Дарбу задача

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Эта задача, поставленная Ж. Бертраном, была решена Ж. Альфаном (аналитическим методом) и Г. Дарбу (геометрическим методом) они доказали, что силы должны быть либо [c.279]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДАРБУ [c.15]

Итак, если вращательное движение твердого тела можно представить в виде указанной выше суперпозиции, то задача Дарбу разрешима, как это следует из формулы (4.5) [c.17]

Оказывается, что верно и обратное утверждение, что воли задача Дарбу разрешима, то вращательное движение тела может быть представлено в форме суперпозиций вращений, указанных выше. [c.17]

В классическом сочинении Дарбу по теории поверхностей ) задача об определении положения тела по заданной угловой скорости сведена к разысканию одного частного решения уравнения типа Рик-кати. Вывод этого уравнения основывается на рассмотрении стереографической проекции плоскости на единичную сферу 2о о чем говорилось в п. 3.9. Пусть 2, — координаты точки этой сферы. Ее координаты в системе 0х х2х даются преобразованием (9.10) или в другой форме (9.9). Дифференцируя последнее соотношение [c.130]

Дарбу [1] изучал класс вышеуказанных задач и подчеркивал их удивительное сходство с задачей Кеплера. Можно произвольно выбрать положительно однородную степени 1 функцию F К и считать, что кривая F(x,y) = 1 пробегается некоторой траекторией. Это определяет /, которая будет функцией Якоби-Дарбу. Уравнение общей орбиты, которое можно найти в книге Уиттекера [1], совершенно аналогично уравнению из леммы 1.5 F x, у) = ах + Зу + J- Все эти кривые — алгебраические, если таковой была первая из них. [c.26]

Задача о разделении переменных, отчетливо сформулированная К. Якоби в его Лекциях по динамике (1842-43 гг.) [183], до сих пор является предметом серьезных исследований. Ж. Лиувилль и П. Штеккель нашли наиболее общие формы гамильтонианов, допускающих разделение переменных. Причем оказалось, что если использовать только преобразования конфигурационного пространства (точечные преобразования), то разделение переменных тесно связано с наличием полного набора интегралов, квадратичных по импульсам. Результаты такого сорта для натуральных систем с двумя степенями свободы были впервые указаны Дарбу, Уиттекером и Биркгофом [167, 13]. С современной точки зрения они обсуждаются в [137]. [c.82]

Если кривая С2. I = ф2(х) (рис. 21) также является характеристической кривой, на которой заданы значения функций 1 (л , ф2(л )), г2(л , Ф2(а )), то в области О, ограниченной характеристиками С и С2, а также характеристиками, проведенными из точки Р, необходимо решать задачу Дарбу для уравнения [c.67]

Решения задач Дарбу и Гурса строятся с помощью соотношений [c.67]

При г > в среде распространяются только упругие волны. Решение в области III находится путем решения в ней задачи Дарбу для уравнения (17.27) при этом [c.164]

Можно определить некоторый класс неоднородных сред, для которых в областях упругих деформаций можно построить решения в замкнутом виде, сведя уравнения задачи (24.9) к уравнениям типа Эйлера — Дарбу, подобно тому как это было сделано в случае плоских волн (п. 24.1). [c.220]

В области III упругих деформаций движение среды описывается уравнением (30.10). В этой области следует поставить задачу Дарбу с заданными условиями на характеристиках S = [c.289]

Трехгранник Дарбу Oxyz на поверхности Земли ориентирован не географически, как это было сделано в предыду-щеН задаче, а по траектории основания трехгранника относительно Земли ось х направляется горизонтально по скорости V вершины О (центр тяжести самолета, корабля) трехгранника относительно Земли,ось у направляется горизонтально влево от оси х, а ось Z — вертикально вверх. Определить проекции угловой скорости трехгранника Oxyz, если скорость точки О равна v, а ее курс определяется углом ф (угол между направлением на север и относительной скоростью точки О). [c.147]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Задачи Бертрана, Альфапа и Дарбу. Речь идет об определении таких позиционных сил с линией действия, проходящей постоянно через неподвижную точку, которые заставляют движущуюся точку описывать коническое сечение при любых начальных условиях. Бертран ) предложил эту задачу в 1873 г., после того как решил другие, связанные с ней задачи. В указанной форме эта задача была решена в том же году ( omptes Rendus, т. 84j [c.213]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути канонического варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движуш вй силой этих его исследований было стремление разработать обш,ую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений Благодаря новой принадлежаш,ей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований... Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были, достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли [c.232]

Задачу Бертрана решили В. Г. Имшенецкий Г. Дарбу и Г. Альфан Они доказали, что указанные Бертраном два закона сил являются единственными, при которых траекториями для всех начальных условий будут конические сечения. [c.106]

Достаточно хорошая аппроксимация решения точных уравнений плоского установившегося безвихревого сверхзвукового течения идеального газа получена сведением решения задачи к решению уравнений типа Дарбу — Эйлера (С. А. Христианович — 1947, Р. Зауер — 1951) [c.332]

Обратимся теперь к вращению твердого тела по инерции. Для этого случая задачу Дарбу можно разрешить. Действительно, величины 0) , со со зависят лишь от п и, следовательно, являются известными функциями Ь. Далее, вращение с угловой скоростью й) происходит вокруг направления, неподвижного в пространстве. Вращение с угловой скоростью со происходит вокруг направления, неизменного в системе которой ось направлена по линии узлов, а ось совпадает о осью 0 . вращение с угловой скоростью 0 происходит вокруг оси, неподвижной в системе гнаправлена по линии узлов, а ось 2 - по оси 2. Ориентация твердого тела, таким образом, определяется формулой [c.17]

Приближенный метод С. А. Чаплыгина был обобщен и на случай сверхзвуковых и смешанных течений. С математической точки зрения установившиеся сверхзвуковые течения отличаются от дозвуковых главным образом тем, что первые описываются уравнениями гиперболического, а вторые — эллиптического типа. В соответствии с этим изучение дозвуковых течений сводится к краевым задачам теории функций комплексного переменного, в то время как уравнения волновые и типа Дарбу используются для изучения сверхзвуковых течений. Для сверхзвуковых режимов хорошие приближения были получены С. А. Христиановичем (1947). Г. А. Домбровскому (1955) удалось достигнуть третьего порядка касания аппроксимирующей кривой как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых потоков. В качестве приложений Г. А. Домбровский рассматривал раз личные струйные задачи (1956). [c.35]

С. А. Христианович (1947) произвел аппроксимацию функции модуля скорости, входяш,ей в преобразованные к характеристическим координатам в переменных годографа уравнения для ф и г , с помощью кусков парабол. Эта аппроксимация, по существу эквивалентная аппроксимации адиабаты, позволила свести уравнение для ф или дляг[)к уравнению Дарбу, причем к тому его типу, который в общем случае интегрируется до конца. Христианович дал решение основных краевых задач газодинамики с использованием этого уравнения. Аппроксимация, введенная Христиановичем, пригодна для скоростей, не слишком близких к скорости звука и не слишком больших по сравнению с ней в диапазоне чисел Маха от 1,05 до 3,5). [c.162]

В принципе вопрос о разрешимости этой задачи в классе непрерывных функций допускает исследование в общем виде (по-видимому, достаточно полное) с помощью преобразования годографа, так как уравнение Трикоми ифуу + фии = 0 — образ системы Кармана-Фальковича (7) — в характеристических переменных /i, Л преобразуется в уравнение Эйлера-Дарбу [c.59]

Например, на орбитах коприсоединенного представления группы 80(3) (сферах с центром в нуле) можно выбрать согласованные локальные координаты Дарбу в окрестности ненулевой точки структура Пуассона в подходящих локальных координатах принимает вид х, у = i, х, z = у, z = 0. Эта нормальная форма структуры Пуассона пространства моментов полезна для исключения узла в задаче многих тел (см. п. 5 5 гл. III в статье Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 6). [c.423]

Эта книга возникла как продолжение работы над обзором Уединенные вихри в плазме , написанного для журнала Физика плазмы . В процессе работы выяснилось, что предмет обзора составляет часть быстро развивающейся науки — теории уединенных волн. Поскольку у нас к тому времени имелся некоторый опыт работы в этой области, то авторы сонли полезным изложить с единой точки зрения как ее основы, так и последние достижения. Мы считаем, что для описания наиболее интересных свойств уединенных волн можно ограничиться традиционными методами математики на уровне строгости, принятом в физической литературе. Значительный прогресс в математической теории уединенных волн (метод обратной задачи рассеяния, преобразования Дарбу и Т.Д.) связан в основном со свойствами полной интегрируемости сравнительно узкого класса нелинейных уравнений. Большая же часть нелинейных уравнений и их уединенных решений, представляющих физический интерес, не попадает в этот класс. Между тем здесь получено много элегантных и важных результатов. Их изложение представляет предмет данной книги. Интересы авторов в основном сосредоточены в физике плазмы. Однако поскольку многие результаты из этой области могут иметь и другие приложения, в основном в физике атмосферы и океана, то нам представлялось естественным расширить круг рассматриваемых вопросов. При этом оказалось, что многйе достижения из физики атмосферы и океана могут представлять большой интерес и для теории нелинейных волн в плазме. [c.3]

Одпако в общем случае надежда свести исходное уравнение к линейному, по-видимому, не оправдывается. Но другой путь — найти уравнения, которые можно отобразить в себя, так что любое известное решение для ф (даже тривиальное) дает новое решение ф. Задача определения преобразований, переводящих уравнение (17.75) в себя, ставится Форсайтом со ссылкой на Биан-ки и Дарбу. Легко показать, что соответствующее преобразование Беклунда имеет вид [c.582]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...