Вывод дифференциальных уравнений метода Лагранжа

Вывод дифференциальных уравнений метода Лагранжа [c.578]

Эти же выражения можно было бы получить даже еще раньше, рассмотрев выражения для кинетической и потенциальной Ер энергии, которые используются при выводе дифференциальных уравнений методом Лагранжа. При этом методе несвязанные диф-( )еренциальные уравнения могут получиться только тогда, когДа выражения как для кинетической, так и потенциальной энергии не содержат квадратичных членов с произведением координат. Поэтому нужно найти такое линейное преобразование координат, которое одновременно переводит выражения для EkH Ер в суммы квадратов. В алгебре эта операция называется преобразованием к главным осям. Проведем его для данного случая и покажем, что при этом снова получатся уравнения движения в главных координатах g и г). [c.261]

При выводе дифференциального уравнения неразрывности рассматривалось движение отдельной жидкой частицы такой метод исследования ввел в гидродинамику Лагранж. В другом методе исследования, развитом впервые Эйлером, рассматривается не поведение отдельных частиц, а изменение по времени параметров жидкости в фиксированных точках пространства метод Эйлера во многих случаях удобнее метода Лагранжа — и в гидродинамике, и в газовой динамике им пользуются чаще. [c.62]

Этот метод вывода основного дифференциального уравнения вариационного исчисления, предложенный Эйлером, не совсем строг, так как он использует двойной предельный переход в не вполне допустимой форме. Прямой вывод Лагранжа, который мы изложим ниже, свободен от этого недостатка. [c.76]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Величина а в знаменателе правой случай биения (е о. части в (17.144) (масса колеблющегося тела) появляется в процессе вывода уравнения согласно (17.115). Решение такого неоднородного дифференциального уравнения находим по известной схеме Лагранжа ) (метод вариации постоянных Лагранжа). Фундаментальная система однородного уравнения, соответствующего (17.144) имеет вид (17.100) [c.119]

По итогам данного обзора можно констатировать, что к настоящему времени разработаны и описаны в литературе многие варианты неклассических двумерных уравнений слоистых анизотропных оболочек и пластин. Для вывода таких уравнений используются различные методы — метод асимптотического интегрирования уравнений пространственной задачи теории упругости, метод разложения в ряды по функциям поперечной координаты, метод гипотез для каждого слоя или для пакета слоев в целом в сочетании с вариационным принципом Лагранжа или Рейсснера и т.д. С точки зрения практических приложений наиболее перспективным из них представляется метод гипотез для пакета слоев, приводящий к математическим моделям, сочетающим в себе возможность адекватного описания процессов деформирования тонкостенных анизотропных слоистых систем с относительной простотой разрешающих дифференциальных уравнений. [c.11]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

При выводе этих уравнений Вольтерра применил оригинальный метод, оказавшийся яркой вехой в развитии математики и механики он первый ввел понятие, вошедшее в науку под термином неголономные координаты (или как их иногда называли, да и сейчас еще некоторые авторы называют — квази-координаты ). Понятие неголономной коор- динаты вытекает, по существу, из того же замечания Лагранжа о связи, выражаемой дифференциалом переменного, являющегося линейной формой дифференциалов координат системы, но не представляющего собой полного дифференциала некоторой функции координат системы в смысле дифференциального исчисления. Вольтерра же называл линейные диф- [c.4]

После рассмотрения дифференциальных уравнений движения и двух основных задач динамики несвободный материальной системы изучается метод Лагранжа. Вводится понятие об обобщенных координатах, обобщенных скоростях и обобщенных силах. Выводятся общее уравнение статики в обобщенных координатах и уравнения равновесия несвободной материальной системы. Уравнения движения в обобщенных координатах вытекают из уравнений равновесия и принципа Даламбера-Для этого достаточно к обобщенной активной силе добавить обобщенную силу инерции. После элементарных преобразований получается [c.70]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа экстремального действия. В математике интеграл (24.1) принадлежит к так называемым функционалам, если рассматривается зависимость его величины от вида подынтегральной функции. Задача об экстремуме функционала — отыскание функции, при которой наступает экстремум,— решается методами вариационного исчисления. В результате решения находятся дифференциальные уравнения, выполняющиеся для подынтегральной функции а поскольку в нашей постановке вопроса лагранжиан есть известная функция переменных д, д и I, то получаются дифференциальные уравнения для обобщенных координат, т. е. уравнения движения. [c.208]

В гл. II мы многократно выводили дифференциальные уравнения для амплитуды а и фазы г ) (амплитудно-фазовые уравнения) колебательных систем при использовании метода усреднения. Здесь изложим другой алгоритм построения амплитудно-фазовых уравнений первого приближения (вида (2.144)), не требующий предварительного написания возмущенных уравнений вида (2.133). Этот алгоритм основан на применении так называемого энергетического метода [147], хорошо известного в уравнениях математической физики. Для построения уравнений первого приближения достаточно знать некоторое выражение для работы возмущающих сил, а не сами силы, входящие в уравнения Лагранжа второго рода (2.128) или (2.133),.В ряде случаев это существенно упрощает задачу. Чтобы не загромождать суть дела большим количеством громоздких формул и выкладок, вернемся к задаче (см. 2.9) о построении приближенных решений системы (2.133), близких к одночастотпым колебаниям с медленно изменяющейся частотой (оДт). [c.171]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Уравнения Лагранжа второго рода дают общий метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы с голономными идеальными удерживающими связями в обобщенных координатах. Строгий вывод этих уравнений выходит за рамки данного курса, поэтому проиллюстрируем их справедливость на очень частном случае механической системы с одной степенью свободы, когда наложенхсые на нее связи являются не только голономными идеальными удерживающими, но и стационарными. [c.300]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

Методы составления дифференциальных уравнений колебаний упругих систем. Они изложены В разделе 1 данного тома. При выводе уравнений динамики надо согласно принципу Даламбера к действующим силам добавить распределенные силы инерции. В случаях, когда упругая система взаимодействует с упругоподве-шенными сосредоточенными массами, целесообразно применять метод уравнений Лагранжа II рода. С этой целью надо составить выражения для кинетической энергии системы, потенциальной энергии деформаций и выражения для обобщенных сил, затем с помощью уравнений Лагранжа II рода получить дифференциальные уравнения колебаний. Метод уравнений Лагранжа удобен для получения дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, когда формы свободных колебаний известны. [c.330]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Правило для нахождения функций Л и С по известным дифференциальным уравнениям было дало в п. 382. Од/1ако при использовании метода Лагранжа иногда более удобно связать их с выражениями живой силы и силовой функции, нз которых этн уравнения выводятся. Как показано п т. 1, живая сила равна [c.302]

В статье дается обзор различных применений вариационных методов п теории нелинейных волн в средах с дисперсией, причем особое внимание уделяется применению этих методов для волн на воде. Сначала обсуждается вариационный принцип, соответствующий теории волн на воде затем этот принцип используется для вывода длинноволновых приближений Буссинеска и Кортевега — де Фриза. Кратко излагается теория резонансного почти линейного взаимодействия с использованием функции Лагранжа. После этого дается обзор предложенной автором теории медленно меняющихся цугов волн и ее приложений к теории волн Стокса. Приводится также теория возмущений Льюка для медленно меняющихся цугов волн. Наконец показано, как можно при помощи интегро-дифференциальных уравнений сформулировать более общие дисперсионные соотношения важное приложение этого подхода, развитое с некоторым успехом, может помочь разрешить давно стоящие трудности в понимании опрокидывания волн на воде, [c.12]

В изложенном выводе принципа Остроградского — Гамильтон уравнения Лагранжа выступают в новой роли — необходимых достаточных условий стационарности функционала 5 на действи тельном пути системы. Тем самым устанавливается эквивалеш ность задачи об интегрировании дифференциальных уравнени при заданных краевых условиях с вариационной задачей нахожде ния экстремума функционала и, таким образом, открывается воа можность привлечения к решению вибрационных задач методе вариационного исчисления. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...