Общее решение в сферических координатах

Общее решение в сферических координатах [c.156]

Заключение. Разработан подход к решению стационарных динамических внутренних задач гидроупругого взаимодействия для системы, состоящей из жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью и содержащей конечное число произвольно расположенных сферических включений. Подход основан на использовании теорем сложения специальных функций и соотношений, позволяющих представлять частные решения уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах с помощью его частных решений в сферических координатах, и наоборот. Это дает возможность, используя принцип суперпозиции, записывать общее решение в системе координат каждого тела и тем самым удовлетворять граничным условиям на его поверхности. [c.500]

Общее решение уравнения (2. 2. 8) в сферических координатах может быть записано в виде [c.79]

Для количественного анализа упругого рассеяния рассматриваются решения уравнений (4.1) и (4.3) в сферических координатах. Общее решение этих уравнений имеет вид [c.30]

Построение этих тензоров основано на использовании общего решения (1.3.56) уравнений равновесия, которое в сферических координатах имеет вид [c.54]

Электроны будут рассеиваться в потенциальном поле дефекта. Общее аксиально-симметричное решение уравнения (4,41), которое следует искать в задаче о рассеянии, как известно (см. например, [81]), в сферических координатах г, й, ф имеет вид [c.105]

В книге Ламба [19] приведено общее решение уравнений Стокса в сферических координатах. Вычисляя дивергенцию векторного уравнения (2.6.1) и используя (2.6.2), видим, что поле давления [c.79]

Для определения может быть использовано общее решение Ламба уравнений медленного течения в сферических координатах [формулы (9.2.4) и (9.2.5)]. Решение получается в замкнутом виде. [c.521]

При этом функция г] должна удовлетворять уравнению Гельмгольца. Как известно, общее решение этого уравнения в сферических координатах представляет собой суперпозицию сферических волн всех порядков [c.252]

При разделении переменных в этом уравнении в сферических координатах имеем следующее общее решение, регулярное в начале координат [c.94]

Общее решение уравнения Гельмгольца (1) в сферических координатах г , di, (fl имеет вид [c.492]

Рассмотрим сферические волны, идущие от источника / до поверхности о и от поверхности о до рассматриваемой точки Р. Для решения этой задачи используем волновое уравнение Д Алам-бера в сферических координатах. Это волновое уравнение, как известно, в общем случае имеет следующий вид [c.266]

Решение задачи Кеплера. Поскольку U r) = V (г), то в общем случае решение уравнений движения возможно только в сферических координатах г, 9, ip X = г sin О os (р, у = г sin в sin (р, Z = г OS 9. Наличие дополнительного специфического для задачи Кеплера интеграла (6.4) приводит к тому, что уравнения (6.3) могут быть решены в параболических координатах [28] и, v, ip [c.42]

В работе [28] проанализирована реакция неограниченной упругой среды на изменение давления на поверхности внутренней полости, имитирующей микро-дефект, от исходного уровня до нуля. Записывая уравнение движения в сферических координатах, полагая начальные условия нулевыми и приравняв нормальные напряжения в материале на границе полости и давление внутри нее, авторы получили общее решение задачи в виде лапласовского изображения колебательного смещения. Общий анализ полученного выражения достаточно сложен, однако практически важные результаты могут быть получены, если предположить, что изменение давления происходит скачком, т.е. p t) = ро l(i), где 1(0 - ступенчатая функция [c.177]

Решение уравнений (1-6) для условий падения на частицу плоской линейно поляризованной электромагнитной волны производится в сферической системе координат по методу Фурье путем введения потенциалов электрических и магнитных колебаний. Общее решение задачи дается в виде бесконечных рядов по амплитудам парциальных волн электрических j и магнитных колебаний. [c.15]

В общем случае произвольных I решениями уравнения (2.43) для исчезающего псевдопотенциала оказываются сферические функции Бесселя / hr) ). Они регулярны в начале координат, а на больших расстояниях имеют вид [c.201]

В сферической системе координат найти общее решение уравнения Лапласа, являющееся функцией только координаты г. [c.37]

Рассмотрим задачу о распространении сферически симметричных волн расширения, обусловленных скачкообразно изменяющимся во времени давлением, приложенным к поверхности сферической полости в бесконечной упругой среде. Для однородной изотропной среды такая задача рассмотрена, например, в [83]. Приведем решение более общей задачи [56], считая среду сферически анизотропной (центр анизотропии совпадает с центром полости) и неоднородной модули упругости изменяются в зависимости от радиальной координаты по степенному закону с одним и тем же показателем степени. [c.283]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

Так как, очевидно, начало координат занимает особое положение в теории сферических волн, желательно рассчитать значения ф в этой точке, имея еще в виду, что результат сейчас же понадобится нам при переходе к рассмотрению решения общего уравнения звуковых волн (4) 70. Искомое значение можно получить из (27) или более непосредственно из (15). Находим [c.267]

Общая формула для силы радиационного давления звука на малый шар (2.13) позволяет рассмотреть более трудную и интересную задачу о взаимодействии двух сферических частиц в звуковом поле. Общий путь решения этой задачи таков. Положим, что исходный шар радиуса Дх имеет координату Гь а на расстоянии = Г2—от этого шара имеется другой шар с радиусом 7 2- [c.132]

Хаберман и Сэйр [27] также рассматривали осесимметричный случай для больших alR , используя представление общих решений уравнений медленного течения через функцию тока, выраженную как в цилиндрической, так и в сферической системах координат. Для удовлетворения граничных условий на стенках цилиндра использовалось решение для функции тока в цилиндрических координатах. Полученное таким образом выражение представляет собой поле течения внутри кругового цилиндра, пока еще не полностью определенное, но удовлетворяющее граничным условиям на поверхности цилиндра. Затем это выражение преобразовывалось к сферическим координатам. Сравнивая почленно константы в предыдущем выражении с постоянными в выражении для разложения функции тока, полученном непосредственно в сферических координатах, получаем связь между этими константами. Граничные условия на сфере дают связь между константами для решения в сферических координатах. После подстановки предыдущих соотношений в соотношения, полученные из граничных условий на сфере, получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов, фигурирующих в разложении функции тока. [c.366]

Наиболее полно была изучена задача о колебаниях сферы. Простейшие радиальные колебания сферы проанализированы Пуассоном (1828), а общая пространственная задача о колебаниях сферы рассматривалась Йеришем (1879). Последний построил решение в сферических координатах, предложил классификацию форм колебаний и получил уравнения частот. Лэмб (1882), следуя традициям английской математической школы того времени, изучал аналогичную задачу в прямоугольных координатах. Он уточнил разделение мод колебаний сферы на два класса и провел подробное [c.12]

Поле представляющее собой первое отражение и определенное в (7.3.7), было получено Симхой [51] в связи с задачей определения вязкости суспензии. Если использовать общее решение Л амба [39] в сферических координатах, то результат Симхи можно выразить в виде [c.345]

Задание скорости и частицы определяет осевую симметрию задачи, которую удобно рассматривать в сферических координатах. Общее решение для такой системы приведено в разд. 2.1, где произвольные постоянные должны определяться из условий ограниченности решения, известной скорости на поверхности частицы и некоторых условий на границе ячейки (при Я = Ь). Бесспорным условием на этой границе является равенство нулю нормальной составляющей скорости, соответствующее непроточности ячейки. По поводу второго условия, необходимого для полной идентификации решения, существуют различные мнения. Так, Каннингхем постулировал равенство нулю тангенциальной скорости, рассматривая фактически ячейку, как контейнер с жесткой границей. Хаппель предлагал использовать условие равенства нулю тангенциального напряжения, постулируя тем самым силовую изолированность ячейки. Наконец, Кувабара предлагал использовать условие равенства нулю потока вихревой напряженности на границе ячейки. [c.93]

Для приложений более интересны решения уравнения (4,4), убывающие или переходящие в однородное поле на бесконечности. При условии а = onst и в предположении цилиндрической симметрии задачи частное решение уравнений (4,2), (4,4) найдено в работе Этому решению соответствует поле, распадающееся на отдельные шаровые слои, внутри каждого из которых силовые линии замкнуты. На границе слоя возможно сшивание решений с различными а, а также с решением, переходящим на бесконечности в однородное поле. При тех же предположениях в работе получено в явном виде общее решение уравнений (4,2), (4,4), выраженное через цилиндрические функции от г и полиномы Гегенбауэра от OS в сферических координатах г, , ср. В обеих этих работах используется метод разложения цилиндрически симметричного поля на поло-идальную и тороидальную части, для первой из которых вектор напряженности магнитного поля И лежит в плоскости, проходящей через ось симметрии, для второй — перпендикулярен ей. Каждая из этих частей полностью определяется одной скалярной функцией от цилиндрических координат р и Z. С помощью указанного разложения в работе получено общее соотношение между определяющими скалярами цилиндрически симметричного магнитного поля, удовлетворяющего уравнению (4,1) с учетом сил гравитации. [c.23]

Так, например, при решении задачи о дифракции относительно отверстия в экране поступают обычно так - совмеш ают гюйгенсову поверхность с экраном (включая и плоскость отверстия), замыкают эту поверхность на бесконечности и предполагают, что в плоскости отверстия возмущение такое же, как при свободном распространении волны, а на задней поверхности экрана возмущение вообще отсутствует. Выполнив вычисления по формуле (6. 1), мы найдем потенциал как функцию координат, причем его значения на гюйгенсовой поверхности будут отличаться от первоначально предположенных. Можно было бы воспользоваться найденными значениями и действовать далее методом последовательных приближений. Однако при решении оптических задач обычно ограничиваются первым приближением, которое, как оказывается, не только схватывает все существенные детали дифракционного явления, но и дает достаточное для практических надобностей количественное приближение. Естественно, конечно, стремиться к получению точных решений различных дифракционных задач. Такие решения известны для небольшого числа специальных случаев. Так, например, существует точное решение для дифракции относительно шара. Здесь задача, сформулированная в сферических координатах, решается при помощи довольно хорошо разработанной теории шаровых функций. Вообще пересматривая известные решения дифракционных задач, можно отметить, что все эти решения получаются специализированными, а не общими методами. [c.276]

Общий метод решения этой задачи состоит в том, что мы составляем волновое уравнение в сферических координатах и находим его общее решение, выраженное рядом по сферическим функциям. Зател мы находим радиальную скорость как [c.329]

Здесь О, ф — сферические углы вектора к. Заметим, что при Х = = 0 соотмошенпя (2) совпадают с дисперсионными уравнениями для плоской электромагнитной волны в анизотропном кристалле [13]. В этом случае U(,i) — векторы, поляризации. При е=ез (а= -=2G) векторы Щп) совпадают с ортами сферической системы координат. Общее решение (1) x = AmHu os(V +o,J. Столбцами матр щы Дт,1 = и, ( ) являются собственные векторы, которые удовлетворяют условиям нормировки [c.147]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Так как в этих задачах обычно имеется много границ, то для их решения желательно иметь в распоряжении набор достаточна общих решений, который позволял бы одновременно удовлетворить ряду граничных условий. Методом, наиболее широко используемым для получения таких решений, является классический метод разделения переменных. Разделяемость переменных в уравнениях Стокса полностью не исследована, но трехмерные задачи в сферических и цилиндрических координатах могут эффективна решаться таким способом. В этом случае получаются полезные решения, представляемые в виде удобных рядов. [c.78]

Рассмотрим преобразование аберраций сферической волны в случае, когда их задают и вычисляют на сферических поверхностях. Общий путь решения остается таким же, как и для плоской задачи, но используемые формулы существенно усложняются, поэтому ограничимся пятым порядком малости. Пусть эйконал аберрированной сферической волны известен на сфере G радиуса г с вершиной в начале координат (рис. 2.2). Требуется найти волновые аберрации на сфере G радиуса г с вершиной на расстоянии t от вершины сферы G (центры обеих сфер лежат на оси z, которая определяет и вершины поверхностей). В частном случае при 1/г= 1/г — 0 приходим к уже рассмотренной плоской задаче. [c.42]

Введенке. В этой главе мы рассмотрим решения уравнений равновесия изотропного упругого телд при ПОМОЩИ разложений в ряды гармонических функций и главным образом в ряды сферических функций. Мы начнем с некоторых специальных типов решений, полученных при помощи сферических функций и дающих важные, результаты, касающиеся равновесия шара, которые являются началом приложений теории упругости к геофизике. Мы будем следовать Кельвину, который выразил общее решение задачи 1) о шаре при помощи сферических функций, рассматривая их как функции декартовых координат и избегая преобразования к полярным координатам. После этого мы дадим некоторые применения рядов гармонических функций, отличных от сферических функций, для интегрирования уравнений равновесия. [c.261]

Предположим, что псевдопотенциалы отличаются лишь в пределах одной атомной ячейки, и построим вокруг примеси сферу как раз таких размеров, чтобы все это отличие содержалось в ней. Можно получить точную псевдоволновую функцию внутри такой ячейки для любой энергии, интегрируя уравнение с псевдопотенциалом от начала координат до поверхности ячейки и выбирая решение, регулярное в ее центре. Его следует затем сшить с решением, полученным вне ячейки. Общее решение вне ячейки при равном нулю W (г) есть линейная комбинация соответствующих сферических функций Бесселя и Неймана tii (kr). Последняя представляет собой сингулярное при г = О решение уравнения (2.43) при 0 1 = 0. На больших расстояниях она имеет асимптотику [c.202]

Выведены алгебраические уравнения геометрического синтеза пространственного направляющего четырехзвенного кривошипно-коромыслового механизма, содержащие лишь независимые постоянные параметры схемы механизма и пригодные для решения задач синтеза любыми методами. Вывод основан на гиперком-пленсном представлении векторов в декартовой косоугольной и эквивалентной сферической системах координат. Установлено, что при синтезе рассматриваемого механизма по методу точечного интерполирования количество заданных точек шатунной траектории но должно превышать 9 в общем случае и 7 при расположении точки шатуна па его продольной оси. При этом развитый в статье метод дает возможность получить минимальное количество уравнений системы — 27 в первом случае и 21 во втором случае. [c.307]

Наличие комплексных показателей степени приводит к появлению в общем разложении (6) — (10) членов, характеризуемых осцилляциями по сферическому радиусу Н. В этом случае при достаточно больших интенсивностях соответствующих мультиполей возможно выполнение необходимого условия возникновения невязкой гидродинамической неустойчивости, заключающегося в том, что величина д1дг г дРг) дг меняет знак на интервале [О, < ) изменения цилиндрического радиуса г (Уф = 0). Указанное условие, представляющее теорему Рэлея для осесимметричного течения, справедливо для параллельного приближения, когда течение не зависит на рассматриваемом участке от продольной координаты 2. В общем случае критерий гидродинамической неустойчивости теряет рэлеевскую формулировку, но качественное изменение решения при Ке > Ке , связанное с появлением осцилляций по радиусу В, имеет тесную связь с устойчивостью течения, что подтверждается экспериментальными данными. [c.302]

Задача о поршне, уже рассмотренная в 18 для одномерных движений с плоскими волнами, представляет интерес и для движений с цилиндрической или сферической симметрией. В этих случаях сравнительно простое — автомодельное — решение существует лишь тогда, когда поршень вдвигается в покоящийся газ, расширяясь из точки (начала координат) с постоянной скоростью для других краевых условий задача о поршне неавтомодсльна. Тем не менее исследование решения задачи о порщне полезно для понимания общей методики отыскания таких решений. [c.205]

Преобразования координат включают лишь решения сферических треугольников, изучению которых в совершенно общей форме математический мир обязан Гауссу (1777—i855). [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...