Интегрирование уравнений свободных колебаний

Интегрирование уравнений свободных колебаний [c.550]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 553 [c.553]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 555 [c.555]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 557 [c.557]

Уравнение (11.2) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной то<иш. Для интегрирования этого однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение [c.28]

Задание Д.27. Интегрирование дифференциального уравнения свободных колебаний механической системы с помощью ЭВМ [c.352]

Численное интегрирование дифференциальных уравнений свободных колебаний. Дифференциальные уравнения колебаний совместных изгибно-крутильных колебаний консольного прямого крыла имеют вид [10] [c.481]

Первая лекция. Важность изучения колебательных движений при рассмотрении многих вопросов современной техники. Причины возникновения колебаний. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Типичные примеры колебания груза на пружине, крутильные колебания диска, колебания груза на конце консоли, малые колебания математического и физического маятника. Условия, при которых упомянутые системы можно рассматривать как системы с одной степенью свободы. Общность рассмотренных задач. Интегрирование дифференциального уравнения свободных колебаний. Параметрическая структура коэффициента жесткости. Возникновение нелинейных задач теории колебаний. [c.22]

Таково дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки. Обратимся к его интегрированию. [c.80]

Допустим, что частота свободных колебаний k не равна частоте возмущающей силы са со А. При этом условии проинтегрируем уравнение (IV.40). Как известно из теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения (IV.40) равно сумме общего решения однородного уравнения (IV. 13) и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения было найдено выше. Оно определяется формулой (IV. 14). Остается найти частное решение неоднородного уравнения. Простая форма правой части уравнения (IV.40) позволяет найти это решение при помощи метода неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение уравнения (IV.40) в такой форме [c.341]

Линейный контур с постоянным затуханием (линейный осциллятор с затуханием). Эта задача легко решается прямым интегрированием дифференциального уравнения (2.2.6), но для иллюстрации метода проделаем соответствующие расчеты для свободных колебаний методом медленно меняющихся амплитуд. [c.75]

При известных начальных условиях системы = u t = 0) и щ = ii t = 0), постоянные интегрирования А vi В находятся подстановкой начальных условий -значений и - в решение для перемещения (1.11) и для первой производной при г 0. После подстановки полученных значений Л и В в уравнение (1.11) получим функцию перемещений свободных колебаний системы [c.40]

Найденные здесь постоянные интегрирования позволяют переписать уравнение(16.18) свободных колебаний в виде [c.298]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

В результате возникает линейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными, к интегрированию которой сводится определение спектра свободных колебаний слоистой тонкостенной оболочки. Эта система включает в себя следующие группы зависимостей (считаем оболочку достаточно тонкой и пренебрегаем во всех уравнениях величинами порядка h/R по сравнению с 1) [c.244]

Итак, исследование свободных колебаний конической ортотропной слоистой композитной оболочки сведено к интегрированию линейной краевой задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение этой задачи получено по методу, разработанному в параграфе 7.3 при использовании ортонормированной координатной системы [c.252]

Даниил Бернулли первый вывел дифференциальное уравнение поперечных колебаний призматического бруса ) и пользовался им в изучении частных случаев колебаний. Интегрирование этого уравнения было выполнено Эйлером, и о нем речь будет дальше (см. стр. 49), но Даниил Бернулли провел серию контрольных опытов, о результате которых он сообщает Эйлеру нижеследующее Эти колебания возникают свободно, и я определил различные условия их и выполнил множество прекрасных экспериментов для установления узловых точек и высоты тона, прекрасно согласующихся с теорией ). Даниил Бернулли был, таким образом, не только математиком, но и экспериментатором. Некоторые из его экспериментов послужили Эйлеру поводом для постановки новых математических проблем. [c.40]

Мы будем рассматривать колебания в плоскости главной жесткости стержня. Начало координат поместим в центре тяжести левого концевого сечения стержня, ось х направим по оси стержня. Определение свободных колебаний стержня, как известно, сводится к интегрированию такого дифференциального уравнения [c.160]

Путем интегрирования этого уравнения Л. Эйлер вычислил частоты свободных колебаний стержней для различных случаев граничных условий. Работа в области науки о сопротивлении материалов, начатая Л. Эйлером, была продолжена его учениками, но ими не было получено ничего выдающегося, и вскоре интерес к этой науке в России исчез. [c.654]

Уравнения движения сферического маятника оказываются более сложными, чем уравнения движения свободной материальной точки, поскольку в эти уравнения входит сила реакции, являющаяся неизвестной функцией координат. Можно пытаться провести интегрирование уравнений методом последовательных приближений, предварительно исключив реакцию. Но и эта задача оказывается весьма сложной. Обычно при исследовании ограничиваются случаем малых колебаний (колебания с малой амплитудой), рассматривая движение приближенным методом. Отношения х// и у 1 рассматриваются как малые величины, квадратами которых в уравнениях движения можно пренебрегать. В таком случае [c.293]

Эта тема, обычно рассматриваемая как иллюстрация решения второй основной задачи динамики свободной материальной точки, здесь читается в конце курса из тех соображений, что к этому времени студенты уже знакомы с теорией интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих колебания точки с одной степенью свободы. [c.71]

Здесь 2(ии и 2(ши — составляющие ускорения силы Кориолиса соответственно по осям хжу, а в отличие ot уравнений (1) через со обозначена величина I2 sin 0, где Q — угловая скорость вращения Земли и 0 — средняя широта бассейна. Наконец, если принять глубину бассейна h постоянной и обозначить через а частоту колебаний уровня, которая предполагается заданной величиной при рассмотрении собственно приливов и величиной, подлежащей определению, при изучении свободных колебаний, то задача сводится к интегрированию одного уравнения в частных производных [c.81]

При краевых условиях, отличных от свободного опирания, а также для пластинок непрямоугольной формы точное определение частот свободных колебаний сопряжено со значительными трудностями, связанными с интегрированием уравнения четвертого порядка (8.15). Поэтому на практике широко используются приближенные методы определения частот колебаний основного тона, аналогичные методам, применяемым при изучении собственных колебаний балок. [c.337]

Исследование движения, описываемого этим уравнением, представляет большие практические трудности. В самом деле, наиболее естественный путь это интегрирование уравнения по отдельным этапам в зависимости от направления движения с припасовыванием решений в конце одного интервала и в начале следующего. Так мы поступали при исследовании свободных колебаний. Здесь дело осложняется наличием переменной внешней синусоидальной силы и возможностью вследствие этого остановок конечной продолжительности или пауз, в течение которых сила трения уже не постоянна. Правда, в это время движение отсутствует, но становится [c.176]

Точные решения. В отмеченных выше случаях исследование свободных колебаний сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (3.1). Выразив обобщенное ускорение через обобщенную ско- dq [c.58]

Пример 3.2. Пайти способом поэтапного интегрирования связь между амплитудой и частотой свободных колебаний системы с зазором (рис. 3.2, б). Симметричная кусочно-линейная характеристика системы определяется уравнениями [c.65]

Пример 4. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ ОТ ВНЕЗАПНО ПРИЛОЖЕННОЙ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ. Колебания, возникающие в стержне от силы Р, внезапно приложенной к свободному концу в начальный момент, можно формально отнести к категории вынужденных колебаний, так как расчет таких колебаний приводится к интегрированию уравнений с правой частью. [c.265]

Мы сейчас займемся методами интегрирования уравнений свободных колебаний. Здесь же мы докажем, что решения уравнений свободных коле-баннй, которые удовлетворяют данным начальным условиям д я смещ.ений и скоростей, являются однозначно определенными 1). [c.187]

Молчанов А.И. Асимптотическое интегрирование системы уравнений свободных колебаний некруговых оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны//Вестн. Ленингр. ун-та.— Сер. матем., механ., астрон. — 1987. — N2.— С. 106-107. [c.314]

Равновесие и движение бесконечно тонкой, первоначально плоской, изотропной пластинки. Расширение малой части пластинки. Потенциал сил, производимых расширением. Бесконечно малая деформация. Равновесие при предельных пере-меьцениях. Дифференциальные уравнения поперечных колебаний свободной пластинки. Интегрирование последних для круглой пластинки. Поперечные колебания напряженной мембраны) [c.371]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Первые исследования вибраций корабля были проведены, вероятно, О. Шликом ), сконструировавшим специальный прибор для их записи ) и определившим экспериментально частоты для различных форм таких вибраций. А. Н. Крылов в своем курсе дает теоретический анализ свободных колебаний корабля. Корабль рассматривается им как балка переменного поперечного сечения он пользуется в расчете приближенным методом Адамса ) для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Около того же времени Крылов заинтересовался колебаниями мостов и опубликовал упомянутую раньше (см. стр. 502) статью о вынужденных колебаниях балок, возбуждаемых подвижными нагрузками. Использованный в этой статье метод был применен впоследствии в анализе продольных колебаний цилиндров и в измерении давления газа в орудиях ). [c.523]

Задачи о нелинейных собственных колебаниях трехслойных пластин рассматриваются в работг1х [375, 376, 477]. Так авторами статьи [129] рассматривается прямоугольная трехслойная пластина. Уравнения движения получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Используется гипотеза ломаной нормали. Для несущих слоев принимается гипотеза Кирхгофа, а заполнитель считается трехмерным телом, работающим на поперечный сдвиг. При этом исходная нормаль в заполнителе поворачивается на некоторый угол. Используется кармановская модель геометрической нелинейности. Для свободно-опертой прямоугольной пластины применяются двойные ряды Фурье. Интегрирование по времени производится методом Рунге-Кутта. Автором статьи [427] был рассмотрен вопрос о применимости гибридного метода Галеркина к нелинейным свободным колебаниям слоистых тонких пластин. [c.20]

Свободным колебаниям шарнирно опертых прямоугольных пластинок с прямолинейным сквозным отверстием посвящены две публикации [46, 47]. Для пластинки, имеющей один вырез, моделирующий трещину и идущий параллельно одной из кромок, автор этих работ теоретически проанализировал свободные колебания и концентрации динамических напряже- ний у конца выреза. Пластинка при исследовании делилась по направлению выреза на две части, и в плоскости выреза, исключая сам вырез, выражались внутренние моменты и сдвигающая сил . Каждую часть пластинки можно было при дальнейшем ра9Смотрении считать прямоугольной шарнирно опертой по трем кромкам и загруженной по четвертой кромке на участках вне выреза неизвестными моментами и сдвигающей силой как линейной нагрузкой. После определения функции влияния для прогибов, удовлетворяющей граничным условиям, и интегрирования по участкам вне выреза произведения этой функции влияния и линейной нагрузки находились прогибы. Налагая некоторые условия при связывании для участков вне выреза на прогибы и углы прогибов соответствующих пластинок, автор получил интегральные уравнения Фредголь-ма первого рода относительно внутреннего момента и внутренней сдвигающей силы. Заменяя далее интегральные уравнения конечными суммами, он получил частотное уравнение. В качестве собственных векторов находились распределения внутреннего момента и внутренней сдирающей силы. Определение собственных значений проводилось путем решения трансцендентного уравнения итерационным методом. [c.295]

Рассмотрены процессы колебаний ротора сепаратора с лопаточно-дисковым разбрасывающим устройством. Получено дифференциальное уравнение свободных изгибных колебаний системы ротора. Выполнено численное интегрирование уравнений с решением числового примера расчета частот для конструкции ротора циклонного сепаратора завода Волгоцеммаш при диаметре диска РУ 3,5 м. Теоретические расчеты частот проверены опытно. Библ. 1 назв. Илл. 1. [c.527]

Первое слагаемое этого уравнения дает свободные колебания, второе слагаемое—вынужденные. Входящие в это уравнение величины А vi В являются амплитудами свободных и вынужденных колебаний р — постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий е — сдвиг фазы - — основание Неперовых логарифмов. [c.112]

Это выражение содержит две постоянные интегрирования и пред-ставляег общее решение уравнения (2Я). Как видно, это рещение состоит из двух частей первые два члена представляют свободные колебания ), которые были рассмотрены ранее, а третий член, зависящий от возмущающей силы, 1тредставляет вынужденные, колебания системы. Эти последние колебания имеют тот же период — [c.46]

Пример 4. КОЛЕБАНИЯ НИТИ С БУСИНКАМИ. Как отмечают в своей книге Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [14, с. 142—143], этой задаче принадлежит совершенно особая роль в истории механики и математики. Пожалуй, она была первой задачей на исследование малых колебаний системы с п степенями свободы. В связи с ней Ж. Даламбер предложил свой метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отправляясь от нее, Даниил Бернулли высказал свое знаменитое предположение, что решение задачи о свободном колебании струны можно представить в виде тригонометрического ряда, что вызвало между Л. Эйлером, Ж. Даламбером, Д. Бернулли и др. дискуссию о природе тригонометрических рядов, затянувшуюся на несколько десятилетий. Впоследствии Ж. Л 1гранж показал более строго, как можно предельным переходом из решения задачи о колебаниях нити с бусинками получить решение задачи о колебании струны. Наконец, этой задачей (и аналогичной задачей из теории теплопроводности) руководствовался III. Штурм в своих замечательных исследованиях по высшей алгебре и теории дифференциальных уравнений . [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...