Стационарные колебания линейных систем

СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [c.290]

СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1. Корреляционные момеиты обобщенных координат [c.293]

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, согласно которому реакции от двух и более факторов можно определять как векторную сумму реакций на каждый из них. Обычно задачей исследований колебаний является нахождение реакции w по заданным силе и (или) моменту М. Для стационарных конструкций, которые не вращаются, реакция будет всегда конечной при конечных значениях f и Л1, за исключением случая, когда f и М содержат гармонические компоненты вида sin((oif + e) и при некоторых частотах, определяющихся [c.16]

В линейных параметрических системах, как известно, невозможен стационарный режим параметрических колебаний. Колебания в них будут или неограниченно возрастать, или убывать до нуля. Ограничение амплитуды обусловлено наличием нелинейностей. Поэтому представляет существенный интерес исследование стационарных вынужденных колебаний нелинейных систем. Рассмотрим частные случаи (6.19). Остановимся сначала на нелинейной инерционности для схемы, показанной на рис. 66, б лго (t) = 0 [c.243]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

В противном случае систему называют нелинейной. Линейность дифференциальных уравнений и дополнительных условий относительно и (/) еще не означает линейности оператора Н. Так, параметрические системы нелинейны по отношению к параметрическим возмущениям, что находит отражение, например, в методах их аналитического исследования (см. гл. XIX). Как и в теории детерминистических колебании, вводятся понятия о стационарных и нестационарных системах, о системах с конечным, бесконечным счетным и континуальным числом степеней свободы. Операторное уравнение (2) для распределенных систем обычно реализуется в виде дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями. Поэтому применительно к задачам случайных колебаний распределенных систем применяют также термин стохастическая краевая задача. [c.286]

О колебаниях нелинейных систем при ударе. В стационарных режимах вынужденных колебаний даже малая нелинейность характеристики ведет к возникновению специфических нелинейных эффектов, описанных, например в [35, 153]. По-иному обстоит дело при колебаниях нелинейных систем, вызванных ударом. Скоротечность ударных процессов не позволяет развиться нелинейным явлениям, так что различие в поведении нелинейной и соответствующей ей линейной системы носит чисто количественный характер. Например, при коротком ударе наибольшее отклонение объекта слабо зависит от формы ударного импульса. Распространяя этот результат [c.278]

В результате проведенного анализа можно сформулировать методику (правило) построения резонансных стационарных амплитуд в зависимости от частоты внешней силы. Для нелинейной системы, находящейся под воздействием внешней гармонической силы с частотой V, близкой к собственной частоте системы со, найдем значения амплитуды и фазы синхронного стационарного колебания. Для этого линеаризуем данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во внимание внешней силы еЕ sin vt) и определяем функции амплитуды — эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний. Подставив найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний, получим уравнения для определения искомых амплитуды и фазы. [c.81]

О частотных методах исследования устойчивости. Как вытекает из изложенного в п. 3 гл. I, а также в т. I и в предыдущих пунктах настоящей главы, исследование устойчивости нелинейных колебаний во многих случаях сводится к изучению характера решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так обстоит дело, в частности, при рассмотрении вопроса об устойчивости стационарных движений автономных систем. [c.103]

Случайные колебания представляют собой раздел статистической механики, который посвящен применению вероятностных методов при исследовании задач динамики механических систем. Одной из основных является задача определения вероятностных характеристик (или законов распределения) выхода при известных вероятностных характеристиках входа . Она содержит ряд частных задач, к которым относят случайные стационарные и нестационарные колебания линейных и нелинейных систем как с конечным числом степеней свободы, так и систем с распределенными параметрами. [c.393]

Рассмотрим стационарные случайные колебания систем с одной степенью свободы. Если движение системы описывается линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, однородная часть которых имеет асимптотически устойчивые решения, то возможен режим стационарных колебаний (при стационарной правой части). [c.183]

Таким образом решение общей нестационарной задачи сводится к интегрированию нелинейной системы дифференциальных уравнений стационарного обтекания тела и связанных между собой двух линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами для возмущений, находящихся в фазе с а и а, при соответствующих граничных условиях на теле и соотношениях на скачке уплотнения. В общем случае все три системы уравнений трехмерные. Если рассматривать медленные колебания ujL/Voo <-< 1), когда вели- [c.74]

Обзор результатов по теории устойчивости положений равновесия и стационарных движений механических систем содержится в [II]. Элементы теории колебаний изложены в [6], [7], [39]. Работы [40], [41] содержат полное описание нормальных форм линейных гамильтоновых систем. [c.291]

Здесь следует указать на одно отличие от линейных систем устойчивость или неустойчивость осциллятора по-прежнему зависит от амплитуды. Поэтому утверждение об устойчивости положения равновесия при Й<Й1 справедливо лишь для достаточно малых амплитуд, т. е. для устойчивости в малом. Если рассматривать случай, соответствующий рис. 134, то осциллятор при й==1,7(Во будет устойчив лишь при фв<с75° в интервале амплитуд 75°<Сфо< < 137° осциллятор неустойчив при больших амплитудах колебания снова будут затухающими. Таким образом, заданному значению частоты соответствуют два возможных устойчивых стационарных вида движения система может или оставаться в положении равновесия ф=0, или совершать периодические колебания с амплитудой Фо=137°. Какой из этих двух видов движения будет осуществлять ся, зависит от начальных условий. Неустойчивая ветвь а разграничивает начальные условия, которые приводят к тому или иному из двух видов движения. [c.178]

Автоколебательные системы относятся к классу активных колебательных систем, определение которых было дано в 4.1. Однако, в отличие от активных систем, в которых вложение энергии можно однозначно описать с помощью отрицательного сопротивления и которые могут быть линейными и неконсервативными, автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны. Это их свойство обусловливает возможность существования в автоколебательных системах стационарных по форме и величине колебаний, что в рамках представлений о фазовой плоскости означает наличие предельных циклов — асимптотических замкнутых фазовых траекторий. [c.186]

О преобразователе стохастичности уже говорилось. Подводя итог, отметим, что преобразователь стохастичности преобразует поступающее на его вход случайное воздействие в некоторое другое случайное воздействие, причем так, что вероятностное описание случайности выхода, по крайней мере, спустя некоторое время, определяется вероятностным описанием случайности входа, и с исчезновением стохастичности входа выход также теряет своЮ стохастичность. Именно этот и только этот случай изучался до последнего времени [104, 193, 194, 216, 299, 310, 320, 342]. Он интенсивно исследовался при рассмотрении случайных колебаний механических и радиотехнических систем. Таковы все приведенные выше примеры. Основной задачей этих исследований считалось отыскание характеристик и описание стохастичности выхода по заданным характеристикам и стохастическим описаниям входа. В некоторых случаях эта задача решалась просто. Так, в рамках корреляционной теории стационарных случайных процессов спектральная функция выхода линейной дина- [c.61]

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, на которую наложены голономные стационарные связи и действуют заданные стационарные силы при этом предположим, что у системы имеет-ся положение устойчивого равновесия. Разложение кинетической, потенциальной и диссипативной функций в окрестности этого положения вплоть до членов второго порядка малости включительно приводит к линейному уравнению. Однако во многих практически важных задачах возникает необходимость исследования колебаний с достаточно большими амплитудами и скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным и приходится учитывать последующие члены разложений, приводящие к нелинейным уравнениям. Если при этом отклонения от положения равновесия и скорости точек не слишком велики, то соответствующие уравнения будут описывать малые нелинейные колебания. [c.311]

Исходные уравнения, описывающие поведение большинства реальных систем, нелинейны. Анализ устойчивости нелинейных систем по отношению к произвольно малым возмущениям, или, иными словами, исследование условий возникновения мягких режимов возбуждения автоколебаний существенно упрощается благодаря известной теореме Ляпунова [5]. Для исследования устойчивости нелинейной системы согласно этой теореме можно воспользоваться вспомогательной линейной системой, получающейся из исходной путем линеаризации уравнений движения вблизи стационарного режима. Полученная таким образом вспомогательная система описывает режим малых колебаний вблизи стационарного режима. [c.12]

Методы, позволяющие решать задачи теории колебаний распределенных систем, не прибегая к их замене дискретными системами, разработаны еще недостаточно. Наметн.м идею одного нз таких методов. Вернемся к уравнению (32). Допустим, что оператор L является линейным оператором по переменным х, у и z и линейным дифференциальным оператором по времени / при этом время t явно в выражение для оператора не входит. Предположим, что оператор I переводит любую функцию q с ограниченным квадратом в функцию w, квадрат которой также ограничен. Больше никаких ограничений иа оператор не накладывается. Пусть, далее, нагрузка q является эргодической стационарной случайной функцией от вр емени t и произвольной случайной функцией с ограниченным средним квадрато.м от координат х, у, г. По теореме Хинчина [c.536]

При решении задач о колебаниях систем при случайны.- воздействиях используются основные соотношения теории случайных процессов. Если на линейную динамическую систему, положение которой определяется обобщенной коо(5-динатой q t), действует стационарная случайная вынуждающая сила Q(t), то установившийся режим вынужденных колебаний харякреризуется спектральной [c.441]

Все остальные системы можно отнести к неконсервативным. Будем считать, что во всех колебательных системах имеются позиционные консервативные (квазиупру-гие) силы. Системы, находящиеся под действием диссипативных сил, будем называть диссипативными системами. В зависимости от характера сил диссипации будем различать системы с полной диссипацией, с неполной диссипацией и с отрицательной диссипацией. Первые два типа систем называют также пассивными системами. Системы с отрицательной диссипацией и (или) с позиционными неконсервативными силами относят к активным системам. В пассивных системах возможны либо стационарные, либо затухающие колебания. В активных системах возможно самовозбуждение колебаний. Активные линейные системы являются линейными моделями автоколебательных или потенциально автоколебательных систем. [c.90]

Пример 4. Требуется описать процесс изменения напряжений в элемента конструкции линейной колебательной системы с одной степенью свободы на неустановившихся режимах, соответствующих начальному периоду колебаний и случаю, когда на механическую систему, находящуюся в стационарном соле-бательном состоянии, в случайный момент времени действует случайный по величине импульс силы. [c.30]

Спецкурс Избранные вопросы теории колебаний и волн в распределенных системах знакомит студентов с современными достижениями теории волн применительно к динамике распредепенных упругих систем. В курсе изучаются колебания периодических структур, составленных из различных комбинаций реологических элементов Гука и Юма. Осуществляется предельный переход к распределенным системам. С помощью вариационного метода строятся модели упругих колебаний стерж1 сй и пластин. Рассматриваются кинематические и динамические характеристики волнового процесса, выводятся уравнения переноса энергии и импульса. Методом стационарной фазы из)Д1а-ется асимптотическое поведение волн в линейных средах. Вводится понятие дисперсии фазовой и групповой скоростей. Рассматривается нелинейная эволюция волн Римана, ударных волн и солитонов. Изучаются также волновые процессы в системах с нестационарными и движущими границами. [c.12]

Передавая существенные стороны процесса возникновения колебаний при параметрич. возбуждении, линейное диференциальное ур-ие с периодич. коэф-тами не может однако полностью описать всего явления, напр, определить величину стационарной амплитуды колебаний. Для этого необходима более углубленная теория, основанная на рассмотрении нелинейных обыкновенных диференциальных ур-ий с периодич. коэф-тами. Особое значение приобрели явления параметрич. возбуждения в электрич. системах в связи с возможностью легко изменять параметры этих систем, а также осуществлять системы с малым затуханием, необходимым для выполнения условия (7). Относящиеся сюда работы произведены гл. обр. в Центральной радиолаборатории Всесоюзного электротехнич. объединения под руководством Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси. [c.220]

В гл. III было показано, что задача определения малых колебаний систе.мы около состояния стационарного дпижения сводится к решению соответстпующей системы линейных дифференциальных уравненнй. В этой главе предполагалось, что силы потенциальные, вследствие чего дифференциальные уравнения обладали определенной симметрией, которая уг1рощала решение. Вернемся к этому ограничению. Рассматривая дифференциальные уравнения в их наиболее общей форме, но все еще с постоянными коэффициентами, изучим некоторые особенности их решений, которые могут иметь приложения в динамике. [c.238]

Положим Е = Ео —где Ео — внешнее дрейфовое поле, и сохраним линейные по переменным величинам члены. Выражение для тока принимает вид j = ОоЕо — Оо ф + е хи Е — еШп Оо = e iNo. Первый член представляет собой стационарный ток, остальные — переменную составляюш ую тока. Считая, что ЕоНОУ и все величины - ехр (Аг/— oi), получаем из (5.2) и (5.3) систему однородных уравнений па амплитуды. Равенство нулю определителя дает комплексное дисперсионное уравнение, которое определяет дисперсию связанных колебаний, в частности частоту и поглош ение ультразвука. Проиллюстрируем это на примере кристалла гексагональной симметрии с и = О, О, и у, t) . Согласно (1.2.12) отличны от нуля компоненты а г, Dy, причем [c.74]

Рассмотрим теперь, подобно тому как это было сделано в линейном случае, разомкнутую систему и соответствующую ей ди аграмму Найквиста. Так как выбранный тип нелинейности таков, что гармоническому сигналу на входе в разомкнутую систему соответствует гармонический сигнал на выходе, то прохождение диаграммы Найквиста через точку ( + 1,0), так же как и в линейном случае, соответствует стационарному режиму колебаний. Обозначим через такое значение амплитуды колебаний входного сигнала нелинейного звена, при котором диаграмма Найквиста проходит через точку (+1,0), и рассмотрим два различных вида зависимости кп а) от а, представленные на рис. 2.2,6, и 2.2,в, отличающиеся тем, что в первом случае возрастание а приводит к росту / , а во втором — наоборот. Если при значениях а, близких к возрастание а приводит к уменьшению кп(а) (/с (а)<0), как это показано на рис. 2.2,в, то стационарный режим колебаний с амплитудой будет устойчив. Действительно, пусть в силу каких-либо причин амплитуда колебаний возросла (а = а°+Да), тогда в полной аналогии с линейным случаем из диаграммы Найквиста следует, что система перешла в устойчивое состояние, а это значит, что колебания в ней должны затухать, в результате чего их амплитуда будет падать, пока не достигнет стационарного значения. Уменьшение амплитуды колебаний (а=а —Аа), напротив, переводит систему в неустойчивое состояние, что вызывает рост амплитуды колебаний и восстановление стационарного состояния 7Si]. [c.130]

Система может находиться в неравновесном состоянии благодаря потокам энергии и вещества. В предыдущей главе приведены примеры неравновесных систем в линейном режиме. Для понимания природы неравновесных состояний в этой главе изучим более детально некоторые из этих систем. В общем случае система вдали от состояния термодина.мического равновесия не обязана находиться в стационарном (пе зависящем от времени) состоянии. Действительно, как мы увидим в гл. 18 и 19, находящаяся вдали от равновесия система, для которой линейные феноменологичекие соотношения не выполняются, может проявлять очень сложное поведение, такое, как колебания концентраций, распространение волн и даже хаос. В линейном режиме, однако, все системы приходят к стационарному состоянию, в котором производство энтропии постоянно. Для лучшего понимания причин возникновения энтропии и появляющегося в неравновесном стационарном состоянии в линейном режиме потока энтропии рассмотрим несколько простых примеров. [c.368]

Замечательным примером системы, линеаризация которой ограничивает возможности обнаружения ее важнейших колебательных свойств, могут служить обыкновенные часы с майтни-ком, приводимые в движение, например, падаюш им грузом. Линейная трактовка колебаний маятника предполагает, что отклонения маятника от вертикального положения равновесия весьма малы. Такие малые колебания маятник будет совершать, если ему сообщить достаточно малое начальное возмущение (отклонение). Но, как легко проверить, при малом начальном возмущении маятник, предоставленный затем самому себе, будет совершать затухающие колебания с быстро убывающими амплитудами, пока не остановится в вертикальном положении. Часы от такого малого начального возмущения не пойдут , так как источник пополнения расходуемой маятником энергии (падающий груз) при таких колебаниях не включается. Таким образом, линеаризация системы — часы с маятником — не дает возможности обнаружить в ней те свойства, которые являются наиболее характерными для часов как инструмента для измерения времени. Эти свойства проявляются только при достаточно большом начальном возмущении и при колебаниях с конечной амплитудой. Когда маятник получит возмущение, большее некоторого предела, в дальнейшем своем движении он ведет себя резко отлично от привычного в линейной теории поведения систем с сопротивлением. Амплитуды колебаний маятника начинают расти или убывать, приближаясь в том и другом случае к одному предельному стационарному значению, достигнув которого они дальше не изменяются, так что маятник совершает устойчивые изохронные колебания, обеспечивая тем самым более или менее точный отсчет времени. Открыть существование такого устойчивого периодического движения в системе с сопротивлением, оставаясь в пределах линейной теории, описать средствами последней свойства этого движения мы, конечно, не можем. Линейная трактовка задачи о колебаниях маятника часов связана с отказом от исследования наиболее важных с практической точки зрения колебательных свойств системы, наиболее характерных для ее назначения и использования. [c.470]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...