Степени свободы упругой системы

Числом степеней свободы упругой системы называется количество независимых геометрических координат, определяющих положение всех масс системы при любых упругих деформациях ее. [c.618]

Особенности динамики упругих систем с распределенными параметрами. С увеличением числа степеней свободы упругой системы до бесконечности она превращается в систему с распределенными параметрами. Статика таких упругих систем рассматривалась в гл. VI и VII. Их динамика составляет раздел теории колебаний. Как и в упругих системах с конечны.м числом степеней свободы (свободных координат), колебания систем с распределенными параметрами имеют нормальные формы. Эти формы зависят от конфигурации системы и способов ее закрепления и опирания. На рис. 8.24 изображены нормальные формы поперечных колебаний тонкого стержня с шарнирно опертыми концами. [c.233]

Степени свободы упругой системы 207 [c.207]

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ [c.207]

Числом степеней свободы упругой системы называется количество независимых координат, определяющих положение всех масс системы. [c.207]

Если собственную массу систем не учитывать совсем или учесть приближенным приведением ее в одну или несколько точек, то условно систему можно рассматривать как имеющую одну или несколько степеней свободы. Без учета собственной массы упругую систему можно считать обладающей одной степенью свободы, если система несет один груз, положение которого в пространстве определяется только одной координатой. С учетом собственной массы систему условно считают обладающей одной степенью свободы, если собственную массу системы с достаточным приближением можно привести в точку подвеса груза. [c.377]

Спектр собственных частот механизмов с последовательно соединенными упругими звеньями. Последовательное соединение жестких звеньев (зубчатых колес, маховиков и т. п.), соединенных упругими элементами (упругими валами и муфтами), называют цепной с и с т е м он. Общее число степеней свободы цепной системы равно сумме числа степеней свободы механизма с жесткими звеньями и числа упругих элементов. Например, число степеней свободы зубчатого механизма (рис. 47,6) при двух упругих валах равно 3. Для анализа динамики этого механизма в первом приближении можно рассматривать двухмассную динамическую модель, которая при постоянной скорости вала двигателя имеет одну колебательную степень свободы и, соответственно, одну собственную частоту. Однако при анализе резонансных режимов такое рассмотрение может оказаться недопустимым, так как резонанс может наступить при других значениях собственных частот, число которых равно числу степеней свободы. [c.119]

Операция сведения системы с бесконечным числом степеней свободы к системе с конечным их числом называется дискретизацией-, она выполняется для упрощения рещения проблемы. Наряду с дискретизацией, имеющей механическую природу, возможен и другой подход, в котором рассматривается система с бесконечным числом степеней свободы, но при анализе ее принимаются упрощения математического характера (математическая дискретизация — см. пример 17.8). Возможна дискретизация и упругих свойств, например, упруго-деформируемый стержень можно заменить системой конечного числа бесконечно жестких призм, соединенных между собой упругими связями (рис. 17.26). [c.61]

Если отклонения упругой системы от исходного положения равновесия могут быть полностью описаны N независимыми параметрами (т. е. если упругая система имеет N степеней свободы), то линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения системы приводит к системе N линейных однородных уравнений с N неизвестными. Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Указанное условие приводит к уравнению, позволяющему найти точки бифуркации исходного положения равновесия. Если это уравнение не имеет кратных корней, то число точек бифуркации равно числу степеней свободы рассматриваемой системы. [c.24]

Частота и форма колебаний. Упругой системой с п степенями свободы называется система, геометрическое ио-ложе 1ие масс которой в каждый момент времени определяется значениями н независимых координат. Число частот собственных колебаний такой системы равно числу ее степеней свободы. [c.340]

Близкими оказались только первые частоты. Известно, что по МКЭ можно определить только приближенный спектр частот, так как в этом методе упругая система с бесконечным числом степеней свободы заменяется системой с конечным числом степеней свободы. В этом и других примерах показано, что МКЭ удовлетворительно точно определяет только первую частоту, и повышение точности расчета достигается дроблением сетки конечных элементов с соответствующим повышением порядка системы разрешающих уравнений [184]. Действительные частоты меньше частот, определенных по МГЭ, но точность спектра достаточно высока. Ниже, в главе Устойчивость будет показано, что, например, первая частота по МГЭ для систем с неподвижными узлами имеет погрешность не более 2,0 %. [c.151]

В предыдущих разделах было показано, что колебания упругих систем с п степенями свободы описываются системой п обыкновенных дифференциальных уравнений. Также установлено, что для таких систем существует п собственных частот и собственных форм колебаний. [c.362]

В теоретической механике показано, что число нормальных колебаний и соответствующих им собственных частот равно числу степеней свободы в системе материальных точек. Упругое тело можно рассматривать как систему бесчисленного множества материальных точек с упругими связями, число степеней свободы которой бесконечно. Поэтому во всяком упругом теле имеется бесчисленное множество нормальных колебаний и соответствующих им собственных частот. [c.292]

В предыдущем разделе была рассмотрена дискретная система (система с конечным числом степеней свободы). Такие системы являются удобными моделями, позволяющими наиболее просто исследовать их динамику. Любая упругая система (стержни, пластинки, оболочки и их сочетание) является системой с бесконечно большим числом степеней свободы (системы с распределенными параметрами) и ее движение описывается уравнениями в частных производных, что несколько затрудняет их исследование. Собственно, если решение ищется в виде разложения по главным формам колебаний, то все осложнения заключаются в определении форм собственных колебаний и если частоты собственных колебаний близки между собой, а для упругих систем типа пластин и оболочек они могут оказаться близкими в учете взаимной корреляции между формами колебаний. [c.79]

В [5] устанавливается, что число Б-резонансов зависит от условий закрепления тела на поверхности упругой среды, а также от массы и моментов инерции тела. Оно будет не больше числа существенных степеней свободы колеблющейся системы при достаточно больших моментах инерции тела и массе. [c.326]

Всякая упругая система имеет бесчисленное множество степеней свободы, поскольку число независимых координат, определяющих положение в пространстве распределенных в элементах системы масс, является бесконечно большим. Если собственную массу системы не учитывать совсем или учитывать приближенным приведением ее в одну или несколько точек, то условно систему можно рассматривать как имеющую одну или несколько степеней свободы. Без учета собственной массы упругую систему можно считать обладающей одной степенью свободы, если система несет один груз, положение которого в пространстве определяется только одной координатой. С учетом собственной массы систему условно считают обладающей одной степенью свободы, если собственную массу системы с достаточным приближением можно привести в точку подвеса груза. [c.309]

Уже в 134 было указано, что всякая система, в которую входят деформируемые тела, имеет бесчисленное множество степеней свободы. Так и в данном случае система, состоящая из груза и упругой нити, является, строго говоря, системой с бесчисленным множеством степеней свободы. Такая система (как это показывается в теории упругих колебаний) обладает уже не одной, а бесчисленным множеством собственных частот. Однако, если масса нити мала по сравнению с массой груза, то одна из этих частот будет близка к частоте, определяемой формулой [c.383]

Рассмотрим случай (рис. 1.1, а), когда груз весом W (точнее массой Wig) соединен с опорой через линейную упругую винтовую пружину. Если считать, что возможно только вертикальное перемещение груза W, а масса пружины мала по сравнению с массой груза, то систему можно рассматривать как имеющую одну степень свободы. Конфигурация системы будет полностью определяться смещением X груза от равновесного состояния. [c.16]

Рис. 4.7. Система частиц с упругими связями а — система с несколькими степенями свободы б — система с одной степенью свободы

Участки валопровода между массами обычно состоят из частей вала различной формы. Податливость таких участков равняется сумме податливости отдельных частей вала, так как они представляют собой последовательно соединенные упругие элементы. Таким образом, приведение длин сводится к вычислению крутильных податливостей участков вала различных конструктивных форм. Приведенная система является системой с конечным числом степеней свободы, причем число степеней свободы равно числу масс системы. Однако так как одной из степеней свободы этой системы соответствует равномерное вращение всех масс, то число степеней свободы приведенной системы в отношении крутильных колебаний равно г — 1), т. е. равно числу упругих участков системы. [c.142]

СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [c.531]

Задача о гармонических колебаниях системы с одной степенью свободы рассматривается в курсе теоретической механики. В качестве упругой системы обычно рассматривают груз, подвешенный к вертикально расположенной пружине (рис. 518). [c.531]

Потенциальная энергия рассматриваемой системы с п степенями свободы за счет упругой деформации вала [c.558]

Сказанное здесь применительно к колебательной системе с одной степенью свободы справедливо также и по отношению к упругим колебательным системам с несколькими и с бесконечным числом степеней свободы. [c.578]

В рассмотренном случае, когда соударение свободного шара и шара упругой гантели происходит вдоль оси гантели, помимо колебаний шаров гантели может возникнуть только поступательное движение гантели вдоль направления ее оси. Но в обш,ем случае соударения шаров, пронсходяш,его не вдоль оси гантели, а под углом к ней, в результате удара (так как после удара гантель становится замкнутой системой) может возникнуть вращение гантели вокруг одной из свободных осей. Как было показано ( 99), у гантели, как у всякого твердого тела, могут существовать три свободные оси две оси, проходящие через центр тяжести перпендикулярно к оси гантели и перпендикулярно друг к другу, и третья ось, совпадающая с осью гантели. Однако если мы, так же как при рассмотрении удара твердых молекул, будем считать, что поверхности шаров абсолютно гладкие и, значит, ни при каком направлении удара не могут возникнуть тангенциальные силы (т. е. силы трения), то мы должны, как и в 96, прийти к выводу, что при соударении гантели с шаром вращение гантели вокруг ее оси возникнуть не может. Поскольку возможно вращение упругой гантели вокруг только двух взаимно перпендикулярных осей, упругая гантель обладает двумя вращательными степенями свободы. Помимо того, как и всякое тело, упругая гантель обладает тремя поступательными степенями свободы. Как было показано ( 96), жесткая гантель обладает также тремя поступательными и двумя вращательными, т. е. всего пятью, степенями свободы. Что же касается упругой гантели, то, как мы убедились, упругой гантели свойственно еще одно движение — противофазные колебания шаров, положение которых однозначно задается расстоянием одного из шаров до центра тяжести гантели. Это значит, что помимо пяти указанных выше степеней свободы упругая гантель обладает еще одной, шестой, степенью свободы. [c.647]

Динамика механизмов с последовательно соединенными упругими звеньями. На рис. -67, а была показана схема зубчатого механизма, который можно рассматривать как последовательное соединение жестких звеньев (зубчатых колес, маховиков и т. п.), соединенных упругими элементами (упругими валами и муфтами). Такое соединение иногда называют цепной системой. Общее число степеней свободы цепной системы с упругими элементами равно сумме числа степеней свободы механизма с жесткими звеньями и числа упругих элементов. Если воспользоваться методом приведенных жесткостей, то можно уменьшить общее число степеней свободы. Например, число степеней свободы механизма, показанного на рис. 67, а, при трех упругих валах равно 4. Если при рассмотрении условий передачи сил от од1ГОго звена к смежному с ним пренебречь инерцией зубчатых колес, то можно выполнеть приведение последовательно соединенных жесткостей и рассматривать двухмассовую динамическую модель (см. рис. 67, 6), которая при постоянной скорости вала двигате-яя имеет одну колебательную степень свободы и, соответственно, одну собственную частоту. При анализе резонансных рел имов такое рассмотрение недопустимо, так как резонанс может наступить при других значениях собственных частот, число которых равно числу степеней свободы. [c.243]

В предыдущих главах рассмотрены динамические явления в машинных агрегатах, имеющих сравнительно простую структуру моделей. К моделям такого вида приводят обычно используемые при их построении допущения, связанные с пренебрежением реальным распределением инерционных параметров, исключением из рассмотрения унруго-диссипативных свойств звеньев передаточного механизма и рабочей машины, существенным ограничением числа учитываемых степеней свободы механической системы и системы управления и пр. Однако для достаточно широкого класса задач динамики управляемых машин адекватные модели машинных агрегатов имеют значительно более сложную структуру. Так, для передаточных механизмов машинных агрегатов с быстроходными двигателями характерны возмущающие воздействия с широким частотным спектром. При исследовании динамических процессов в таких машинных агрегатах возникает необходимость в исиользовании моделей передаточных механизмов с большим числом степеней свободы, отражающих многообразие двин<ений, обусловленных изгибно-крутильными деформациями звеньев, контактными деформациями опор и др. В ряде случаев существенным оказывается учет реального распределения упруго-инерционных параметров. [c.169]

Рассмотрим упругую конструкцию, вся масса которой сосредоточена в п материальных точках, находящихся под действием сил инерции — Шхуи т у . Количество степеней свободы такой системы определяется количеством связей, которые нужно наложить на систему, [c.109]

При рассмотрении основных структурных схем вибрационных транспортирующих машин в качестве характеристических приянаков имеют в виду число степеней свободы динамической системы вибрационной машины, ее привод и характеристику упругих связей. [c.304]

Для проведения частотных испытаний применяют также пневматические подвесные системы, в которых в качестве упругих элементов используют емкости со сжатым воздухом. Давление в емкостях регулируется в зависимости от массы испытуемой конструкции. При испытаниях сверхтяжелого американского НОСИТЕЛЯ Сатурн V применена гидропневматическая подвесная система, состоящая из четырех независимых опор, на которые установлен носитель. Опоры допускают возможность перемещения носителя как твердого тела по всем шести степеням свободы. Подвесные системы 1фепятся к силовым конструкциям, например к силовому потолку. [c.379]

Одним из элементов анализа аэроупругости вертолета, который еще не рассматривался, является численное интегрирование уравнений движения. Дифференциальные уравнения, подлежащие решению, могут быть записаны в форме Р==/(Р, Р, iti), где р представляет степени свободы системы, а ij) — безразмерное время. Нескольким степеням свободы соответствует система уравнений. В случае линейных уравнений и небольшого количества степеней свободы возможно аналитическое решение задачи. В анализе аэроупругости часто присутствуют нелинейные аэродинамические, упругие и инерционные силы, что делает необходимым численное решение. Если заданы значения р и р при ij) = ijJrt (из чего может быть найдена производная р = /), то задача заключается в интегрировании уравнений с временным шагом Aij) для определения значений р и р при = il)n + А Ф- [c.693]

Для первой из них будем считать, что в сечении стержневой системы приложена перпендикулярная оси или сонаправ-ленная с ней сила Р ъ) (см. рис. 12.3, где вектор скорости vq необходимо заменить вектором внешней силы). Тогда может быть использована введенная в 12.2 модель с одной степенью свободы упругого тела в виде пружины растяжения-сжатия с закрепленной на ее конце массой. Уравнение движения эквивалентной системы с использованием принципа Д Аламбера записывается следующим образом (точками обозначено дифференцирование по времени с), рис. 12.6 а [c.424]

Колебания с частотой 35—50 Гц вызываются вертикальными колебаниями непод-рессоренных масс вагонов (масса колесной пары плюс масса букс, подшипников и т. д.), вызываемых случайными неровностями пути, выбоинами на колесе, стыками рельсов и т. п. Колесную пару можно рассматривать как систему с одной степенью свободы, упругостью является упругость рельсового основания. Собственная частота такой системы составляет 40 Гц. Механизм возникновения колебаний с частотой 50— 60 Гц более сложен, связан с горизонтальными колебаниями неподрессоренных масс вагонов. Гармоники с частотой 8—10 Гц вызываются колебаниями подрессоренных масс тележек вагонов. [c.138]

Одним из таких приемов, особенно широко используемым в машиностроении, является замена данной сложной системы другой, более простой, с другим распределением масс и жесткостей, ш близкой к данной в том смысле, что ее расчет приводит к значениям искомых величин, не слишком сильно отличающимся от действительных для данной системы. Такая упрощенная система носит название приведенной или эквивалентной приведенной с темы. Существуют специальные правила приведения сплошных упругих систем, которые рассматриваются в разделах, относящихся к частным случаям колебаний упругих тел. Сейчас ограничимся описанием только одного из возможных его результатов замены данной системы с бесконечным числом степеней свободы эквивалентной системой с конечным числом степеней свободы. Именда этот результат приведения или упрощения сложной системы кладется обычно в основу первоначальных исследований теории колебаний. На нем построена первая часть настоящей книги — о колебаниях систем с конечным числом степеней свободы. [c.100]

Рассмотрим уравнение (15.11) в приложении к колебаниям вала для простейшего случая (рис. 15.8). Здесь па валу, вращающемся с угловой скоростью ojg, закреплен диск массой т с эксцеитриснте-том е. Собственную массу вала считаем малой по сравнению с т и п расчет не принимаем (упругая система а одной степенью свободы). На вал действует центробежная сила [c.268]

Составление эквивалентных схем для механических систем начинается с выбора системы координат, начало О которой должно быть связано с инерциальной системой отсчета. Далее формируются п эквивалентных схем, где п — число степеней свободы, В общем случае возможны три эквивалентные схемы, соответствующие поступательным движениям вдоль координатных осей, и три эквивалентные схемы, соответствз ющие вращательным движениям вокруг осей, параллельных координатным осям. Рассмотрим правила составления эквивалентных схем на примере одной из эквивалентных схем для поступательного движения 1) для каждого тела Ai с учитываемой массой i в эквивалентной схеме выделяется узел i и между узлом i и узлом О включается двухполюсник массы С< 2) трение между контакти-руемыми телами Ар и Л, отражается двухполюсником механического сопротивления, включаемым между узлами р и q 3) пружина, соединяющая тела Ар и Ад, а также другие упругие взаимодействия контактируемых тел Ар и Ад отражаются двухполюсником гибкости (жесткости), включаемым между узлами р н q. [c.170]

В качестве реальной упругой колебательной системы с одной степенью свободы может служить система, состоящая из упругого тонкого стержня, верхний конец которого жестко закреплен, а к ннжиему подвешен груз. Очевидно в том случае, когда масса стержня значительно меньше массы груза, данная система ничем не отличается от ранее рассмотренной (рис. 518). Поэтому для нахождения частоты, периода и амплитуды собственных колебаний груза, подвешенного к упругому стержню, можно пользоваться полученными выше формулами для груза, подвешенного к пружине. При этом необходимо установить жесткость стержня, эквивалентную жесткости с пружины. [c.533]

Способ Рейлея. При рассмотрении колебаний упругих систем с одной и с несколькими степенями свободы мы, как правило, пренебрегали массой упругого элемента по сравнению с колеблющейся сосредоточенной массой. Это имело место и в случае вертикальных колебаний груза, подвешенного на пружине (см. рис. 515), и в случае крутильных колебаний диска на валу (рис. 523), и в случае поперечных колебаний грузов, расположенных на балке (рис. ЙЗ), и в других случаях. Хотя эти упрош,ения во многих практических случаях не вносят особых погрешностей в получаемые решения, тем не менее для некоторых технических задач желательно более детально рассмотреть точность этих приближений. Чтобы оценить влияние принятых упрош,ений на получаемое значение частоты колебаний упругой системы, воспользуемся приближен 1ым методом Рейлея. [c.578]

Способ Ритца. При использовании способа Рейлея делается определенное допущение относительно формы упругой линии колебаний стержня. Выбор этой формы равносилен введению некоторых добавочных ограничений, которые приводят сложную систему к системе, имеющей только одну степень свободы. При этом указанные добавочные ограничения могут только увеличить жесткость системы, что дает несколько преувеличенное значение частоты по сравнению с фактическим ее значением. [c.584]

По,д числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы. Так, например, жесткая масса, связанная с пружиной (рис. 527, а), имеет одну степень свободы, поскольку ее положение определяется тол1,ко одной координатой 5, отсчитываемой от некоторой точки. Понятно, что это верно лишь в той мере, в какой имеется возможность пренебречь массой пружины по сравнению с массой колеблющегося груза. В противном случае, для того чтобы задать положение системы в любой момент времени, необходимо было бы ввести бесчисленное множество координат, определяющих положение всех точек упругой пружины, и система имела бы бесконечное число степецей свободы. [c.459]

Рассмотрим, как воспринимается ударная нагрузка в системе с одной степенью свободы (рис. 561). Масса т движется в горизон-taльнoм направлении со скоростью и останавливается упругим элементом, изображенным на рис. 561 в виде пружины. Массу пружины будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой груза. [c.500]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...