Метод медленно меняющихся параметров

S 41] МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ J99 [c.199]

Метод медленно меняющихся параметров [c.199]

Приведение уравнений движения к стандартной форме по методу медленно меняющихся параметров. Из уравнений [c.293]

Эту систему можно привести к стандартной форме метода медленно меняющихся параметров, принимая за независимую переменную угол ф и используя соотношение dtp =ёсИ [c.294]

Изложенный Б предыдущем параграфе метод поэтапного рассмотрения, как указывалось, не накладывает никаких ограничений на нелинейность исследуемой колебательной системы и пригоден для любых законов затухания. Однако этот метод обычно приводит к громоздким вычислениям или сложным графическим построениям, причем полученные результаты относятся только к одному виду движения при заданных начальных условиях и не позволяют наглядно представлять общие особенности движений системы при различных условиях и разных значениях ее параметров. Поэтому весьма важно рассмотреть те приближенные методы, которые хотя бы для ограниченного класса колебательных систем могли бы дать единое решение для любого момента колебательного процесса при произвольных начальных условиях. Такого рода приближенный метод был в свое время предложен Ван дер Полем и получил в дальнейшем название метода медленно меняющихся амплитуд. Он позволяет весьма успешно исследовать класс колебательных систем с малой нелинейностью и малым затуханием. Электрические контуры с ферромагнитным сердечником при малых потерях на гистерезис в области значений амплитуд магнитного поля, далеких от насыщения, контуры с нелинейными емкостями при аналогичных ограничениях, линейные контуры с постоянными Ь и С при малых затуханиях (независимо от их линейности или нелинейности), многочисленные механические аналоги указанных выше высокодобротных линейных и нелинейных систем составляют тот класс систем, в которых движения можно приближенно рассчитывать методом медленно меняющихся амплитуд. Условия малой нелинейности подобных систем [c.70]

Применение такого варианта метода медленно меняющихся амплитуд иногда упрощает нахождение стационарных решений, особенно в задачах, где отсутствует опорное колебание (вызванное, например, внешней силой, модуляцией параметра, синхронизирующим сигналом), фазовый сдвиг (фаза) которого относительно искомого колебания естественно вошел бы в решение. К подобным системам относятся, в частности, пассивные линейные и нелинейные колебательные системы, автоколебательные системы и др. Некоторое облегчение решения задач этот вариант метода ММА дает также в тех случаях, когда нелинейные характеристики каких-либо параметров колебательной системы аппроксимируются высокими степенями разложения в ряд. [c.75]

В зтом случае может быть построено и нестационарное решение, описывающее медленно затухающий солитон. Будем отыскивать решение в виде почти солитона (4,2) с медленно меняющимся параметром uq при тех же связях между А, Ь и Uo- Методы построения подобных реше-шй сейчас хорошо разработаны. Зависимость Uo(x) определяется из уравнения баланса энергии. Умножим исходное уравнение (4.5) на и и проинтегрируем по у на бесконечном интервале (фактически в области локализации солитона). Тогда, подставляя решение (4,2), получаем [c.163]

В этой главе будем рассматривать пространственное движение идеального тела вращения при спуске в атмосфере. Малая инерционно-массовая и аэродинамическая асимметрии отсутствуют, и на тело действуют только медленно меняющиеся во времени восстанавливающий момент, малые демпфирующие моменты, а также малые моменты иной природы, на которые можно наложить лишь одно ограничение независимость от углов собственного вращения и прецессии (например, малый момент, действующий относительно продольной оси симметрии). Скоростной напор, определяющий частотные характеристики движения, в процессе спуска изменяется на несколько порядков. На большей части траектории спускаемый аппарат совершает высокочастотные колебания, а система уравнений, описывающая его движение, представляет собой одночастотную систему с медленно меняющимися параметрами. Будем считать, что критерий применимости асимптотических методов выполняется на всей траектории спуска. [c.90]

Уравнение (8.3.4) является уравнением траекторий следа вектора кинетического момента на единичной сфере, имеющей центром центр масс спутника. Формула (8.3.4) учитывает одновременное влияние на траекторию аэродинамических моментов, гравитационных моментов и вековой уход (регрессию) узла орбиты. За время, равное периоду прецессионно-нутационного движения вектора кинетического момента, формула (8.3.4) достаточно точно описывает траекторию движения. На большем интервале времени движение постепенно искажается за счет влияния векового ухода (регрессии) перигея орбиты. Но это влияние можно учесть при помощи той же формулы (8.3.4), считая сол медленно меняющимся параметром. Такое рассмотрение является применением метода оскулирующих элементов к уравнению траекторий. При этом, согласно (8.3.3), в левую часть формулы (8.3.4) следует еще добавить член os р. [c.261]

Введение. Математические биллиарды — один из важных модельных объектов рассмотрения в теории динамических систем и ее приложениях [1-5]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами (см., например, [6]). В данной работе рассматривается динамика в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения могут быть применены методы теории возмущений. В этих системах имеют место резонансные явления захват в резонанс и рассеяние на резонансе. При исследовании этих явлений ниже используются методы, развитые в теории гладких гамильтоновых систем с быстрыми и медленными переменными [7]. Результаты настоящей работы свидетельствуют, что эти методы могут успешно применяться и для исследования систем с ударами, какими являются биллиарды. [c.171]

Книга содержит систематическое изложение теоретической механики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уделено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона — Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также законам механики сплошных сред, на единой основе которых рассматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге подробно излагаются-, задача двух тел и классическая теория рассеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и энергии относительно неинерциальных систем отсчета, теория линейных колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных систем, методы усреднения уравнений движения. Книга содержит большое количество примеров интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на движения зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, колебания систем с медленно меняющимися параметрами, примеры из магнитогидродинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физических специальностей. [c.2]

Рассмотрим квантовую систему, на которую действует возмущение, обусловленное медленным адиабатическим изменением некоторых параметров, от которых зависит состояние системы. В этом случае можно развить специальный приближенный метод расчета, называемый адиабатической теорией возмущений 12— 4]. Сущность адиабатической теории возмущений состоит в том, что в первом приближении медленно меняющиеся параметры считаются неизменными. [c.8]

Чтобы исследовать систему уравнений (9.2) при достаточно малых значениях параметра л, можно воспользоваться следуюш,им приближенным методом исследования нелинейных систем, который будем называть методом медленно меняющихся амплитуд или методом Ван-дер-Поля [186, 187, 190, 35, 36]. Именно, вместо уравнений (9.2) можно рассматривать другие, составленные по определенному рецепту, вспомогательные, так называемые укороченные уравнения Ван-дер-Поля, которые позволяют сравнительно просто получить приближенные решения исходных уравнений (тем более точные, чем меньше значение параметра л). В частности, задача отыскания периодических решений уравнений (9.2) (задача отыскания предельных циклов на фазовой плоскости лг, у) сводится к несравненно более простой задаче нахождения состояний равновесия укороченных уравнений. Следует отметить, что метод Ван-дер-Поля является адекватным методом исследования нелинейных систем, в том смысле, что этот метод учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты, так как укороченные уравнения, так же как и исходные уравнения, являются нелинейными. [c.653]

Метод малого параметра. Как и в методе медленно меняющихся амплитуд, нужно прежде всего выделить пз заданной функции Р[с(, д) линейную часть и представить основное дифференциальное уравнение в виде [c.218]

Некоторые результаты расчета коэффициента отражения по формуле (4.12) приведены в [84]. В работе [114] аналогичная задача решается на основе методов нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметра-- [c.107]

Рассматривая систему однородных уравнений, полученную из (5.143) при нулевых правых частях, и полагая параметры системы медленно меняющимися, запишем на основании метода условного осциллятора частное решение в виде [c.225]

Для решения нелинейных стохастических задач наибольшее распространение получили методы классической теории нелинейных колебаний в сочетании с осреднением по статистическому ансамблю. Этот принцип положен в основу методов статистической линеаризации, возмущений (малого параметра), медленно меняющихся амплитуд и др. [c.33]

В главе рассматривается метод идентификации вращательного движения тела и его параметров по результатам измерений. Метод основан на использовании в критерии оптимальности оценивания первых интегралов движения или медленно меняющихся функций, зависящих от компонентов вектора измерений. На внеатмосферном участке траектории спуска измеряемыми параметрами являются компоненты вектора угловой скорости, а на атмосферном участке — компоненты вектора угловой скорости и компоненты вектора перегрузки. На внеатмосферном участке предлагается восстанавливать компоненты тензора инерции, а на атмосферном — аэродинамические характеристики тела. Предлагаемый интегральный метод оценивания инвариантен к величине шага и требует малого объёма вычислений за счёт использования интегралов движения или усреднённых уравнений. Приводятся результаты сравнительного численного анализа интегрального метода и метода наименьших квадратов (МНК). [c.144]

В общем случае все параметры колебания (1) могут меняться одновременно под действием модулирующей ф-ции. Тогда модулированное колебание можно записать в виде х (1) = А (рг) ехр где А ( 11) = = А (рг) ехр [ ф (г)] представляет собой медленно меняющуюся комплексную амплитуду высокочастотного колебания несущей частоты со,, (см. Ко.ип.гексных амплитуд метод), отображающую изменения амплитуды — А (рг), частоты и фазы —ф (г), причем ф (г) = = Дш/ (рг) (11 + г )о + Ат] / (рО-Для исследования особенностей модулированных колебаний можно воспользоваться методом векторной [c.277]

Л/ — константы, описывает волну локально. По прямой аналогии с линейными волнами мы можем получить более общее решение, полагая с и Л, медленно меняющимися функциями X п t. Далее будет разработан метод определения зависимости этих параметров от х, 1. [c.116]

Для конечных расстояний точки наблюдения от источника у(5) (о /з и, следовательно, М со /З . При таких значениях М показатель экспоненты в формуле (5.23) пропорционален 1/3-4 , и поэтому при б <1/12 функцию Р(г) нельзя, вообще говоря, считать функцией, медленно меняющейся в обычном для метода перевала смысле. Оценим вклад производных функции Р г) в поправочное слагаемое метода перевала. Так как по существу в интегралах т большим параметром является произведение (т + 1)0, поправочное слагаемое метода перевала, обусловленное функцией будет пропорционально произведению [c.374]

Выше было указано, что величины Ха, Х 1 аналогичны адиабатическим инвариантам классической механики. Теперь можно исследовать это соответствие. Механическим аналогом служит теория медленных модуляций в колебательных системах. Единственной независимой переменной является время, так что в этом случае модуляции можно производить только налагаемыми извне изменениями какого-либо параметра Я ( 5). (В случае волн это соответствует вариации параметров среды.) Классическая теория обычно строится в гамильтоновом формализме, непосредственно к волнам неприменимом, но вместо этого мы можем вывести простейшие классические результаты развитыми выше методами. Для осциллятора с одной степенью свободы д ( 5) и одним медленно меняющим- [c.486]

Адиабатические инварианты. Проблема медленно меняющихся цугов волн аналогична проблеме медленно меняющихся колебаний в классической механике. Известная элементарная задача состоит в определении изменений амплитуды простого маятника, когда пружина медленно перемещается по подставке. Вообще же говоря, эта задача относится к поведению гамильтоновой системы, когда внешний параметр медленно меняется со временем. Теория основывается обычно на уравнениях Гамильтона, причем сушественно используются канонические преобразования. Соответствующие преобразования не существуют в случае большего числа независимых переменных [8], так что в задачах теории волн подобные методы построить нельзя. С дру- [c.22]

Использование метода вариации параметров позволяет избавиться от постоянного роста возмущающих ускорений по мере все большего отклонения спутника от опорной траектории, т. е. позволяет обойтись без периодической коррекции опорной орбиты. Это достигается тем, что сама опорная орбита принимается переменной , причем она изменяется таким образом, что положение и скорость спутника на опорной и действительной траекториях оказываются одинаковыми. Иными словами, эта переменная опорная орбита непрерывно оскулирует, и ее элементы, являющиеся постоянными величинами в задаче двух тел, становятся медленно меняющимися функциями времени. Характер изменения элементов (т. е. параметров орбиты) определяется непосредственно лишь действующими на спутник возмущениями. [c.79]

Для многих механизмов в рабочем режиме движения начальных звеньев могут быть близкими к стационарным, т. е. не зависящими от времени. Эти движения могут, в частности, рассматриваться как гармонические с медленно меняющимися параметрами (амплитудами, фазами и т. п.). Тогда для огыскач ния приближенных решений нелинейных уравнений движения И исследования их устойчивости применим метод медленно меняющихся параметров или метод Ван-дер-Поля, основанный па усреднении медленно меняющихся параметров за каждый цикл движения. [c.199]

Для измерения постоянных тт медленно меняющихся параметров преимущественно используют более простые методы - механические или оптические. Пневматические методы применяют как бесконтактные. Для измерения быстро-мепяющихся параметров, а также для автоматического контроля размеров преимущественно применяют электрические методы, достоинствами которых являются малая инерционность, малое влияние на объект измерения благодаря малым массам и размерам датчиков, дистанцион-ность, удобная регистрация результатов с [c.475]

Поскольку коэффициенты системы (32.8) зависят от продольной координаты, обычный метод нормальных возмущений, гармонически зависящих от 7, не может быть применен. Однако для устойчивости пограничного слоя характерно, что длины волн наиболее опасных возмущений имеют порядок толщины пограничного слоя, и, стало быть, малы по сравнению с характерным масштабом, на протяжении которого существенно меняются скорость и температура основного течения. Это дает основание применить процедуру замораживания — считать продольную координату 2, входящую в профили скорости и температуры основного течения, медленно меняющимся параметром. При таком подходе можно рассматривать ква-зинормальные возмущения в виде локально-плоских волн. Система (32.8) тогда приводит к амплитудной задаче, коэффициенты которой содержат медленную продольную координату 2 в качестве параметра. [c.220]

Уравнение (1.2. 1) относится, таким образом, к системам с медленно меняющимися параметрами. В общем случае даже при медленном изменении параметров эффекты, обусловленные их изменением, могут быть для некоторых систем значительны [51] (вследствие накопления малых поправок на очень боль-итом числе периодов колебаний). Учет указанных эффектов можно осуществить методом Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова. Подобный анализ применительно к задачам колебаний корпусов ракет приведен в работе [1], поправки, обусловленные медленным изменением коэффициентов, в этом случае, однако, оказываются несущественными. [c.18]

Для решения ур-нип (1) в статич. неоднородных иолях, в к-рых характерный масштаб неоднородности значительно превышает ларморовский радиус р< <Я/ у/Г , развит приближённый метод, основанный на разложении по малому параметру руЯ/Я. В это.ч случае ДЗЧ можно представить как вращение с медленно меняющимся радиусом i) = [v вокруг перемещающегося центра лар.моровской окружности (г) (г)—р(0, наз. ведущим цент-р о м. Такое приближение наз. дрейфовым, а ур-ние, описывающее плавное перемещение ведущего центра, имеет вид [c.56]

Моделирования композита эквивалентной однородной средой бывает недостаточно для исследования локальных пластических деформаций или разрушения, дисперсии волн и решения других задач, определяемых как раз неоднородностью свойств материала по координатам 29). Из асимптотических методов, используемых для решения задач такого типа, наибольшее распространение и обоснование получили метод гомогенизации 30) и метод Бахвалова —Победри [31, 32]. Главная идея метода гомогенизации состоит в использовании в качестве малого параметра характерного размера ячейки, при этом предполагается, что решение статической краевой задачи теории упругости представляет собой медленно меняющуюся функцию координат, на которую накладываются локальные периодические пульсации. Метод Бахвалова —Победри основан на разделении медленных и быстрых переменных в аналогичных задачах. [c.19]

Существенный прогресс в понимании эффекта медленного изменения параметров был достигнут на Сольвеевской конференции 1911 г. благодаря Эйнштейну, который указал на значение интеграла действия в физике. Он отметил, что адиабатическое постоянство действия, продемонстрированное впервые Лиувиллем и Грином за три четверти века до этого, прямо связано с физическим представлением о том, что число квантов в медленно меняющейся системе должно оставаться постоянным. Появившийся в результате метод Венцеля—Крамерса—Бриллюэна (метод ВКБ 1427, 235, 41 ] ) стал основой волновой механики, а также теории распространения волн в неоднородных средах. Соответствующую математическую теорию развили Боголюбов и Митропольский [331 и Крускал [239]. Сейчас она широко известна как метод усреднения ). [c.13]

Отраженное поле имеет интегралшое представление (12.14). При достаточно больших значениях кН, коэффициент отражения У(д) будет медленно меняющейся функцией по сравнению с экспонентой. Тогда для получения асимптотического разложения р по параметру кЯ, > 1 можно применить метод перевала. Предполагая, что коэффициент огражения в окрестности точки ветвления q = q не имеет других особенностей, аналогично изложенному в п. 14.1 вьшоду формулы (12,23) для боковой волны получаем [c.311]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...