Нормальная форма системы дифференциальных уравнений

Переход от дифференциального уравнения свободных колебаний системы с одной степенью свободы р -р = 0 к нормальной форме системы дифференциальных уравнений производится так вводятся обозначения р = = Хь 4 Х2, учитывая которые, получаем <= Хз, 2 > [c.75]

Аналогичный вид имеет преобразованная к нормальной форме система дифференциальных уравнений (7.58) [c.549]

Нормальная форма системы дифференциальных уравнений 117 [c.346]

Уу (/ = 1,. .., л), приводящее систему (2. 92) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (2.92) будем называть такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов [c.125]

Дифференцируя последние соотношения по t [с учетом (5.185)] и применяя метод осреднения, получим соответственно для первой и второй нормальных форм колебаний усредненные системы дифференциальных уравнений [c.256]

Ниже показывается использование фазовой плоскости применительно к нормальной форме ) линейной однородной системы дифференциальных уравнений свободных линейных колебаний системы с одной степенью свободы [c.75]

Тогда система дифференциальных уравнений движения привода записывается в форме (6.96) и может быть приведена к нормальному виду (7.2). Матрица А и вектор-функция / (() записываются следующим образом [c.215]

Система дифференциальных уравнений порядка выше первого аналогично приводится к нормальной форме введением новых неизвестных функций. [c.214]

При применении прямого метода обычно пользуются так называемой нормальной системой дифференциальных уравнений, записанных в форме системы уравнений первого порядка [c.531]

Тогда после несложных преобразований система дифференциальных уравнений (7.57) преобразуется к нормальной форм [c.548]

Управляемые динамические системы. В этом подразделе рассматриваются управляемые динамические системы с сосредоточенными параметрами. Сказанное означает, что речь идет о динамическом объекте, оснащенном системой управления. Термин управляемая система с сосредоточенными параметрами означает, что состояние объекта управления и состояние системы управления описываются конечным числом параметров. Мы сужаем себя до случая, когда эволюция состояния объекта во времени может быть описана системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши [c.33]

Система дифференциальных уравнений (4.1) в нормальной форме Коши имеет вид [c.73]

Для практического применения полученных результатов нужно иметь эффективные способы нахождения нормальной формы функции Гамильтона. Нахождение нормальной формы в неавтономном случае особенно затруднено. Если, например, воспользоваться классическим преобразованием Биркгофа, то для нахождения соответствующей производящей функции придется строить периодические решения некоторой системы дифференциальных уравнений. Необходимые при этом вычисления весьма громоздки. [c.12]

При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны выводы об устойчив ости или неустойчивости положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы. Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений [c.52]

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106]

Здесь получим нормальную форму точечного отображения, задаваемого канонической системой дифференциальных уравнений. Будем считать, что нормализация линейной части отображения не требуется. Это возможно, когда квадратичная часть функции [c.112]

Действие произвольных вынуждающих сил разложение но собственным формам. В случаях, когда вынуждающие СИЛЫ изменяются не по гармоническому закону, целесообразен переход к нормальным (главным) координатам. При этом вместо системы дифференциальных уравнений (8.2) или систем (8.3) и (8.4) получается система независимых дифференциальных уравнений [c.167]

Метод переменных состояния. Метод ориентирован на получение ММС в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме с последующим [c.180]

Раздельное по фрагментам интегрирование дифференциальных уравнений довольно просто организуется лишь при использовании явных методов. Покажем это на примере решения методом Эйлера системы ОДУ, представленной в нормальной форме Коши и разделенной на две подсистемы [c.244]

Учитывая (5.189) и проводя аналогичные преобразования (5.183), получим для двух нормальных форм колебаний /1 (t), /2 () в первом приближении метода усреднения следующие системы усредненных дифференциальных уравнений [c.257]

Пусть возмущенное движение определяется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что эти уравнения приведены к нормальной форме [c.142]

Эту краевую задачу можно сформулировать в других терминах, перейдя от одного дифференциального уравнения порядка 2п к системе порядка 2п, состоящей из 2п дифференциальных уравнений, каждое из которых, будучи первого порядка, разрешено относительно производной от одной из искомых функций. Такая форма системы называется нормальной формой Коши. Разумеется,, что при указанном переходе подвергаются соответствующей модификации и граничные условия (12.202). Выполняется это следующим образом. [c.274]

Рассмотрим систему, состоящую из балки, опирающейся на три пружины, работающие на кручение, и три пружины, работающие на растяжение (рис. 4.27). Один из классических подходов к исследованию этой системы состоит в том, что используются дифференциальные уравнения и задаются переменные, определяющие решение для каждого пролета балки, после чего из условий, реализующихся в точках присоединения каждой из пружин, определяются произвольные постоянные. Например, для определения собственных частот и нормальных форм свободных колебаний однородное уравнение Бернулли — Эйлера имеет вид [c.173]

Система n дифференциальных уравнений 1-го порядка с неизвестными функциями yj, у2,. . . .у в нормальной форме [c.214]

Уравнения в частных производных (5.89), (5.90) обычно приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи метода Бубнова—Галеркина или метода Галеркина в форме Папковича [6]. Нормальное перемещение w представляют в виде ряда по некоторой системе базисных функций, удовлетворяющих условиям закрепления панели. Например, для опертой по контуру панели с учетом двух форм колебаний [c.162]

Отмеченный недостаток связан с формой дифференциального уравнения (9.67). Естественно рассмотреть возможность использования другого вращающегося элемента, отличного от конуса и пластины, с тем чтобы получить дифференциальное уравнение более удобного вида. К сожалению, эти надежды не оправдываются. Автор получил уравнение для градиента давления в системе сфера — пластина. Полученные из него разности нормальных напряжений оказались линейными комбинациями (с постоянными коэффициентами) известных нам разностей, фигурирующих в (9.34) и (9.63). Таким образом, снова приходим к дифференциальному уравнению типа (9.67). [c.273]

Так как задание искомых функций на линии (или поверхности) слабого разрыва решений системы квазилинейных дифференциальных уравнений, приводимых к нормальной форме, не определяет нормальных к ней производных, то эти линии (или поверхности) являются характеристическими. [c.49]

Если на полученное соотношение смотреть как на на условие для нахождения группы симметрий, то оно представляет собой уравнение в частных производных относительно двух неизвестных функций (х, у) и т] х, у). Это уравнение распадается, как правило, на переопределенную систему, поскольку искомые функции не зависят от производных и необходимо приравнять нулю коэффициенты при всех степенях и произведениях всех у/ х. Решений такой системы может не существовать, что означает, что симметрий рассматриваемого типа у изучаемого дифференциального уравнения нет. Во-вторых, это дифференциальное уравнение может быть переписано в нормальной форме Коши [c.247]

Величины X 1) и и 1) связаны уравнениями, описывающими динамические свойства рассматриваемой управляемой системы. В случае механических объектов с конечным числом степеней свободы уравнения движения сводятся обычно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в нормальной векторной форме имеют вид [c.181]

Дифференциальные уравнения равновесия и соотношения парности можно получить и по другому, исходя из условий равновесия бесконечно малого объема конкретной формы, выделенного в нагруженном теле. В декартовой системе координат это кубик, грани которого нормальны координатным осям (рис. 2.6). При этом необходимо учитывать, что приращения функций, вызванные переходом от од- [c.37]

Отличительная особенность метода — возможность получения системы дифференциальных уравнений, являющейся ММ технического объекта, в нормальной форме Коши, т. е. разрешенной относительно производных. Эта возможность появляется благодаря тому, что в базис метода входят переменные /с и U (формулы интегрирования пока не учитываем), которые определяются для соответствующих элементов согласно уравнениям /с = == dU ldt), UL = L dhldt). [c.141]

В работах [1, 5] предложена схема рулонированной стенки сосуда, основанная на усреднении свойств навивки, показан путь идеализации, приводящий к схематизации стенки трехслойным цилиндром, а также исходные уравнения и полученная с их помощью разрешающая система дифференциальных уравнений, записанная в нормальной форме. При этом жесткостные характеристики слоя, схематизирующего навивку, представлены в общем виде, чем предусмотрена возможность различных вариантов усреднения. В настоящей статье конкретизируется усреднение зависящей от микронеровностей контактной податливости между витками навивки и исследуется работа схемати- [c.63]

Предложенный впервые А, И. Лурье и развитый А. М. Летовым [69, 74] метод построения К-функции Ляпунова основывается на предварительном преобразовании исходной нормальной системы дифференциальных уравнений (3.59) к особой однообразной форме, названной канонической. [c.534]

Лля численного решения краевой задачи на ЭВМ система дифференциальных уравнений пакета была записана в нормальной форме Коти [c.155]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

ЛИЯ ИСКОМОГО решения в виде суммы конечного числа членов бесконечных рядов [1.14—1.18]. Этот метод отличается от метода нормальных форм тем, что он применяется для как бы дискретных моделей, для которых уравнения движения также лриближенны, или, точнее, физическая модель конструкции приближенно представляется в виде конечной системы масс и жесткостей, описываемых чаще линейными алгебраическими уравнениями по пространственным координатам, а не дифференциальными уравнениями. Метод нахождения решения в виде бесконечных рядов в основном аналогичен прямому методу. Решение однородного уравнения движения соответствует F x,t) = = 0. Так же, как и в прямом методе, решение представляется в форме w x,t) = A x Kx/LШ) и отыскиваются значения Я, при которых А Фа (т. е. существуют нетривиальные реше-лия). Это может иметь место только при выполнении соотношения [c.24]

А. И. Лурье 1. К. Агостинелли установил новую систематическую форму динамических уравнений движения для склерономной неголономной системы с двусторонними связями и исследовал условия существования динамических уравнений движения неголономной системы в квазикоординатах, представляющих совокупность двух автономных систем нормальных дифференциальных уравнений первого порядка. [c.96]

Другим направлением практикума является исследование установившихся колебаний в нехшнейных системах. Здесь студенты должны привести предложенные системы с быкновенных дифференциальных уравнений к канонической форме при этом большое внимание уделяется приведению квадратной матрицы к нормальной форме Жордана и сведению матриц коэффициентов кинетической и потенциальной энергий к диагональной форме. Предлагаются работы, при выполнении которых используются метод Бубнова—Галеркина и метод Ляпунова построения периодических решений. [c.60]

Внешними силами для системы будут сила тяжести статора Gi, сила тяжести ротора G, четыре силы Pi затяжки болтов (их равнодействующую обозначим через Р), нормальная составляющая реакции основания N, сила трения Ртр и боковые составляющие давления бо.чтов Pi (Р= Ртр+F]). Воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в дифференциальной форме и применим уравнения (8.6). Пользуясь полученными выражениями для Qx и Qy, с помощью рис. 8.10 получим (рассматриваем первый полуоборот, в течение которого сила Р будет направлена влево) [c.196]

Выше нормальная форма Пуанкаре излагалась и применялась для автономных систем дифференциальных уравнений. Рассматриваемая теперь система неавтономна. Однако и ее можно записать в автономной форме, если ввести вспомогательный осциллятор U -f U = 0. Его решение при начальных условиях и(0) = 1, к(0) = О имеет вид и = osi, совпадающий с видом приложенной к исходному нелинейному осциллятору силы. Поэтому написанная система эквивалентна следующей [c.203]

Нормальные формы. В последнее, время широкое распространение получило рассмотрение так называемых нормальных форм дифференциального уравнения в окрестности особой точки (состояния равновесия). Нормальная форма —это максимально простой вид дифференциального уравнения в окрестности особой точки после надлежащим образом подобранной замены церемен-ных, в котором во-первых, важные для характеристики особой точки величины оказываются выписанными в явном виде (например, ляпуновские величины) и, во-вторых, в некоторых случаях уравнение в окрестности особой точки приводится к интегрируемому виду. Если существует преобразование переменных, при котором система делается линейной, то ее нормальная форма — линейная. Дюлаком были рассмотрены те нормальные формы, к которым могут быть приведены дифференциальные уравнения (с аналитическими правыми частями) в окрестности седла. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...