ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые возмущения. Линейные волны из "Нелинейные волны в упругих средах " Коэффициенты а, Ь, Н - постоянные комбинации упругих модулей среды. [c.154] Будем всюду в дальнейшем изучать распространение волн по однородной среДе, свойства которой не меняются в зависимости от лагранжевой переменной х. Тогда все коэффициенты в разложении ( .1) можно считать постоянными. При написании равенства (3.1) использовано также то обстоятельство, что энтропия частиц среды также меняется мало, что позволило зависимость Ф от энтропии учитывать только одним членом роТ 3 — 8о) (см. 2.4). Выражение (3.1) может содержать также линейные по и, члены, которые выписывать не будем, поскольку вызванные ими добавочные напряжения постоянны и не влияют на распространение волн. [c.154] Это равносильно тому, что в разложении (3.1) следует считать f = fx, g = Q, d=X + 2ц, а члены порядка выше второго не учитывать. При этом Фц = Ф22 = J-, Фзз = + 2/i, а остальные Ф, z= О, гф j. Коэффициенты Хи ц- упругие постоянные среды (коэффициенты Ламе), которые, как обычно, будем считать положительными (для дальнейшего необходимо /х О, А- -2/х 0). [c.155] Если не оговорено противное, будем в дальнейшем рассматривать только волны, распространяющиеся в положительную сторону оси X. [c.156] Вследствие второй группы уравнений (3.3), в бегущей волне функции Vi (г = 1,2,3) пропорциональны щ, поэтому будем обсуждать далее решение только для компонент деформации щ. Заметим, что можно было сразу исключить из системы (3.3) все другие функции, кроме щ. Тогда для щ имели бы систему уравнений, каждое из которых второго порядка. Рещение в виде бегущей волны для этой системы привело бы к тому же характеристическому уравнению Ф,- — а% = О, где а = рос . [c.157] Из-за диагональности матрицы Ф,, можно считать, что в каждой из волн, соответствующей своей характеристической скорости, меняется лишь одна компонента вектора щ. Две первые волны, у которых в линейной изотропной среде характеристические скорости одинаковы ( i = С2), являются чисто поперечными, в каждой из них будем считать, что меняется только одна компонента (ux или 2) деформации сдвига в плоскости фронта волны. Третья волна - чисто продольная, в ней пх — onst, 2 = onst и меняется только 3. Ее скорость сз отличается от скорости поперечных волн на конечную величину, определенную свойствами материала. [c.157] соответствующую характеристической скорости с , обычно называют энтропийной. В ней щ и и, не меняются, а энтропия, согласно последнему уравнению системы (3.3), вморожена в частицы 5 = 5(а ) и переносится вместе со средой. [c.157] Когда состояние предварительной деформации (фона) таково, что i/ ф О, матрица коэффициентов Ф, перестает быть диагональной. будем считать, что Ui г. Одним из корней уравнения (3.5), как и прежде, служит = О (энтропийная волна), а другие корни а = рос находятся как решения кубического уравнения. Одновременно каждый из собственных векторов матрицы ЦФг Ц, пропорциональный изменениям деформаций щ в волне, обладает в общем случае всеми тремя компонентами, что указывает на то, что волны перестают быть чисто продольными и чисто поперечными, а становятся смешанными. [c.158] Однако, выражения (3.4) для Ф, показывают, что диагональные члены матрицы Ф, имеют конечную величину в то время, как недиагональные являются малыми порядка е или меньше. Это значит, что в одной волне изменение компоненты из будет главным, а изменения других имеют величины на порядок (по е) меньше, чем у основной. Такие волны принято называть ква-зипродольными В двух других волнах изменение из на порядок меньше, чем у сдвиговых компонент их,и2. Такие волны называются квазипоперечными. Вычисление характеристических скоростей из уравнения (3.5) можно проводить, используя малые поправки к решению (3.7). Это будет сделано в следующих параграфах. [c.158] Заметим, что матрица коэффициентов Ф, ([/ ) остается симметричной, что обеспечивает действительность ее собственных значений а. Это значит, что характеристические скорости Ск могут быть только либо действительными, либо чисто мнимыми, но не комплексными. В то же время величины а приобретают за счет присутствия Ф ф О, ф j лишь малые добавки к своим основным значениям (3.6) и, следовательно, = рос1 остаются положительными, а с - действительными. Это значит, что система уравнений (3.3) нелинейной теории упругости при малых деформациях является гиперболической. Задачи с малыми возмущениями были подробно рассмотрены в (Гузь [1986]). [c.158] Вернуться к основной статье