Производные на поверхности, кривизна поверхности

Производные на поверхности, кривизна поверхности [c.23]

Если коэффициенты и Ьу имеют непрерывные производные, то и геометрия поверхности имеет такого же порядка кривизну. На рис. 1.10 приведена геометрия, которая всюду имеет непрерывные первые производные и кусочно-непрерывные вторые. [c.42]

Использование криволинейной системы координат на поверхности, и в частности неортогональной системы координат, приводит к дополнительным членам в уравнениях пограничного слоя. Однако это не меняет характера системы уравнений. Добавочные члены, связанные с кривизной поверхности, не усложняют, например, численного решения уравнений, а приводят только к некоторому увеличению числа арифметических операций. С вычислительной точки зрения преимущество системы координат, связанной с линиями тока внешнего течения, незначительно. При численных расчетах использование неортогональной системы координат на поверхности тела является общим случаем, и переход к ортогональной системе координат связан с небольшим изменением программы расчетов. Алгоритм конечно-разностных расчетов, численная устойчивость в линейном приближении и сходимость метода практически остаются неизменными, так как члены, связанные с кривизной, являются членами низшего порядка и не содержат производных. [c.113]

Эти производные используются для определения кривизны поверхности Д и) и др. параметров ее локальной топологии - детально они рассматриваются ниже. Здесь кратко остановимся только на разъяснении геометрического смысла вектора перекрестной производной. [c.43]

Это уравнение определяет плоскую центрально- и зеркально-симметричную кривую, которая является индикатрисой Дюпена поверхности S в точке Р на ней. Кривизна индикатрисы Дюпена в текущей ее точке связана с производными этой кривой уравнением [c.111]

Одномерное нестационарное распределение температуры Т(г, t) в слое термоизоляции, нанесенной на теплоизолируемую поверхность двоякой кривизны (см. рис. 3.1), при отсутствии внутренних источников энерговыделения можно описать дифференциальным уравнением в частных производных [12] [c.104]

Эта зависимость иллюстрирована графически на рис. 5, где приведена форма ударной волны при нескольких значениях параметра К. Кривизна ударной волны при увеличении координаты х быстро уменьшается. В соответствии с этим при удалении от обтекаемой поверхности должна быстро уменьшаться завихренность потока. Вычислим производную величина которой характеризует завихренность [c.45]

Пусть пространственная волна разрежения распространяется по области покоя, и на фронте ее не равны нулю первые производные газодинамических величин, а течение за волной достаточно гладкое (сильные разрывы не догоняют фронт волны разрежения). Тогда, если в какой-либо точке пространства xi, Ж2, жз, t происходит фокусировка слабого разрыва (в нуль обращается хотя бы один из радиусов кривизны главных нормальных сечений поверхности слабого разрыва), то в этой точке обращаются в бесконечность нормальные к поверхности разрыва производные давления и скорости — происходит явление градиентной катастрофы. [c.351]

Приведем некоторые упрощенные варианты уравнений геометрически нелинейной теории. Представленные выше соотношения содержат нелинейные члены, включающие углы поворота элемента базовой поверхности, показанного иа рис. 1.11, а также производные этих углов, характеризующие изменение кривизны этого элемента. Как правило, ограничения по жесткости, накладываемые на перемещения несущих элементов конструкций, исключают большие углы поворота и величины Ша. р можно считать малыми по сравнению с единицей. Однако производные этих величин, связанные с местным изгибом поверхности в зонах закрепления или нагружения элемента, могут оказаться значительными и должны быть учтены. Таким образом, упростим приведенные выше нелинейные уравнения, оставив из нелинейных членов только те. которые включают произ [c.326]

Существует также целый ряд элементов для криволинейных оболочек в случае двух независимых переменных, к которым наша теория применима непосредственно — даже если они содержат производные разных порядков. Эти элементы построены на основе полностью согласованной теории оболочек поверхность оболочки описывается параметрически набором трех уравнений л ,-= лг<(0ь бг), где 01 и 02 —независимые переменные в уравнениях оболочки, которые меняются по обычной плоской области й. Кривизна оболочки проявляется только через производные от Хи входящие как переменные коэффициенты в дифференциальные уравнения. Почти обязательно для вычисления матриц жесткости элементов потребуется численное инте- [c.152]

Для упрощения будем считать, что радиус кривизны элемента велик по сравнению с его размерами, т. е. элемент почти плоский. Для вычисления производных следует принять, что оба конца отрезка - у приподняты над поверхностью на расстоянии 67 и еу соответственно, затем, после выполнения операций, указанных в формуле (2.52), устремить бг и е- к нулю. Введем полярные координаты р, 0 с центром в точке. С учетом того, что д/дпг =д1д г кд/дпу =д/де, запишем [c.77]

Замечания о других элементах высших порядков. Наиболее широко конечноэлементные модели высших порядков использовались в связи с приложениями к задачам изгиба тонких пластин и оболочек. При использовании теорий, основанных на гипотезах Кирхгофа — Лява, деформации элемента пластины или оболочки описываются полем перемещений точек срединной поверхности и первыми производными этого поля. Вследствие этого для непрерывности всего поля перемещений требуется не только непрерывность перемещений срединной поверхности, но и непрерывность первых частных производных Это в совокупности с требованием, что модель должна обеспечивать возможность описания случая постоянных кривизн ), приводит к значительным трудностям построения соответственных конечных элементов ). Эти трудности — один из многочисленных примеров того, как упрощающие предположения (например, гипотезы Кирхгофа — Лява, предположение о несжимаемости и т. д.), предназначавшиеся первоначально для того, чтобы облегчить применения теории, существенно усложняют построение удобных конечноэлементных моделей. Практически очень часто при использовании более фундаментальной (неупрощенной) теории проще строить приемлемые конечноэлементные модели. [c.164]

В отношении способов возникновения слабые разрывы существенно отличаются от сильных. Мы увидим, что ударные волны могут образовываться сами по себе, непосредственно в результате движения газа, при непрерывных граничных условиях (например, образование ударных волн в звуковой волне 102). В противоположность им слабые разрывы не могут возникать сами по себе их появление всегда связано с какими-либо особенностями в граничных или начальных условиях движения. Особенности эти могут быть, как и сами слабые разрывы, самого различного характера. Так, причиной образования слабого разрыва мол<ет являться наличие углов на поверхности обтекаемого тела па возникающем в этом случае слабом разрыве испытывают IU40K первые производные скорости по координатам. К образованию слабого разрыва приводит также и скачок кривизны поверхности тела без угла на ней (причем испытывают разрыв вторые производные скорости по координатам) и т. п. Наконец, всякая особенность в изменении движения со временем влечет за собой возннкновенне нестационарного слабого разрыва. [c.501]

Допущения, приводящие к теории пологих оболочек, могут быть сформулированы также в форме приближения о близости метрических свойств поверхности и ее проекции на плоскость. В результате, в формулах для компонентов изгибной деформации отбрасывают тангенциальные смещения, а в изменениях кривизн - квадратичные члены с множителями /Ri, в уравнениях равновесия пренебрегают момеЕггными членами, содержащими в качестве сомножителей главные кривизны поверхности и их производные. [c.143]

Рассматриваемая задача представляет собой задачу о внутренней трещине, находящейся в сравнительно тонкостенном конструкционном элементе, для исследования которого применяют теорию пластин или оболочек. В обычной системе обозначений, принятой ниже и отнесенной к локальной системе координат, представленной на рис. 1, ui, U2 и Uz — компоненты вектора перемещений, Pi и Р2 — углы поворота нормали к нейтральной поверхности в плоскостях Х1Х3 и Х2Х3, Nij, Мц и Vi (i, j = 1,2) — результирующие мембранных усилий, момента и усилий поперечного сдвига. Принимаем также, что задача о сквозной трещине в пластине или оболочке поставлена и сведена к системе интегральных уравнений. В [11—16] принято, что неизвестными функциями интегральных уравнений являются производные перемещений поверхности трещины и углов поворота нормалей к нейтральной поверхности. Это является естественным следствием постановки задачи для пластины пли оболочки со смешанными краевыми условиями. В случае симметричной задачи о сквозной трещине в области —а <. Х <. а (расположенной в одной из главных плоскостей кривизны) пластины или оболоч- [c.245]

Поэтому в качестве углов поворотов триад осей в точке р относительно осей XYZ возьмем, как показано на рис. 6.3, соответственно О, а da и с da а и с вместе со своими первыми производными полагаются непрерывными функциями а и jp и по физическому смыслу представляют собой кривизны поверхности в направлении оси а и линии а, умноженные на А. Функции а и с считаются положительными, когда ось, касательная к линии а в точке р, при повороте стремится к первому кв1адранту Боординат-ной системы XYZ, как это показано на рис.- 6.3. Аналогично взаимной перестановкой р и д, а и Л и 5, X и У, а и Ь, с и d получаем для показанной на рис. б.З трИады в точке g повороты на углы Ь d , О, d d относительно осей XYZ. Ниже для основных ТИПОВ оболочек будут приведены вычисленные значения функций Л, 5, а, Ь, с, d в виде таблицы 6.2. Физическая размерность этих характеризующих геометрию функций будет, разумеется, зависеть от смысла координат а и которыми могут быть, nai-пример, длины или углы. [c.395]

Ранее вторые производные оптических величин встречались уже дважды в п. 3.2, когда анализировали аберрации голографически восстановленных изображений, и в п. 4.24, когда рассматривали абсолютную локализацию. В гл. 4 учитывали только первые производные о состоятельности такого приближения см., например, в [4.192, гл. 12]. Теперь сначала подробно рассчитаем вторую производную от оптической разности хода лучей, которая связана с кривизной интерференционных полос при этом будет рассмотрен случай фиксированной позиции наблюдателя. Затем покажем, как на основании информации, полученной на поверхности тела, и с помощью основных соотношений механики сплошных сред, могут быть вычислены механические величины для подповерхности областей тела. В этих соотношениях вторые производные от оптических величин будут присутствовать неявно, поскольку отправной точкой будут являться оптически измеренные механические величины на поверхности, [c.164]

Поэтому разложим вторую производную и найдем, каким образом она устанавливает связь между деформацией и оптическими величинами. Поскольку измерение кривизны Ь , по-видимому, легче, чем измерение кривизны Ь на поверхности объекта, так как последнюю в основном пришлось бы получить из мнимого изображения, рассчитаем прозводную ( 5 й У й )К [4.197, п. VI.3]. Из соотношения (4.26), которое существует благодаря наличию коллинеации между кг и 4к известно, что по аналогии с (2.75) двумерные операторы производной связаны между собой следующим образом [c.166]

Соотношения теории оболочек имеют наиболее простой вид, если срединная поверхность оболочки отнесена к ортогональным координатам. Поэтому весьма важным является установлетте тех условий и ограничен на функцию Н и ее производные, при выполнении которых координатные линии в 6. являющиеся образом координатных линий < ( Со, можно считать ортогональными. Изучение данного вопроса начнем с рассмотренич случая, соответствующего отображению поверхности б на поверхность отсчета (5 о, отнесенную к ее линиям кривизны. [c.72]

В выражения для коэффициентов лучевых разложений входит ряд параметров, характеризующих локальные свойства конгруенции лучей в окрестности рассматриваемого луча радиус кривизны фронта (расстояние по лучу до каустики), его производная вдоль фронта (выражается через радиус кривизны каустики в точ1ке отрыва луча), последующие производные и т. д. Радиут кривизны фронта входит уже в выражение для первого, геометрооптического члена лучевого разложения. Эти параметры, в принципе, могут быть вычислены для отраженной волны, поскольку известна- конгруенция лучей этой волны. Однако сравнительно просто получить, как следствие закона зеркального отражения, и явные выражения, связывающие на поверхности тела параметры конгруенций лучей отраженной и первичной волн. [c.47]

I ние основных ур-ий в пространственной системе координат сделано Буссинеском для случая действия силы на поверхность неограниченных размеров, но сверху ограниченную плоскостью, и Герцем для случая малой поверхности давления по сравнению с радиусом кривизны основной поверхности. Обе задачи имеют чрезвычайно важное значение для теорий шариковых и роликовых подшипников, мостовых опор и пр. и повлияли очень сильно на учение о твердости. Разрешены основные уравнения для ряда задач о тепловых напрязкепиях, которые возникают вследствие неравномерного нагрева упругого тела (пустотелый цилиндр и др.). Особенно широко и с большим успехом пользуются основными ур-ями для плоских задач. В случае последних остаются только три компоненты напряжений а , а , г у остальные тождественно равны нулю. Следуя предлозкению Эйри, принимают напрязкения за производные нек-рой произвольной ф-ии гр х, у) [c.209]

Вследствие того, что для выполнения третьего условия формообразования в каждом нормальном сечении поверхностей Д н И должно выполняться определенное соотношение между нормальными радиусами кривизны этих поверхностей, можно построить области, в которых центры главных кривиз исходной инструментальной поверхности расположены быть не могут - это так называемые запрещенные зоны. Например, для плоского нормального сечения поверхности детали (рис. 7.22) запрещенными являются зоны 1 и 2. При построении запрещенных зон требуется учет влияния на форму и положение производной фокальной поверхности величины угла относительной локальной ориентации детали и инструмента. [c.397]

Если пограничный слой достаточно тонкий и кривизна поверхности незначительна, то градиентом статического давления в пределах пограничного слоя в направлении оси у можно пренебречь. Кроме того, в результате решения уравнения для потенциального потока можно определить величину производной др1дх на границе пограничного слоя. Эти упрощения позволяют полностью исключить уравнение (7.2). [c.200]

Будем снова исходить из гипотезы прямых нормалей. Если в матрицы узловых перемещений включены узловые значения прогиба и углов поворота нормали, то тем еамым в узловых точках задается непрерывность функции Иг и ее первых производных dujdx duz/dy, между узлами эти величины могут вдоль сторон элемеятов претерпевать разрывы. Для уменьшения разрывов можно включить в число узловых параметров старшие производные от Uz по координатам х, у, обеспечивая таким путем непрерывность этих производных в узловых точках. Если толщина пластины изменяется скачкообразно, то этот подход неприемлем, поскольку на линии, вдоль которой это происходит, вторые производные от по х, у (имеющие смысл кривизн н кручения изогнутой срединной поверхности) не могут сохраняться непрерывными. Однако в случае плавного изменения толщины указанный прием вполне оправдай. [c.241]

Условимся считать кривизну положительной в том случае, если поверхность обращена выпуклостью вниз. Знак минус в выражении (е) введен потому, что при показанном на чертеже изгибе выпуклостью вниз вторая производная d wjdx получается отрицательной. [c.46]

Дифференциальное уравнение симметричного изгиба поперечно нагруженной круглой пластинки ). Если действующая на круглую пластинку нагрузка распределена по ней симметрично относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее центр, то изогнутая поверхность, в которую обратится срединная плоскость пластинки, также получится симметричной. Во всех точках, равно удаленных от центра пластинки, прогибы будут одинаковы, и потому мы сможем удовлетвориться рассмотрением их лишь в одном-единственном диаметральном сечении, проходящем через ось симметрии (рис. 27). Поместим начало координат О в центре неизогнутой пластинки, через г обозначим радиальные расстояния точек, лежащих в срединной плоскости, а через w — их прогибы вниз. Тогда максимальный наклон изогнутой поверхности в некоторой точке А будет равен — dwldr, кривизна же срединной поверхности пластинки в диаметральном сечении rz для малых прогибов выразится производной [c.66]

Формулы для случая малых смещений. Пусть будут и, V, ге) проекции смещения какой-нибудь точки средней поверхности на те направления, которые до деформации имеют касательные к кривым а = сопз1., p= onst. , и нормаль к поверхности в этой точке. Постараемся выразить удлинения средней поверхности и изменения кривизны через и, V,-12 и их производные по а, р. [c.546]

Мениск можноетавить как выпуклой, так и вогнутой поверхностью к зеркалу. Сферическая аберрация и хроматизм от этого не изменятся. Но Д. Д. Максутов показал, что кома целиком зависит от расстояния между мениском и зеркалом. Кома обращается в нуль и система становится апланатической только при вполне определенном значении отрезка < 2 (ем. рис. 8.13). При этом оказывается, что в случае, если мениск повернут выпуклой поверхностью к зеркалу, то отрезок приблизительно в два раза меньше, чем когда он обращен выпуклостью к небу таким образом, первый случай конструктивно значительно выгоднее второго, Астигматизм и кривизна поля в менисковых системах оказываются умеренными. Поле, как и в системах Шмидта, выпуклостью обращено к падающему на него пучку лучей. Кривизна его может быть исправлена линзой Пиацци-Смита. Первый член формулы (5.93) выражает последний отрезок мениска для параксиальных лучей. В эту формулу входит показатель преломления п стекла, из которого изготовлен мениск. Он в свою очередь зависит от длины волпы Я, т. е. (п) представляет хроматическую кривую мениска. Дифференцируя нервый член (5.93) по га и приравнивая производную нулю, мы найдем отношение [c.283]

Положим вектор v совпадающим с единичной нормалью N к поверхности s t) и рассмотрим теорему Стокса (А. 11. 10) Определим производную по нормали d/dN, оператор проектирования Р на локально касательную плоскость к s t), тангенциальный или поверхностный градиент Vj на s t) и среднюк> кривизну Q поверхности s t) по формулам [c.540]

Смотреть страницы где упоминается термин Производные на поверхности, кривизна поверхности : [c.106] [c.667] [c.91] [c.151] [c.549] [c.7] [c.528] [c.425] [c.243] [c.270] [c.80] [c.241] [c.393] [c.365] [c.72] [c.209] [c.446] [c.479] [c.60] [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...