Симплектическое отображение 209, 213,

Лемма 1. Матрица — симплектическая, т. е. фазовый поток состоит из канонических (симплектических) отображений. [c.239]

Рассмотрим, следуя Б. В. Чирикову, стандартное симплектическое отображение цилиндра х mod 2тг, у, заданное формулами [c.275]

Возможен и критический случай, когда часть (или все) корней характеристического уравнения по модулю равны единице, а остальные по модулю меньше единицы. При этом сформулированное утверждение не применимо, и требуются иные критерии устойчивости. Один из важных частных случаев составляют консервативные системы с ударами (например, биллиарды) их можно описать гамильтоновыми дифференциальными уравнениям [15] или симплектическими отображениями. Это дает возможность использовать для анализа устойчивости результаты КАМ-теории [16, 32, 35, 34. [c.246]

Г. Разные варианты теоремы об инвариантных торах. Аналогичные теореме о сохранении инвариантных торов в автономной системе утверждения доказаны для неавтономных уравнений с периодическими коэффициентами и для симплектических отображений. [c.376]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Эквивалентностью лагранжевых отображений называется симплектическое отображение пространств расслоений, переводящее слои в слои и первое лагранжево многообразие во второе. [c.449]

Предложение 5.5.5. Если Т (Е, а)(F, 3) — симплектическое отображение, то Т сохраняет объем и ориентацию. В частности, Т — обратимое отображение с якобианом 1. [c.227]

Таким образом, множество симплектических отображений (Е, а) -+ - Е,а) представляет собой группу, которую мы назовем симплектической группой пространства (Е, а). Предположим теперь, что скалярное произведение ( , ) зафиксировано и что а приведено к каноническому ья- [c.227]

В двумерном случае, когда классы сохраняющих площадь и симплектических отображений совпадают, их нормальная форма (6.6.12) описывается результатом упражнения 6.6.4. Заметим, что она имеет более специальный вид, чем нормальная форма (6.6.7) для p=q = l. [c.287]

Для симплектических отображений устойчивость негиперболических трансверсальных точек может наблюдаться при любой размерности. Согласно упражнению 5.5.3 множество собственных значений линейного симплектического отображения в может содержать любое количество m п пар комплексно сопряженных собственных значений, модуль которых равен единице. Из предположения, что все эти собственные значения тосты, немедленно следует, что наличие тп различных пар комплексных собственных значений, модуль которых равен единице, является свойством, сохраняющимся при малых возмущениях линейного симплектического отображения, и, следовательно, то же верно для собственных значений дифференциала малого С -возмущения симплектического отображения в трансверсальной неподвижной точке. Если т = п, такая точка называется эллиптической. [c.302]

Таким образом, в силу теоремы об инвариантных торах точных симплектических отображений [49 преобразование Gl o.... .. oG имеет большое количество нерезонансных (п—1)-мерных торов. Фазовый поток исходных гамильтоновых уравнений превратит их в /г-мерные инвариантные торы возмуш,енной системы. [c.154]

Приложение 27 Линейные симплектические отображения плоскости [c.213]

Пусть А — линейное симплектическое отображение плоскости (р, д). Отображение А сохраняет площадь dp Л dq, следовательно, det Л = 1. Поэтому произведение собственных значений Ai, Л2 отображения А равно 1. Но Al и Л2 — два корня характеристического уравнения det(A—AF) = О с действительными коэффициентами. Следовательно, Al и А2 либо оба действительные, либо комплексно сопряженные Al = А2. В первом случае один из корней по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1 [c.213]

Линейные симплектические отображения плоскости [c.215]

Пусть А — линейное симплектическое отображение канонического пространства Отображение А называется устойчивым, если последовательность А ограничена. Отображение А называется параметрически устойчивым, если все симплектические отображения, близкие к А, устойчивы. [c.219]

Лемма П29.1 (Пуанкаре —Ляпунов). Множество собственных значений X симплектического отображения А симметрично относительно действительной оси и окружности Л = 1. [c.219]

Определение П 29.7. Собственное значение Л, Л = 1, ф 1, называется положительным (соответственно, отрицательным) собственным значением симплектического отображения Л, если [c.222]

Более точно, пусть А 1) — симплектическое отображение, непрерывно зависящее от , и пусть числа =Ы не являются собственными значениями при 1 1 < т. Предположим, что при < О все собственные значения Л/, отображения А простые и расположены на окружности Л = 1, тогда как при = О некоторые собственные значения Л/, сливаются. [c.222]

Замечание П29.11. То же рассуждение доказывает признак параметрической устойчивости симплектическое отображение А параметрически устойчиво в том и только том случае, если все собственные значения лежат на окружности Хи = 1, / 1, и на каждом инвариантном подпространстве, соответствующем кратным собственным значениям Л, Л, квадратичная форма [А , положительно (или отрицательно) определена. [c.224]

Лемма Пуанкаре Ляпунова 219 Линейное симплектическое отображение 219 [c.279]

Положительное собственное значение линейного симплектического отображения 222 Преобразование пекаря 17, 20, 40, 124 [c.279]

А. Инвариантные торы симплектических отображений. Рассмотрим отображение 2п-мерного кольца , близкое к п-мерному повороту [c.205]

Другие случаи, где имеют место аналогичные утверждения об инвариантных торах и устойчивости, связаны с теорией малых колебаний в окрестности равновесия системы с периодическими и условно-периодическими коэффициентами, периодического решения автономной гамильтоновой системы, а также в окрестности неподвижной точки симплектического отображения. Соответствующие формулировки приведены в [6]. [c.208]

Рассмотрим случай, когда элементы матрицы А (t) — однозначные двоякопериодические мероморфные функции времени /бС, имеющие внутри параллелограмма периодов только один полюс. Можно считать, что А /) — мероморфная функция на комплексном торе X, полученном из комплексной плоскости С факторизацией по решетке периодов. Рассмотрим два симплектических отображения g и д за периоды матрицы A t). Предположим, что их собственные значения удовлетворяют условиям теоремы 18. Тогда для того чтобы уравнение (31) имело п независимых аналитических интегралов, необходимо, чтобы g н д коммутировали. Следовательно, обходу особой точки (элементу gg g g G) будет отвечать тождественное отображение пространства [c.262]

Глобальная задача классификации пар инволюций вдоль полного замкнутого подмногообразия неподвижных точек является безнадёжной задачей, даже на топологическом уровне. В самом деле, в простейшем случае, когда зто многообразие является окружностью, произведение соответствующих инволюций есть симплектическое отображение кольца, неподвижное на окружности. Топологическая классификация таких отображений включает в себя большинство трудностей, присутствующих в неинтегрируемых задачах гамильтоновой динамики (см. [93]). [c.203]

В локальных симплектических координатах условие каноничности отображения fp х,у X,Y можно представить в любом из следующих двух эквивалентных условий [c.21]

Удобно перейти к симплектическому базису отображения д если z = х,у), X = xi,..., x i), у = (г/1,..., 2/ i)—координаты в этом базисе, то д (х,у) —у Хх,Х у). Симплектический базис существует, если все А, отличны от единицы (1 <. s < г — 1) это утверждение доказано, например, в книге [230]. [c.364]

Докажем теорему 1 для простого, но важного для приложений случая п = 1. Пусть собственное значение отображения д не является корнем из единицы, и пусть х,у — симплектический базис для д. Собственные направления д — две прямые а = О и у = 0. Выше было показано, что любой однородный интеграл д имеет вид с хуУ з е М). Пусть д —другое отображение из группы С. Функция хуУ инвариантна относительно действия д, поэтому множество ху = О остается неподвижным при отображении д. Так как д — невырожденное линейное отображение, то точка х = у = О неподвижна, и отображение д либо сохраняет собственные направления отображения д, либо переставляет их. В первом случае д, очевидно, коммутирует с 5, а во втором случае имеет вид х —у ау, у — х. Отображение д — симплектическое, поэтому его матрица Т = р удовлетворяет условию Т У JT = J, откуда а = [c.365]

Теорема 4. Отображение - симплектический диффеоморфизм. [c.313]

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. Линейное отображение z- =Sz называется каноническим (симплектическим), если оно сохраняет кососкалярное произведение, т. е. [c.236]

Другие случаи, где имеют место аналогичные утверждения, связаны с теорией малых колебаний в окрестности положения равновесия автономной системы или системы с периодическими коэффициентаьш, а также в окрестности замкнутой фазовой кривой фазового потока или в окрестности неподвижной точки симплектического отображения. [c.376]

Таким образом, в то время как теорема Купки — Смейла без каких-либо изменений формулировки справедлива для сохраняющих объем отображений в случае размерностей не ниже трех, ее аналог для сохраняющих площадь отображений в случае размерности два и для симплектических отображений гарантирует всего лишь массивность множества отображений, периодические точки которых трансверсальны, а собственные значения просты. Ключевой идеей доказательства этих утверждений является соответствующая модификация конструкции из доказательства леммы 7.2.7. [c.302]

Имеется ряд результатов о типичности для С -топологии. Наиболее важный из них состоит в том, что периодические точки в типичном случае плотны в множестве неблуждающих точек [262], [263]. Для гамильтоновых систем аналогичный результат получен в [264]. Этн результаты основаны на С -лемме о замыкании, доказанной Пью [262], [263], которая утверждает, что иеблуждающая точка может быть сделана периодической посредством малого с -возмущения, сконцентрированного в окрестности этой точки. В такой форме лемма о замыкании не верна в С -топологни, см. [108]. До сих пор неизвестно, верны лн нелокальные С -или С°°-варнанты леммы о замыкании. Среди других интересных С -результатов о типичности имеется результат о том, что в типичном случае все гиперболические периодические точки симплектического отображения имеют гомоклинические точки, которые являются плотными н в устойчивом, н в неустойчивом многообразиях [317], а также результат о типичной плотности гиперболических точек для двумерных отображений, сохраняюшда меру [317]. Для двумерных отображений, которые не являются диффеоморфизмами Аносова и сохраняют меру, плотность эллиптических точек также С -типична, см. [229]. [c.728]

Основная идея состоит в сведении задачи об исследовании негладкого гамильтонова фазового потока к исследованию соответствующего симплектического отображения последования, которое, как правило, оказывается гладким (бесконечно дифференцируемым). Пусть М — гладкое многообразие. [c.151]

Орициклический поток 51, 54 Отрицательное собственное значение линейного симплектического отображения 222 [c.279]

Теоремы об инвариантных торах для гамильтоновых систем и симплектических отображений сначала доказывались независимо (хотя и почти одинаковыми методами). В случаях конечной гладкости и С эти теоремы могут быть выведены друг из лруга, так как отображение последования для гамильтоновой системы имеет вид (35), и обратно, всякое отображение вида (35) может быть получено как такое отображение последования [150]. Согласно [150], это верно и в аналитическом случае, но доказательство не опубликовано. [c.206]

Пример. Пусть п= 1. Тогда симплектическим пространством будет плоскость R (2i22). Пусть каноническое отображение задается матрицей [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...