Сферические функции Бесселя

Очевидно, решение уравнения (2-10-32) будет связано со сферическими функциями Бесселя первого и второго рода (п = 0, 1, 2, 3) [c.176]

Свойства присоединенных функций Лежандра и сферических функций Бесселя [c.36]

В (2.32) через с (а/ ) обозначена одна из сферических функций Бесселя [c.36]

Сферические функции Бесселя удовлетворяют рекуррентным соотношениям [c.37]

Для сферических функций Бесселя / (z) и Неймана п (г) имеются следующие асимптотические представления [c.215]

Для получения зависимостей (1.7.3) в дальней области поля (z z-> o) воспользуемся асимптотическими выражениями сферических функций Бесселя (1.6.10) и после небольших преобразований запишем формулы дальнего поля в следующем виде [c.218]

Сферические функции Бесселя нулевого порядка имеют вид [c.433]

Сферические функции Бесселя любого порядка [c.433]

Сферические функции Бесселя первого и второго рода выражают посредством модуля Djn и фазы W- [c.433]

Теоремы сложения для сферических функций Бесселя и полиномов Лежандра, Пусть Pi и Pg —точки пространства со сферическими координатами ri, 0i, ф1 и Гъ 2 ф2- Допустим, что 01 + 02 <я (рис. П.1.2). Тогда выполняются следующие соотношения [c.435]

Таблицы сферических функций Бесселя, том I. Изд. ВЦ АН СССР, 1963. [c.146]

Используя функции Ханкеля Л , можно определить сферические функции Бесселя jj x) = КеЛ Функции регулярны в точке л = О и связаны с функциями Риккати — Ханкеля простым соотношением =xj . Аналогично можно образовать функции Риккати — Ханкеля [c.456]

Сферические функции Бесселя [c.641]

I. Разложение плоской волны. Сферические функции Бесселя [c.45]

НУЛИ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ [c.67]

В общем случае произвольных I решениями уравнения (2.43) для исчезающего псевдопотенциала оказываются сферические функции Бесселя / hr) ). Они регулярны в начале координат, а на больших расстояниях имеют вид [c.201]

Обсуждение свойств сферических функций Бесселя содержится в книге [45]. См. также [72].— Прим. ред. [c.201]

Поместим теперь атом серебра в центр сферического кристалла простого металла, как уже описывалось в предыдущем параграфе. Пусть для определенности это будет алюминий. Потенциал внутри атома серебра останется неизменным (исключая почти постоянный сдвиг энергии), но вне атома к нему добавится потенциал атомов алюминия. Пусть это будет постоянный потенциал о, равный энергии минимума зоны проводимости алюминия. Это показано на фиг. 63. Теперь можно искать решение путем интегрирования радиального уравнения Шредингера внутри атома серебра с последующей сшивкой результата на границах элементарной ячейки с решением уравнения Шредингера (или уравнения с псевдопотенциалом) для алюминия. Последнее представляет собой соответствующую комбинацию сферических функций Бесселя и Неймана для энергий, больших Ео, и должным образом затухающее решение для энергий, меньших Ео- [c.212]

Подобно рядам для падающей волны эти ряды содержат частные решения только с /=1 а и Ьп — коэ( )фициенты, которые надлежит определить. Сферическая функция Бесселя Лп (kr) получается из бесселевой функции второго рода (er) она [c.146]

Итак, мы обсудили поведение tg г] вблизи Е = е,. Каков ход этой функции при малых энергиях Для ответа на этот вопрос рассмотрим рассеяние на прямоугольной яме с глубиной Fo и радиусом R. Обозначим Ио = + Vo- Решением (2.25) будут являться сферические функции Бесселя /,(хой), и мы получим [c.35]

Для очень малых значений х точная формула Ми упрощается, если использовать разложения в степенные ряды сферических функций Бесселя относительно коэффициентов Ми и Ьт-Разложения в степенные ряды относительно этих коэффициентов применили Хюльст [27] и Пендорф [32а]. В таких разложениях первый член выражает закон рассеяния Рэлея. Разложение решения Ми в степенные ряды относительно малых х дается в виде [27] . [c.93]

Здесь п(аг) — сферические функции Бесселя [70] Pn( os0) — полиномы Лежандра. Ниже множитель опущен. [c.107]

Здесь (mnqp ар) — коэффициенты Клебша-Гордона, для которых известны различные формы явного выражения [10] jn — сферическая функция Бесселя константы Г12, 2ч 12 определяют положение начала координат первой системы относительно второй. [c.493]

Согласно дифракционной теории рассеяния Ми [9], выражения для членов ряда, как отмечалось в п. 1.2, являются осциллирующими функциями радиуса и показателя преломления частиц за счет присутствия в них сферических функций Бесселя от комплексного аргумента и производных полинома Лежандра. Для оценки коэффициентов йп и Ьп, входящих в выражения (1.6) для комплексных амплитуд рассеяния, в случае двухслойных частиц Фэнн [27] использует следующие выражения, полученные преобразованием точных формул Ми для соответствующих граничных условий [c.117]

Если 1ф О, то потенциалы Баргмана строятся с помощью сферических функций Бесселя и, следовательно, они содержат обратные степени г. В результате они в общем случае имеют асимптотическое поведение вида г ", где м>3. Как было показано Фултоном ) и Ньютоном [6421, для того чтобы баргмановский потенциал имел экспоненциальное поведение, достаточно, чтобы при к О функция f к) имела вид f к) = fi + О [c.405]

Предположим, что псевдопотенциалы отличаются лишь в пределах одной атомной ячейки, и построим вокруг примеси сферу как раз таких размеров, чтобы все это отличие содержалось в ней. Можно получить точную псевдоволновую функцию внутри такой ячейки для любой энергии, интегрируя уравнение с псевдопотенциалом от начала координат до поверхности ячейки и выбирая решение, регулярное в ее центре. Его следует затем сшить с решением, полученным вне ячейки. Общее решение вне ячейки при равном нулю W (г) есть линейная комбинация соответствующих сферических функций Бесселя и Неймана tii (kr). Последняя представляет собой сингулярное при г = О решение уравнения (2.43) при 0 1 = 0. На больших расстояниях она имеет асимптотику [c.202]

МЫ сформулируем граничные условия по сфере и рассмотрим единственное значение проекции момента количества движения, так что в сумму по будет включено только одно -состояние. Рассмотрим теперь волновую функцию, когда Ек проходит через резонанс. В нулевом порядке псевдоволновая функция (которая совпадает с истинной волновой функцией на больших расстояниях) дается сферической функцией Бесселя /г (кг). Как показывают второй и третий члены в (2.84), эта псевдоволновая функция должна быть ортогональна функциям сердцевины и -состояниям. Кроме [c.236]

Сферические функции Бесселя, Неймана, Ганкеля. Уравнение (2.25) всегда имеет два лпне1шо независимых решения — регулярное и нерегулярное в начале координат. В случае нулевого потенциала решения (2.25) известны [1, 2], они называются сферическими функциями Бесселя и Неймана соответственно fiix), n ix), где X = хг. Приведем вид этих функций для нескольких первых значений индекса I [c.26]

Для ККРЗ-формфактора несепарабельный член отсутствует, но легко видеть, что д-зависимость ККРЗ-формфактора определяется д-зависимостью сферических функций Бесселя, входящих в Sl, асимптотика которых такова (см. (2.29)), что весь формфактор спадает тоже, как i/q. Таким образом, спадание формфакторов фазовых сдвигов с q происходит медленнее, чем убывание ОПВ-формфактора и формфактора теории рассеяния (2.161), (4.5), основанного на использовании ортогонализованных плоских волн. [c.169]

Прежде всего отметим, что ОПВ-формфактор имеет такой же сепарабельный член с q-зависимостью, что и ККРЗ-формфактор. Но формфактор ОПВ спадает с ростом q быстрее, чем его ККРЗ-аналог. Причина этого в том, что ОПВ-формфактор основан на интегрировании сферических функций Бесселя (являющихся компонентами плоской волны) по г-пространству, что вводит дополнительный множитель i/q, как легко проверить на примере интегрирования exp(iqr) например, при вычислении фурье-образа прямоугольной ямы с радиусом действия R [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...