тела для неподвижной точки. Изучим устойчивость движения, в котором [c.519]

Пример 1 (Неустойчивость стационарного вращения твердого тела в СЛУЧАЕ Эйлера вокруг оси среднего по величине момента ИНЕРЦИИ ). Рассмотрим устойчивость вращения (2) твердого тела в случае Эйлера, предполагая, что ось вращения отвечает среднему по величине главному моменту инерции тела для неподвижной точки О. Для определенности будем считать, что С > А > В и и > 0. [c.526]

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси возникают центробежные силы инерции (ЦБС) ЦБС любого элемента AG тела определяется по формуле [c.106]

Эллипсоид инерции твердого тела постоянно касается неподвижной плоскости п. Точка касания Р является полюсом, а прямая ОР — мгновенной осью вращения твердого тела. Кривую, описываемую полюсом на поверхности эллипсоида инерции, Пуансо назвал полодией, а кривую, описываемую полюсом на неподвижной плоскости я, — герполодией. Подвижный аксоид имеет вершину в точке О, а полодия служит его направляющей. Непо движный аксоид имеет вершину в той же точке О, а в качестве направляющей — герполодию. Непрерывное движение твердого тела соответствует качению без скольжения подвижного аксоида по неподвижному. Такое движение может быть осуществлено, если заставить эллипсоид инерции катиться и вертеться без скольжения по неподвижной плоскости я, положение которой зависит от начальных условий. [c.416]

Силы инерции вращающихся частей. При вращении твердого тела около постоянной оси нужно рассматривать силы инерции двух родов центробежные и касательные. Первые из них направлены по радиусу от центра и равны тсо г (т — масса частицы, со — угловая скорость вращения, г— расстояние частицы т от оси вращения). Касательные силы инерции перпендикулярны к радиусу, идут противоположно [c.116]

Устойчивость вращения твердого тела. Мы знаем, что в каждой точке тела есть три главные оси они обладают тем свойством, что при вращении около них без действия активных сил силы инерции взаимно уравновешиваются. Когда сообщено вращение около главной оси, то оно будет продолжаться по инерции без перемены. Между тем, если сообщено вращение около неглавной оси, то для поддержки его необходимы внешние силы на оси. Если их нет, то ось вращения будет мгновенной, беспрестанно изменяющей свое положение в теле и в пространстве. [c.269]

Рассмотрим задачу о вращении твердого тела с несимметричным ротором по инерции вокруг неподвижной точки, считая, что ротор может свободно вращаться вокруг некоторой оси, жестко связанной с твердым телом (см. п. 9 3 гл. I). Эта система имеет, очевидно, четыре степени свободы пространством положений служит прямое произведение 80(3) х 5 . [c.273]

Введение понятия о главных моментах инерции дает возможность произвести классификацию твердых тел по их инерционным свойствам. Твердые тела, у которых все три главных момента инерции различны, называют асимметрическими волчками. Примером асимметрического волчка может служить однородное тело, имеющее форму прямоугольного или косоугольного параллелепипеда. Если два главных момента инерции равны друг другу, а третий не равен им, т. е. если У1 = Уз =й Уз, то твердое тело называют симметрическим волчком. Симметрическим волчком является любое однородное тело вращения, правильная прямоугольная призма. Наконец, если совпадают между собой все три главных момента инерции, то твердое тело называют шаровым волчком- Примерами шаровых волчков могут служить однородные шар и куб. [c.287]

Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел. Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь Л1 = Г50(3) =50(3)X/ , группой симметрий О является группа вращений 50(3) ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли 50(3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Мс=Рв<цз) Чс). Нетрудно показать, что при всех значениях с множество Мс является трехмерным многообразием, диффеоморфным пространству группы 50(3). Стационарной группой Ос является одномерная группа поворотов 50(2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство Л7е = 50(3)/50(2) диффеоморфно двумерной сфере. [c.110]

Для определения кинематических уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижной точки требуется решение системы нелинейных дифференциальных уравнений Эйлера (17.5). Эта сложная математическая задача может быть аналитически доведена до конца лишь в немногих частных случаях, которыми занимались знаменитые математики Эйлер, Лагранж, Ковалевская и др. Мы в качестве примера рассмотрим наиболее простой случай вращения тела по инерции, т. е. при отсутствии моментов сил, приложенных к телу. Эта задача впервые была решена Эйлером и носит его имя. [c.159]

Приступая к изучению движения твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера), рассмотрим отдельно движение тела, у которого Аф В, и движение тела в случае, когда А В, т. е, когда эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. В случае А = В мы будем говорить, что тело обладает динамической симметрией. Динамическая симметрия всегда имеет место у однородных тел вращения, но может случиться, что тело не является телом вращения, однако А = В, т. е. имеет место динамическая симметрия. [c.195]

Таким образом, во время движения по инерции симметричного твердого тела всегда существует плоскость П, в которой находятся векторы ш и Ко- Абсолютные величины этих векторов, а также углы, которые они составляют с осью симметрии и между собой, сохраняют постоянное значение. Значит, изменение вектора to происходит лишь за счет вращения плоскости П вокруг неподвижного вектора Л о- [c.201]

Если при решении задачи приходится пользоваться формулами, содержащими центробежные моменты инерции твердых тел (например в задачах на определение давлений вращающегося твердого тела на ось вращения (глава X, 3), в задачах об ударе по телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси (глава XII, 1), в задачах динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки (глава X, 8)), то для упрощения решения задач следует специально выбрать направление осей декартовых координат. Для этого требуется выяснить, нет ли в твердом теле оси материальной симметрии либо плоскости материальной симметрии. При наличии в твердом теле оси материальной симметрии надо одну из координатных осей направить по этой [c.245]

Главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести С параллельно оси вращения, равен по модулю произведению момента инерции твердого тела относительно оси С на модуль углового ускорения твердого тела 8. Знак главного момента сил инерции противоположен знаку проекции углового ускорения — проекция углового ускорения 8 [c.341]

Главный вектор и главный момент сил инерции, условно приложенных к ускоряемому твердому телу, следует определять по приведенным выше формулам, в соответствии с видом движения твердого тела (поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси, плоское движение). Если с помощью готовых формул главный вектор и главный момент вычислить нельзя, то в случае непрерывного распределения масс надо вычислить силы инерции для выделенного элемента и затем распространить суммирование по всему твердому телу, вычислив определенный интеграл в соответствующих пределах. [c.342]

Твердое тело может совершать по инерции и другого вида движения (например, равномерное вращение и т. д.) эти движения будут рассмотрены в ч. П. [c.183]

Обратимся теперь к вращению твердого тела по инерции. Для этого случая задачу Дарбу можно разрешить. Действительно, величины 0) , со со зависят лишь от п и, следовательно, являются известными функциями Ь. Далее, вращение с угловой скоростью й) происходит вокруг направления, неподвижного в пространстве. Вращение с угловой скоростью со происходит вокруг направления, неизменного в системе которой ось направлена по линии узлов, а ось совпадает о осью 0 . вращение с угловой скоростью 0 происходит вокруг оси, неподвижной в системе гнаправлена по линии узлов, а ось 2 - по оси 2. Ориентация твердого тела, таким образом, определяется формулой [c.17]

Причина вырождения может быть в том, что число первых интегралов, определенных во всем фазовом пространстве, больше п (но не все они, разумеется, находятся в инволюции). Так, например, в задаче Эйлера о вращении твердого тела по инерции, имеющей три степени свс ды, существует четыре независимых первых интеграла. Их совместные уровни расслаивают трехмерные инвариантные торы на друмерные торы. Эта ситуация описывается обобщением теоремы 8. Обозначим Fu...,Fn+k независимые первые интегралы гамильтоновой системы с гамильтонианом Н и пусть по-прежнему М,= = хбЛ1 Fi x)=fi, Считаем Mf связным н ком- [c.131]

С — Л) os0 С02/ i] oi + Л(02, где oi и 2 векторы угловых скоростей собственного вращения и прецессии соответственно, а 0 — угол между ними. Используя это соотношение, получить выражение для Kq в случае движения симметричного твердого тела по инерции. [c.103]

Движения волчка в общем случае. Из примеров движения волчка, приведенных в п. 202, видно, как видоизменяется эффект действия сил на тело от вращения этого тела. Если волчок с неподвижной точкой О был первоначально в состоянии покоя, то сила тяжести заставит его повернуться вокруг оси ОВ и упасть вниз. Когда же волчок быстро вращается вокруг своей оси ОС, сила тяжести не изменяет ош,утимо наклона этой оси к вертикали, а заставляет эту ось описывать прямой круговой конус вокруг вертикали. Для того чтобы лучше понять причину этого различия, полезно изучить движение с другой точки зрения. Рассмотрим геометрическую интерпретацию Пуансо движения твердого тела по инерции и попытаемся проследить, как она будет изменяться при учете действия силы тяжести. Предположим, что тело движется произвольно и мгновенная ось вращения 01 описывает полодию с параметром р (п. 143). Пусть на тело действует пара сил с моментом Q. Если ось пары совпадает с неизменяемой прямой 0L, ее влияние выражается лишь в изменении существующего момента количеств движения G. Траектории всех точек тела в пространстве остаются неизменными, но описываются уже с другими скоростями (п. 146). Таким образом, полодия остается неизменной. Если ось пары перпендикулярна к 0L, величина мо.мента количеств движения за время dt не изменится + (Q dt) = G), хотя сама неизменяемая пря- [c.176]

Пример. В качестве примера решения задачи об устойчивости движения путем надлежащего выбора функции Ляпунова V рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравргения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так [c.234]

Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущениям величин р, г. Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий на эллипсоиде инерции (см. рис. 99) вблизи осей Ох и Oz эллипсоида инерции, отвечающих наибольшему и наименьшему моментам инерции, полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси Оу, отвечающей среднему по величине моменту инерцищ полодии не охватывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси. Ниже в п. 235 мы строго докажем неустойчивость стационарного вращения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела. [c.520]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

В первой задаче по заданному моме<1ту инерции твердого тела 4 отно- Нельно оси вращения и закону вращения твердого тела ip =f(t) опреде-. яется главный момент относительно этой оси внешних сил, приложенных > твердому телу. [c.262]

Вращение твердого тела вокруг оси при Л1 = О, т. е. вращение с постоянным моментом количества движения, аналогично движению точки по инерции , когда mv = onst. Но имеется некоторое различие между этими аналогичными случаями движение по инерции точки есть движение с постоянной скоростью, когда масса точки остается постоянной, а движение тела с постоянным моментом количества движения N — это не всегда движение с постоянной угловой скоростью U, так как момент инерции тела / можно легко изменить во время движения. Так, например, если У тела, которому предварительно сообщено вращение, изменить момент инерции, то скорость вращения ш, вообще, изменится. Если при этом и момент внешних сил равен нулю, то угловая скорость 0) будет изменяться обратно пропорционально моменту [c.185]

Эту прямую, проходящую через центры всех эллипсов, по которым текут частицы жидкости, мы назовем осью эллиптического вращения. Формулы (5) подаоляют по направлению оси вращения твердого тела найти направление оси эллиптического вращения заключенной в нем жидкости. Д.ЧЯ этого стоит только провести к оси вращения тела перпендикулярную плоскость, прикасающуюся к эллипсоиду инерции, данному уравнением (3), и соединить точку касания с центром полости прямою, которая и будет искомою. [c.193]

При определении противовесов к несимметричным вращаюптимся телам или при определении влияния не вполне правильной установки уравновешенного по своей форме тела на дополнительные динамические давления в подшипниках представляет интерес следующая задача. Пусть АВ — ось вращения твердого тела (рис. 1). Известен центр его тяжести С, положение главных осей инерции Су и Сг — они в плоскости чертежа, как и ось АВ. Тело имеет любую форму, в частности, это может быть любое тело, симметричное относительно плоскости чертежа (пластинка любой формы, параллелепипед, любой эллипсоид, любое тело вращения с осью Су, дуга окружности и т. п.). [c.78]

В качестве примера рассмотрим задачу Эйлера о вращении по инерции твердого тела вокруг неподвижной точки. Пространством положений N служит группа 50(3). Кинетический момент твердого тела постоянен в неподвижном пространстве. Фиксируя его ненулевое постоянное значение, можно представить кинетический момент тела в подвижном пространстве в виде функции от положения твердого тела. В результате на группе 50(3) появляется стационарное трехмерное течение можно проверить, что оно вихревое. Функция В в нашей задаче постоянна на 50(3) лишь в том вырожденном случае, когда тензор инерции шаровой поэтому в типичной ситуации rot и х г> 0. Линии тока и вихревые линии лежат на поверхностях Бернулли Г = х В х) = с , которые при некритических значениях с диффеоморфпы двумерным торам. Отметим, что критических значений всего три они совпадают с энергией вращения твердого тела вокруг главных осей инерции (при фиксированном значении кинетического момента). [c.72]

Так как = onst, то со = onst, т. е. твердое тело вращается равномерно (по инерции). Если отдельные элементы вращающейся системы в процессе вращения изменяют свое положение по отношению к неизменяемой оси вращения, то изменяется величина момента инерции системы относительно этой оси. Тогда при L, = onst изменяется угловая скорость вращения системы to. [c.213]

При решении этих задач по принципу Даламбера нужно разбить вращающееся твердое тело на элементарные материальные частицы и к каждой такой частице приложигь касательную п нормальную силы инерции этой частицы. Так как, согласно принципу Даламбера, все эти силы инерции уравновешиваются заданными силами, приложенными к телу, и реакциями закрепленных точек, то в общем случае имеем шесть известных из статики уравнений равновесия (три уравнения проекций и три уравнения моментов). В эти уравнения войдут, во-первых, сумма проекций всех сил инерции на каждую из трех выбранных координатных осей, или, что то же, проекции главного вектора сил инерции на каждую из этих осей, и, во-вторых, суммы моментов всех сил инерции относительно каждой координатной оси, или, что то же, главные моменты сил инерции относительно каждой из этих осей. Если ось вращения тела примем за координатную ось Z, то проекции главного вектора сил инер[[,ии [c.378]

В прямых задачах по заданному моменту инерции твердого тела относительно оси вращения и закону вращения твердого теласр=/(<) определяется главный момент относительно этой оси внешних сил, приложенных к твердому телу. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...