Ряды Биркгофа

Ряды Биркгофа (которые получатся если не ограничиваться нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — один из примеров формально состоятельной, но на самом деле расходящейся схемы теории возмущений. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной степенью свободы с периодическими коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления сепаратрис (а на самом деле оно есть). [c.363]

Асимптотические ряды. Биркгоф [29] впервые показал, что осциллятор с медленно,изменяющейся частотой [c.104]

Этот результат показывает, почему мы (следуя Биркгофу) называем интегрируемыми гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа. Оставляя обсуждение вопроса сходимости до гл. 7, мы укажем, что ряды Биркгофа, как правило, расходятся. [c.126]

Напомним, что формулы (4.29), (4.30) получены на основе линеаризованной гамильтоновой системы уравнений (2.16). Используя решения системы (2.16) в качестве первого приближения, можно по стандартной схеме теории возмущения последовательно учитывать следующие члены в разложении (2.11) функции Гамильтона, если фд и 2п линейно независимы над кольцом целых чисел (ср. результаты 8 гл. 8). Эта процедура осуществляется путем построения формальных рядов, так называемых рядов Биркгофа ). [c.286]

Используя ряды Биркгофа (см Дж. Биркгоф [1], В. И. Арнольд [3]), можно строить следующие приближения для собственных частот (Вт. Однако сопоставление результатов В. П. Быкова [3], использовавшего один из вариантов этого метода, с результатами В. Ф. Л а з у т к и-н а [4], при.менявшего метод эталонных задач, показывает, что для справедливости полученных на этом пути поправок следует считать большими параметрами все три числа /По, /п,, т , а не только число /По. [c.286]

Флоке 235, 276 Ряды Биркгофа 286 [c.455]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

Вместе с тем отметим, что изложенный классический метод Биркгофа обладает рядом существенных недостатков, особенно проявляющихся при нормализации многомерных гамильтоновых систем до членов высокого порядка с применением ЭВМ [c.214]

В книге Методы теории размерностей и теории подобия в механике , вышедшей в 1944 году ), автором настоящего предисловия была предпринята попытка внести некоторый порядок в рассматриваемые теории. Ряд примеров и соображений, содержащихся в этой книге, можно найти и в предлагаемой книге Биркгофа. Еще до этого в книге Бриджмена Анализ размерностей (2-е английское издание вышло в 1931 г.) ) было дано систематическое изложение теории размерности. Однако книга Бриджмена оказалась недостаточной для установления правильной точки зрения на связь между теорией размерности и теорией подобия. После ее появления неоднократно высказывалось мнение, что следствия из анализа размерностей и из теории подобия не являются эквивалентными. От этих сомнений не свободен и Биркгоф в предлагаемой книге (см. гл. IV). [c.8]

Теорема 1 (Дж. Биркгоф). Если аь. .., а независимы над полем рациональных чисел, то существует формальное каноническое преобразование х,у г], задаваемое формальными степенными рядами [c.126]

В общем случае, когда не все собственные числа Л1,..., Л чисто мнимые, также можно привести уравнения Гамильтона к нормальной форме Биркгофа. Детальное обсуждение этих вопросов содержится, например, в книге [230]. В общем случае уравнения Гамильтона имеют инвариантные асимптотические поверхности Е, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к положениям равновесия при I —> оо. Оказывается, преобразование Биркгофа может задаваться расходящимися степенными рядами, однако эти ряды сходятся в точках из Е. [c.130]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов, существующих по теореме Биркгофа (см. 11 гл. II). Причиной расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели — почти резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности положений равновесия. [c.309]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества аналитически независимых степенных рядов Ф Фг,... от бесконечного числа переменных /ц,, абсолютно сходящихся при /ц, < (для всех к, з) и таких, что если точка Н Е Н сходящимся преобразованием Биркгофа приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н, удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = О, имеет первую категорию в смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить. [c.310]

Введем на множестве степенных рядов Н новую топологию Т, рассматривая в качестве окрестностей рядов с коэффициентами все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами /ц , удовлетворяющими неравенствам /ц. - < е при А + 5 < для некоторых > О и 3. Можно показать, что в топологии Т множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Н если в формальных степенных рядах, [c.316]

Особенно опасны резонансы низких порядков, так как они влияют на первые члены ряда Тейлора. Если нас интересует замкнутая траектория, для которой собственные числа близки к резонансному соотношению низкого порядка, то нормальную форму Биркгофа следует несколько видоизменить. А именно, при резонансе порядка N обращаются в нуль некоторые из выражений [c.356]

Тогда отображение, если пренебречь членами выше третьей степени в ряду Тейлора в неподвижной точке, записывается в нормальной форме Биркгофа [c.379]

Дело в том, что рассуждение, с помощью которого Пуанкаре пришел к своей теореме, применимо в целом ряде других случаев. Однако хитроумное доказательство, данное Биркгофом, плохо поддается обобщению. Поэтому неизвестно, правильны ли выводы, которые подсказывает рассуждение Пуанкаре, за пределами теоремы о двумерном кольце. Рассуждение, о котором идет речь, состоит в следующем. [c.385]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

Сам Биркгоф рассматривал биллиарды как предел задачи о геодезических линиях выпуклой поверхности, которая непрерывно деформируется в область на плоскости. В общем случае строгий анализ такого предельного перехода является довольно деликатной проблемой насколько нам известно, она не изучена до сих пор. Однако в ряде конкретных случаев (например, деформация эллипсоида, когда две его полуоси неизменны, а меньшая стремится к нулю) можно действительно показать, что почти все геодезические линии переходят в траектории биллиарда Биркгофа. [c.20]

Что же касается вопроса о том, почему теоретики не наткнулись на эти идеи раньше, то есть свидетельства, что некоторые из них — как Пуанкаре и Биркгоф — осознавали эти возможности. Однако конкретные проявления хаотического поведения не могли быть выявлены до появления мощных компьютеров, которые позволили рассчитывать длинные временные ряды, необходимые для наблюдения и измерения хаотических явлений. [c.19]

Преобразование к нормальной форме можно производить не только в окрестности положений равновесия, но и, например, в окрестности периодических траекторий. Все сказанное выше с необходимыми изменениями справедливо и в этом случае. В следующей главе будут рассмотрены различные варианты теории возмущений, в которых функции Гамильтона также преобразуются к некоторому нормальному виду. Как и в случае нормальных форм Биркгофа, ряды теории возмущений в общем случае расходятся. [c.128]

Замечание. Введем в множестве 3(ё новую топологию рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами Нн. все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами удовлетворяющими неравенствам 1Ак,—Лк, 1<в при 1 1-Ь + 5 Л для некоторых е>0 и N 3. Можно показать, что относительно топологии множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Действительно, если в формальных степенных рядах, задающих преобразование Биркгофа, мы отбросим члены степени больше Ы, а затем подправим коэффициенты ряда данного гамильтониана при старших членах, то получим сходящееся каноническое преобразование, приводящее модифицированный таким способом гамильтониан к нормальной форме. Отметим, что топология конечно, много слабее топологии [c.255]

Во второй главе рассматриваются различные методы нахождения замкнутых решений систем дифференциальных уравнений и особенно обстоятельно излагаются также метод неподвижной точки и непосредственно связанные с ним результаты Биркгофа. Здесь чаш е всего предполагается, что речь идет об аналитических дифференциальных уравнениях, и результаты получаются соответствуюш им преобразованием степенных рядов алгебраические выводы отделяются по возможности от аналитических. Данное исследование проводится только для таких дифференциальных уравнений, которые в своих правых частях не содержат явно независимого переменного t, хотя весьма важен также и тот случай, когда правые части зависят от t периодически объясняется это тем, что методы в этом более обш ем случае принципиально не отличаются от методов в рассматриваемом нами случае, и наш случай показывает все основные трудности. [c.14]

Предположим теперь, что формальный степенной ряд, участвующий в нормальной форме (12), пе сводится к постоянной, т. е. что пе тождественно и = X. Тогда теорема Биркгофа о неподвижной точке, доказанная в 22, гласит, что в каждой окрестности Я начала координат и для каждого достаточно большого натурального п > rfi (Я) можно найти отличные от начала координат неподвижные точки преобразования S ", все образы которых при к = 1, 2, п) также лежат в Я. Ио отсюда, в частности, следует, что S пе является неустойчивым. Следовательно, вообще пе будет неустойчивости, если степенной ряд и пе равен тождественно постоянной. Остается открытым вопрос о том, имеет ли в этом случае место устойчивость или смешанный случай. Как уже было замечено, пе известно примера для смешанного случая, и пе известно, будет ли при и = Л действительно неустойчивость. Если бы это удалось доказать, то был бы получен пример со сходящимся рядом и и расходящейся подстановкой С пе известно также, возможно ли такое сочетание. [c.288]

Этот результат показывает, почему мы (следуя Биркгофу) называем интегрируемыми гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа. Оставляя обсуждение вопроса сходимости до гл. VI, укажем, что ряды Биркгофа, как правило, расходятся. Теорема 2 сначала была доказана Рюссманом [228] для п= 2, а затем Веем [234] в многомерном случае. [c.127]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Читателю предлагается весьма содержательная и своеобразная книга Г. Биркгофа и Э. Сарантонелло, посвященная теории струй в самом широком смысле этого слова. Авторы поставили перед собою нелегкую задачу дать исчерпывающее изложение истории и современного состояния этой теории, что определило ряд особенностей плана книги, ее стиля и уровня изложения. [c.5]

В 1961 г. в Советском Союзе вышла книга М, И. Гуревича [9 ] ), также содержащая систематическое изложение современной теории струй невязкой жидкости. Эта книга дает весьма подробное и доступное общее представление о теории струй, а также о решениях относительно простых частных задач, доведенных до числовых результатов. Книга Г. Биркгофа и Э. Сарантонелло удачно дополняет упомянутую книгу. Кроме того, читатель найдет в книге М. И. Гуревича более полное освещение ряда отечественных исследований по теории струй, видимо недостаточно известных Г. Биркгофу и Э. Сарантонелло, и, в частности, основополагающих работ Н. Е. Жуковского и [c.6]

В настоящей работе мы сосредоточили внимание на применении метода виртуального варьирования и метода переменного действия в области механики в связи с изучением классических дифференциальных и интегральных принципов. Метод переменного действия позволяет изучать основные образы всех трёх картин механики силовой, энергетической и геометрической. Без понятия о действии не обходятся и в других областях естествознания. Вспомним, например, принцип неопределённости в квантовой механике законы сохранения и симметрии уравнений движения в математической физике теорию интегральных инвариантов построение аналитической динамики систем Гельмгольца, Биркгофа и Намбу и т. д. Эти и многие другие направления исследования остались вне рамок книги. Обобщая сказанное, можно заметить важнейшую роль понятия о действии в развитии теории несвободных динамических систем и в становлении новой парадигмы науки в целом. Достаточно отметить, что понятие о действии стоит в одном ряду с понятиями энтропии и информации, которые являются концептуальными для естествознания. [c.264]

Уиттекер, Черри и Биркгоф получили впоследствии (1916-1927 гг.) аналогичные результаты для гамильтоновых систем в окрестности положений равновесия и периодических траекторий. Они показали, что в общем случае существует каноническое преобразование, задаваемое формальными степенными рядами, после которого уравнение Г амильтона просто интегрируется. Г амильто-новы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа иногда называются интегрируемыми по Биркгофу. В этом случае также существует полный набор независимых коммутирующих интегралов специального вида. [c.15]

Здесь выясняется, что термин формальное общее решение ( General Formal Solution ) не имеет у Биркгофа единого ясного смысла. В самом деле, если формальное общее решение р = р е , qt = q -e нормализованных уравнений расшифровать в согласии с определением, сформулированным Биркгофом в 3 главы III, то коэффициенты формальных рядов для координат Xi будут, вообще говоря, ие тригонометрическими суммами , а произведениями показательных функций па целые рациональные функции t (сравните примечание 12 к главе III). Следовательно, термин формальное общее решение применяется Биркгофом в каком-то другом, не определенном им смысле. [c.369]

Книга посвящена математическим аспектам теории динамических систем биллиардного типа. Начиная с работ Дж. Биркгофа, биллиарды являются популярной темой исследования, где естественным образом переплетаются различные сюжеты из эргоди-ческой теории, теории Морса, КАМ-теории и т. д. С другой стороны, биллиардные системы замечательны еще и тем, что естественно возникают в ряде важных задач механики и физики (виброударные системы, дифракция коротких волн и др.). [c.4]

В п. 2.16 мы видели, что для осциллятора с медленно и апериодически изменяющимся параметром можно построить разложение, которое дает адиабатический инвариант движения. Параметром разложения являлось отношение периода быстрых колебаний осциллятора к характерному времени медленного изменения параметра. Такую же процедуру можно использовать и в многомерных системах для построения рядов, не содержащих явно малых знаменателей. Этот метод, впервые предложенный Пуанкаре [337], был затем более строго обоснован Биркгофом [29]. [c.104]

Данная книга в основном представляет собой перевод с немецкого книги К. Л. Зигеля Лекции по небесной механике . Потребность в новом издании и переводе на английский язык привели к появлению этого труда, который, однако, представляет собой нечто большее, чем просто перевод. Для того чтобы учесть последние работы в этой области науки в книгу были добавлены несколько параграфов, особенно в третью главу, посвягценную теории устойчивости. Тем не менее, мы не пытались представить полный обзор этой области, и, в основном, следовали структуре оригинальной книги Зигеля. В книге особо выделены результаты и аналитические методы, основанные на идеях А. Пуанкаре, Дж. Д. Биркгофа, А. Ляпунова, и, что касается первой главы, на работе К. Ф. Зундмана и К. Л. Зигеля. В последние годы вновь возник интерес к разделам механики, связанным с теорией меры, что привело к ряду новых результатов, которые не будут здесь обсуждаются. В связи с этой тематикой мы особо рекомендуем интереснейшую книгу В. И. Арнольда и А.Авеца Эргодические проблемы классической механики , которая посвягцена взаимосвязи механики и эргодической теории. [c.11]

Для теоремы о неподвижной точке Биркгофа важно потребовать, чтобы ряд W в подстановке (31) содержал не только постоянный член, следовательно, чтобы нормальная форма не сводилась только к повороту на постоянный угол jq. Пусть при таком предположении I > О выбрано таким образом, что 71 =. .. = 7 i = 0. Если преобразование (40) опять записать в комплексной форме, причем + irj, — irj, l + iVij l — опять обозначить через С, , i, Щ, то [c.222]

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо- [c.289]

Глава 11 содержит изложение основ метода Депри — Хори в теории возмущений гамильтоновых систем. В настоящее время на русском языке нет еще достаточно подробного описания этого метода. Разработанный сравнительно недавно [113, 142], он имеет значительные преимущества перед широко известными классическими методами, такими как, например, преобразование Биркгофа [7] или метод Цейпеля [9]. Практическое построение канонических преобразований в методе Депри — Хори основано на использовании рядов Ли и преобразовании Ли. Для ясности изложения [c.14]

Если величины таковы, что условия (1.24) выполняются при любых сколь угодно больших iV, то преобразование Биркгофа можно применить для нормализации функции Гамильтона во всех порядках. И тогда нормализованный гамильтониан будет зависеть только от переменных rj (j = 1,2,.. . , re), которые будут интегралами преобразованной системы. Но каноническое преобразование Биркгофа, нормализующее гамильтониан во всех порядках, будет, как правило, расходяпщмся [И, 12, 29, 30]. Поэтому и интегралы rj будут формальными, т. е. они представляются в виде расходящихся рядов по qi, pi. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...