Нормальная форма (две степени свободы)

Например, для систем с одной степенью свободы нормальная форма степени 2т (или 2т + 1) имеет вид [c.353]

Заметим, что число нормальных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадает с числом степеней свободы колебательной системы и что две нормальные формы колебаний ортогональны, т. е. имеет место соотношение [c.557]

Легко заметить, что задача разыскания нормальных координат для системы с двумя степенями свободы эквивалентна известной задаче аналитической геометрии приведения уравнения алгебраической кривой второго порядка к канонической форме. [c.246]

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

Таким образом, система (8.24) после перехода к новым обобщенным координатам (8.25) распалась на два независимых уравнения (8.26) и (8.27), каждое из которых описывает движение с одной свободной координатой (о, или соответственно). Преобразование координат, подобное выполненному выше, возможно при любом числе степеней свободы (если только трение отсутствует). Такие обобщенные координаты называются нормальными, а соответствующие им формы колебаний — нормальными формами. Особенность этих форм состоит в том, что колебания по каждой нормальной форме совершаются совершенно независимо от колебаний других форм. [c.230]

Особенности динамики упругих систем с распределенными параметрами. С увеличением числа степеней свободы упругой системы до бесконечности она превращается в систему с распределенными параметрами. Статика таких упругих систем рассматривалась в гл. VI и VII. Их динамика составляет раздел теории колебаний. Как и в упругих системах с конечны.м числом степеней свободы (свободных координат), колебания систем с распределенными параметрами имеют нормальные формы. Эти формы зависят от конфигурации системы и способов ее закрепления и опирания. На рис. 8.24 изображены нормальные формы поперечных колебаний тонкого стержня с шарнирно опертыми концами. [c.233]

Вместо того чтобы изучать индивидуальные колебания отдельных частиц, рассматривают их коллективное движение в кристалле как в пространственно упорядоченной системе. Такой подход основан на том, что вследствие действия сил связи колебание, возникшее у одной частицы, немедленно передается соседним частицам и в кристалле возбуждается коллективное движение в форме упругой волны, охватывающей все частицы кристалла. Такое коллективное движение может быть представлено как совокупность синусоидальных волн, называемых нормальными колебаниями решетки. Число различных нормальных колебаний решетки равно числу ее колебательных степеней свободы. Так как кристалл, состоящий из N атомов, представляет собой связанную колебательную систему, обладающую 3N степенями свободы, то в нем может быть возбуждено в общем случае 3N нормальных колебаний, различающихся частотами, направлением распространения и т. д. [c.125]

НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 539 [c.539]

Нормальная форма системы с двумя степенями свободы. Рассмотрим голономную систему с двумя степенями свободы, для которой [c.539]

Систему (26.8.6) иногда называют нормальной формой системы с двумя степенями свободы. Эти уравнения описывают плоское движение частицы под действием силы консервативного поля с потенциалом у и гироскопической силы величиной направленной под прямым углом к скорости V. Здесь гироскопическая сила более общего типа, чем в 8.8 и 9.8, поскольку множитель не является постоянным и зависит от gj и 2- Если исходная система является натуральной, то = О и общая задача сводится к задаче [c.540]

Ниже показывается использование фазовой плоскости применительно к нормальной форме ) линейной однородной системы дифференциальных уравнений свободных линейных колебаний системы с одной степенью свободы [c.75]

Переход от дифференциального уравнения свободных колебаний системы с одной степенью свободы р -р = 0 к нормальной форме системы дифференциальных уравнений производится так вводятся обозначения р = = Хь 4 Х2, учитывая которые, получаем <= Хз, 2 > [c.75]

Уравнения (2.110) соответствуют движению системы с двумя степенями свободы и служат для определения перемещений точек Л и 5 стержня. Решение этих уравнений удобно искать в виде разложения по нормальным формам колебаний. Этот метод позволяет окончательное решение для дисперсии упругих колебаний свести к квадратурам, которые вычисляют по таблицам. [c.132]

Для конструкций, модели которых имеют несколько степеней свободы, кроме собственных частот имеет смысл определение собственных форм колебаний. Собственные частоты конструкции - это частоты, с которыми конструкция стремится колебаться, если ее вывести из состояния покоя. Форма деформации конструкции при колебании с собственной частотой называется или собственной формой, или нормальной модой, или модальной формой. Каждая собственная форма ассоциируется с определенной собственной частотой. [c.45]

Перечисленные факты являются аналогами свойств собственных частот и собст венных форм линейных консервативных систем с конечным числом степеней свободы (см. гл. I ). При этом разложение (18) соответствует введению нормальных координат, а его коэффициенты аналогичны нормальным обобщенным координатам. [c.171]

Метод нормальных координат. Решение ищу г в виде ряда (2), где (р (х) — собственные формы соответствующей консервативной системы или, в более общем случае, некоторые функции, удовлетворяющие граничным условиям для и (х, t) и обладающие в некотором смысле полнотой. Уравнения относительно обобщенных координат Qh (t) могут быть получены, например, методом Бубнова—Галеркина. Если функция U (х, t) аппроксимируется конечным числом членов ряда, то приходим к задаче об устойчивости некоторой неконсервативной системы с конечным числом степеней свободы. Дальнейший анализ проводят,пользуясь методами из гл. V. [c.243]

Спектр собственных частот на рис. 63 имеет характерные зоны, одна из которых выделена кривой S. В общем случае колебательных систем со многими степенями свободы наличие таких зон указывает на связь между различными нормальными колебаниями [89], Это обстоятельство необходимо иметь в виду, приступая к анализу форм колебаний. Формы колебаний, соответствующие определенному типу движений, проявляются только для частот, достаточно удаленных от зон взаимодействия. [c.187]

Теорема (Арнольд — Мозер [179]). Если в автономной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно и в нормальной форме (195) [c.236]

Система, обладающая конечным числом N) степеней свободы, имеет N собственных частот, каждая из которых связана с частной нормальной формой . [c.646]

Если колебательная система состоит из п частей с массами гПп, упругостями Sn и сопротивлениями г,г, связанных друг с другом, т. е. имеет п степеней свободы, то ее колебания отличаются от колебаний системы с двумя степенями свободы, в основном тем, что вместо двух собственных частот и двух форм нормальных колебаний она имеет п собственных частот и п форм нормальных колебаний. При воздействии синусоидальной силы, приложенной к одной из частей системы, во всей системе возбуждаются сложные колебания, которые состоят из свободных колебаний с частотами, равными собственным частотам системы, и вынужденных колебаний с частотой внешней силы. [c.45]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

Величины X 1) и и 1) связаны уравнениями, описывающими динамические свойства рассматриваемой управляемой системы. В случае механических объектов с конечным числом степеней свободы уравнения движения сводятся обычно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в нормальной векторной форме имеют вид [c.181]

Для схемы грунтовой призмы, приведенной к системе с одной степенью свободы, динамическое перемещение в нормальной форме колебаний [sin (ш/ + = 1] по (6. 45) [c.167]

Вместе с тем получаемые здесь результаты имеют универсальный характер, поскольку, как это будет показано в главе V, ортогональность форм, нормальных колебаний многомассовых систем позволяет описывать их движение системой уравнений, каждое из которых совпадает по форме с уравнением движения системы, обладающей одной степенью свободы. [c.207]

А. Нормальная форма консервативной системы вблизи положения равновесия. Предположим, что в линейном приближении положение равновесия гамильтоновой системы с п степенями свободы устойчиво, и что все п собственных частот (О1,. . ., различны. Тогда квадратичная часть гамильтониана приводится [c.352]

Ряды Биркгофа (которые получатся если не ограничиваться нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — один из примеров формально состоятельной, но на самом деле расходящейся схемы теории возмущений. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной степенью свободы с периодическими коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления сепаратрис (а на самом деле оно есть). [c.363]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Нормальная форма (две степени свободы). Выведенным здесь формулам преобразований можно придать весьма изящный вид для случая систем с двумя степенями свободы . В этом случае дифференциальный элемент [c.50]

Теория малых колебаний механических систем с несколькими степенями свободы, изложенная в предыдущем параграфе, находит широкое применение при исследовании колебательных спектров многоатомных молекул. В данном параграфе мы рассмотрим в качестве примера свободные колебания симметричной трехатомной молекулы XjY. Однако, прежде чем приступить к расчету собственных частот и форм нормальных колебаний указанной молекулы, необходимо сделать ряд общих замечаний. [c.246]

Мы специально выбрали три примера (8—10) продольные колебания (рис. 1.9), поперечные колебания (рис. 1.11) и связанные L -цепи (рис. 1.12), так как эти системы имеют одинаковую пространственную симметрию и их уравнения движения и нормальные моды имеют одну и ту же математическую форму. Эти системы рассмотрены еще и потому, что, обладая двумя степенями свободы, они являются естественным продолжением простых систем с одной степенью свободы, которые мы рассматривали в примерах 2—4 в п. 1.2 (см. рис. 1.3—1.5). Во второй главе мы обобщим эти три примера для неограниченно большого числа степеней свободы. [c.42]

Изложенные соображения можно облечь в математическую форму. Если число ядер в молекуле равно s, то они обладают 3s степенями свободы. Из них три степени свободы поступательные, а три вращательные. Остальные f — 3s — 6 степеней свободы приходятся на внутреннее движение ядер молекулы. Для описания внутреннего движения ядер требуется / координат q ,. .., q . Выбор координат произволен. Удобнее всего взять нормальные обобщенные координаты. [c.617]

Матричные уравнения движения, обобщающие случай системы с двумя степенями свободы на системы с п степенями свободы, рассмотрены в гл. 4, в которой описано использование метода нормальных форм колебаний к исследованию динамических задач, а также по- [c.12]

Таким образом, применив известный способ разложения в ряд по нормальным формам колебаний, получаем уравнения, каждое из которых описывает колебания некоторой системы с одной степенью свободы. Обозначив правые части уравнений (3-41) соответственно через F siaЬt , F sinbt,..., запишем стационарную часть решения в виде [c.136]

Вертикальная скорость втулки входит в быр, а скорости в плоскости вращения —в бит и би . Составляющие порыва ветра влияют аналогично скоростям втулки. Угловые скорости тангажа и крена винта порождают нормальную составляющую скорости 6ur, а движение рыскания в этом смысле аналогично движению лопасти в плоскости вращения. Установившаяся скорость полета на балансировочном режиме с составляющими ц и Япв определена в инерциальной системе координат. Изменения углов тангажа ау и крена ах вала вызывают возмущения составляющих скорости относительно плоскости втулки. Члены пвах и Хпва / в этих возмущениях на порядок меньше других и поэтому обычно не учитываются для вертолетных винтов с небольшими индуктивными скоростями. Угол установки лопасти измеряется относительно плоскости втулки, так что 60 = 0 — Кр . Здесь будем рассматривать только первые тоны махового движения и качания лопасти. Поскольку эквивалентная форма т) углового движения втулки точно равна г, формы лоиасти будем аппроксимировать так же rjp = tjj = г. При этом во многих случаях для движений лопасти и вала можно использовать одни и те же аэродинамические коэффициенты, что упрощает анализ. При численном анализе могут использоваться реальные формы, что несколько изменяет аэродинамические коэффициенты для степеней свободы винта, однако не сказывается существенно на расчетных характеристиках винта. [c.539]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Прежде всего будем пршебрегать распредшенной массой штанги, что снижает число степеней свободы системы до 8 две нормальные формы из-гибных колебаний в одной плоскости, две — в другой, крутильные колебания и три степени свободы системы как твердого тела. Частоты собственных изгибных колебаний системы первой и второй нормальных форм без учета массы штанги определяются выражениями [38] [c.150]

При наличии сопротивления собственные колебания за небольшое время затухнут и останутся только вынужденные. При этом амплитуда и фаза будут определяться силой и отношениями частоты возбуждения к частотам собственных колебаний. При условии, что частота возбуждаюш ей силы равна одной из собственных частот, может наступить резонанс. Таким образом, колебательная система с п степенями свободы может иметь п резонансов. Из них могут возбуждаться только те формы колебаний, ни одна из узловых точек которых не совпадает с точками приложения возбуждаюш ей силы. Частота вынужденных колебаний, при которой точка приложения силы совпадает с узловой точкой формы t-ro нормального порядка, называется частотой антирезонанса -го порядка. [c.45]

Прежде чем покончить с общей теорией, желательно еще раз подчеркнуть первостепенное значение гармониче-ского типа колебаний в вопросах динамики. Мы видели, что оно является типичным для системы с одной степенью свободы, лишенной трения, или (в более общей форме) для системы, колеблющейся так, как если бы она обладала только одной степенью свободы, как в случае нормального колебания. Гармоническое колебание является также единственным типом вынужденных колебаний, в точности воспроизводимых, в большем или меньшем масштабе, во всех частях системы. Если сила совершенно произвольного характера действует на какую-либо точку системы, то колебания, вызванные ею в других частях системы, как правило, не похожи ни на эту силу, ни друг на друга только в случае периодической силы, зависящей от времени по гармоническому закону, вынужденные колебания в точности подобны друг другу и происходят син-фазно с действующей силой. Далее, оказывается, что при приближении к критической частоте вынуждающая сила создает вынужденные колебания с резко увеличенной амплитудой только в том случае, когда она санш подчиняется простому гармоническому закону или содержит соответственную гармоническую компоненту. Именно эти обстоятельства помогли Гельмгольцу обосновать свою теорию слуха, к которо мы обратимся впоследствии. [c.74]

Имеются два других типа тепловых потерь, о которых необходимо упомянуть. Первый связан с отводом тепла в окружающий воздух скорость потерь по этой причине, однако, столь мала, что сказывается лишь при очень низких частотах колебаний. Другой вид потерь может возникнуть вследствие отсутствия теплового равновесия между нормальными формами колебаний Дебая эти потери аналогичны демпфированию ультразвука в газах, вызванному конечностью времени, которое необходимо, чтобы тепловая энергия перераспределилась между различными степенями свободы газовых молекул. Однако в твердых телах равновесие между различными формами колебаний устанавливается настолько быстро, что внутреннее трение, вызванное подобной причиной, можно было бы ожидать заметным только при частотах порядка 1000 мггц. Теория описанного выше явления была рассмотрена Ландау и Румером [80] и позже Гуревичем [47]. [c.121]

На рис. 1.4 приведены плотности вероятностей негауссовскпх случайных процессов (5), (7) и (9). Эти кривые соответствуют -распределению со степенями свободы п = 1, 2, 3. В соответствии с центральной предельной теоремой при увеличении числа степеней свободы 72, т. е. при увеличении числа слагаемых в определении случайного процесса (2), плотность вероятности От 0 по своей форме будет прибли каться к нормальной. [c.34]

Указанный вывод не исключает того, что, помимо деления пятна, могут существовать иные причины беспорядочного перемещения. На снимках зеркальной развертки изображения пятна удается иногда наблюдать неожиданные его смещения, которые не связаны видимым образом с процессом делания. Сформулированный выше вывод следует понимать лишь как утверждение о доминирующей роли деления катодного пятна в его беспорядочном перемещении при данных условиях опыта. Напомним, что описанные исследования относятся к условиям нормальной дуги с однородным ртутным катодом и равновесным давлением ртутного пара около 1,2 мк рт. ст. Не исключено, что при резком изменении условий опыта на первый план выступит какая-либо иная причина движения, такая, как газодинамические эффекты бурного вскипания ртути в области катодного пятна. Относительно подобных условий опыта могут быть сделаны предварительные прогнозы. Как следует из данных последней таблицы, связанное с делением пятна беспорядочное перемещение замедляется с уменьшением тока. Причина этого заключается преимущественно в том, что с уменьшением тока резко уменьшается средний квадрат элементарного смещения пятна при одиночиом акте деления Указанное уменьшение является результатом сокращения продолжительности совместного существования каждой пары пятен и ослабления их взаимодействия. Можно представить, что при достаточно низком значении тока перемещение пятна будет происходить преимущественно за счет газодинамических либо гидродинамических эффектов. В отличив от этого причиной хаотического перемещения пятна на твердом катоде может служить плавление под ним металла. Роль деления пятна как причины его перемещения по катоду должна уменьшаться также при введении в разрядное пространство посторонних газов и повышении плотности газовой среды. Должна существовать некоторая критическая плотность среды, при которой взаимное отталкивание пятен уже не будет иметь места. При таких условиях деление пятна не может оставаться доминирующей причиной его перемещения. Наконец, следует отметить, что действие деления пятна можно частично парализовать при помощи тангенциального к катоду магнитного поля. Последнее ориентирует пятно всегда таким образом, что деление совершается в направлении, нормальном к направлению упорядоченного движения. В этих условиях беспорядочные смещения пятна могут обладать только одной степенью свободы и приобретают своеобразную форму поперечных отклонений пятна от правильной траектории. [c.297]

Условные интегралы, линейные относительно скоростей. В предыдущем параграфе мы рассматривали интегралы, линейные относительно скоростей и годные для всех значений постоянной энергии. Более трудную проблему представляет собою нахождение условного интеграла, годного для какого-нибудь определенного значения постоянной с энергии, например, для с = 0. В настоящем параграфе мы рассмотрим этот вопрос для случая системы с двумя степенями свободы. В этом случае, как было показано раньше, мы можем, совершив преобразование персмсипых, получить уравнения движения и интеграл энергии в нормальной форме [c.56]

Если для системы со многими степенями свободы в качестве обобщенных координат использовать главные формы колебаний уравнения движения без демпфирования становятся несвязанными В этих координатах каждое уравнение можно решать как уравне ние, записанное для системы только с одной степенью свободы Этот подход, известный как метод нормальных форм при динами ческих исследованиях, обсуждается в данной главе и применяется к задачам, представляющим общий интерес. Сначала рассматриваются системы без демпфировсишя, а в последних частях обсуждаются специальные вопросы, относящиеся к системам с демпфированием. [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...