Условия ортогональности и нормальные колебания

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

Условия ортогональности нормальных колебаний используются [c.287]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Если применить условие ортогональности (2,18) к настоящему нормальному колебанию и к ненастоящему нормальному колебанию, состоящему в поступательном движении по направлению оси х = х =. .. = х , =... = О, = =. .. = 0), мы получим [c.85]

В качестве примера рассмотрим такие нормальные колебания молекулы типа Xg (фиг. 38), которые являются перпендикулярными (антисимметричными) к плоскости молекулы. Только одно из таких колебаний, симметричное относительно оси, является ненастоящим колебанием, состоящим в переносе в направлении оси z (на фиг. 38 оно не показано). Другие колебания этого типа вырождены по отношению к этой оси. Легко заметить, что колебание, совершающееся параллельно оси, может быть вырождено только совместно с колебанием, также параллельным оси (так как в противном случае поворот на угол 2ix/jp не мог бы преобразовать одно из вырожденных колебаний в линейную комбинацию (2,75) двух первоначальных колебаний). Таким образом, векторы смещений отдельных атомов для двух взаимно вырожденных колебаний не перпендикулярны, а параллельны друг другу. Чтобы они были ортогональны [см. (2,18)] необходимо потребовать выполнения условия [c.108]

Условия ортогональности и нормальные колебания [c.44]

Таким образом, третий собственный вектор равен 1, у , г = О, —1, 1 и ортогонален двум остальным собственным векторам относительно матрицы М. Подобная система собственных векторов не является единственной, но она удовлетворяет условиям ортогональности, выполнение которых необходимо для собственных векторов при использовании метода нормальных форм колебаний. [c.298]

Более жесткая кинематическая гипотеза введена С. П. Тимошенко при исследовании трансверсальных колебаний приз.мати-ческого стержня [163], позднее обобщенная Рейсснером на случай пластин [156], а затем и оболочек [157]. Конкретно постулировалось следующее нормальные элементы недеформированной оболочки после нагружения остаются прямолинейными, не изменяют своей длины, но не являются ортогональными к деформированной поверхности приведения . Соответствующие данной кинематической гипотезе соотношения, получаемые из (2.38) при условии [c.93]

Это—условие ортогональности нормальных функций, Мы встречали уже это условие в случае систем с несколькими степенями свободы (см. стр. 231), а также в случае продольных колебаний стержней (см. 47). Вследствие этого свойства свободные колебания, названные любыми начальными условиями, можно легко разложигь в ряд нормальных колебаний, а анализ вынужденных колебаний сводится к решению того же дифференциального уравнении, что и для <олебаниЙ систем с одной степенью свободы. [c.317]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Уравнение свободных колебаний можно решать при граничном условии GJ d%/dr)= Кв1 для общего случая закрепления конца. Решением является ряд ортогональных тонов с учетом упругости проводки управления и упругости лопасти на кручение. Однако это разложение дает равенство GJQe — Ke e у комля лопасти, что предполагает равенство нулю заданного системой управления угла установки и обратной связи от изгиба к углу установки. Это типичный результат для нормальных тонов он означает, что сосредоточенные силы и моменты в конечных точках лопасти не могут быть учтены. Возникает также проблема учета демпфера ВШ шарнирной лопасти, поскольку нормальность тона предполагает, что момент в шарнире всегда равен нулю. По этой причине установочные и упругие крутильные колебания в представленном анализе разделены. Вообще говоря, установочные колебания достаточно хорошо описывают крутильные колебания лопасти многих несущих винтов. Связанные жесткий и упругие тоны кручения могут быть использованы при анализе несущего винта методами Рэлея — Ритца или Галеркина (см. разд. 9.9) с надлежащим представлением граничных условий. [c.388]

Последовательное изучение малых колебаний упругих тел, как колебаний линейных систем с бесконечно большим числом степеней свободы, провел Клебш в своей Теории упругости твердых тел Используя уже достаточно хорошо развитый к тому времени математический аппарат для краевых задач, Клебш свободно применяет для упругих колебательных систем понятие нормальных координат соответствующих им фундаментальных функций, доказывает, что эти функции образуют ортогональную систему (по отношению к естественно вводимой весовой функции), составляет на основании краевых условий уравнение частот, в общем случае трансцендентное, доказывает свойства его корней, определяет коэффициенты разложения произвольной функции по фундаментальным функциям краевой задачи и т. д. [c.278]

Изложенный в этом параграфе подход может быть распространен и на более сложный случай, когда массы и пружины прикрепляют к обоим концам стержня. В этом случае, как следует из выражения (г), нормальные функции будут содержать оба ненулевых слагаемых, поэтому частотное уравнение будет иметь больше членов. Кроме того, соотношения ортогональности и нормированности будут содержать члены с массами и жесткостями пружин, прикрепленными к обоим концам стержня, но при этом начальные условия, записанные в нормальных координатах, можно представить в виде, когда они будут определяться только влиянием прикрепленных на концах стержня масс. В качестве упражнения предлагаем читателю получить эти более сложные (но и более общие) выражения, описывающие продольные колебания призматических стержней. Аналогичный с точки зрения математической формулировки случай вала с закрепленными на концах дисками будет обсужден в п. 5.7, а случай предварительно растянутой нити с дополнительными пружинами, препятствующими поперечным перемещениям, будет рассмотрен в п. 5.8. [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...