Дифференциальные с разделенными переменным

С. В. Ковалевская ввела новые переменные 1 и 52, посредством которых определила все шесть неизвестных функций (0 , уь Уз- В соответствии с теорией Якоби было найдено, что связь между 5) и 2 определяется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными [c.454]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

Таким образом, данная задача разрешена, ибо она сводится лишь к интегрированию двух уравнений с разделенными переменными между Ф и г шестью произвольными постоянными, необходимыми для полного интегрирования трех дифференциальных уравнений в переменных г, - и ф, будут i, h, D, Н я две постоянные, которые появятся в выражениях i и Ф в результате интегрирования. [c.18]

Если производную у рассматривать как вспомогательную неизвестную, то равенство (53) будет дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, которое интегрируется непосредственно и дает [c.210]

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с разделенными переменными, получаем [c.128]

Таким образом, уравнения (3.4) являются уравнениями с разделенными переменными. Это обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций Хт. Полное решение (3.2) находим с помощью формулы (3.3). [c.48]

Откуда получаем следующее дифференциальное уравнение с разделенными переменными [c.392]

Закон дисперсии линейных волн в жидкости конечной глубины Н исследовался с помогцью линеаризации модели и нахождения точного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений но аналогии с разделением переменных в соответствуюгцей классической задаче. Пз полученных зависимостей следует, что модель хорошо описывает дисперсию воли с длиной А Н — глубина жидкости) на сетке с шагами [c.11]

Так как угол Маха зависит только от величины скорости, то (2.8) является дифференциальным уравнением с разделенными переменными. [c.308]

Практическое значение теоремы об изменении импульса материальной точки при решении задач невелико, так как дифференциальная форма ее предоставляет основное уравнение динамики с разделенными переменными, и по сравнению с (6.1) она существенно новых соотношений не дает. Главная область применения теоремы в механике — это изучение мгновенных или ударных сил. Так называются силы, продолжительность действия которых весьма мала, и закон изменения их со временем практически остается неизвестным. Такие силы будут характеризоваться вектором импульса силы (9.3). [c.111]

Заменим в формуле (XI.52) переменную величину знаменателя г постоянной Го, т. е. предположим, что за время t размеры газовой залежи не изменились. Как следует из формулы (XI.52), давление р, вычисленное в результате такой замены, будет заниженным. Подставив теперь заниженное значение р в уравнение (XI.50), получим вместо уравнения (XI.53) следующее дифференциальное уравнение с разделенными переменными [c.262]

Метод разделения переменных, сводящий решение уравнения в частных производных к решению нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, при определенных условиях может быть применен и для решения краевых задач. Попытаемся решить задачу о стационарном распределении температуры в круглой пластинке радиуса а с различными краевыми условиями на границе 5 пластинки. [c.170]

Сформулированную задачу решим с помощью разделения переменных, т. е. т) =<р(т)г з(л). Подставляя это выражение в уравнение (3-43), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида [c.88]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

Поскольку функции HiH зависят не только от времени, но и от til, т]2, Tji, Г]2, то в результате перехода к квазинормальным координатам, разумеется, не произошло полного разделения переменных в дифференциальных уравнениях (5.56), однако появилась возможность для построения эффективного приближенного решения, которое может быть получено, если сохранить в функции Qi члены, зависящие от и t]i, а в функции Qa — члены, зависящие от т)з, т)2. Как показывает анализ, использование этого приема позволяет получить результаты, которые с учетом степени достоверности исходной информации о данной системе обычно не нуждаются в дополнительных уточнениях. Это обстоятельство связано не только с малостью отброшенных членов, но и с фильтрующими свойствами системы. [c.184]

Решение задачи можно получить и в другом виде, если разделение переменных в исходном дифференциальном уравнении произвести с помощью подстановки [c.130]

До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7]. Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами. Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов. [c.79]

Уравнения (3.32) выражаем через продольное и поперечное перемещения оси стержня как и в п.2.5.1. Далее используем метод Фурье разделения переменных. Система дифференциальных уравнений колебаний кругового стержня в своей плоскости с учетом инерции вращения в амплитудном состоянии примет вид [c.177]

При составлении соответствующего дифференциального уравнения учитываются силы инерции распределенной массы и добавка изгибающего момента от продольной силы. Применив метод Фурье разделения переменных, дифференциальное уравнение поперечных колебаний призматического стержня с учетом продольной сжимающей силы в амплитудном состоянии примет вид (х) + Fv"(x) - o mv x) = qy (х) [c.198]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Дифференциальное уравнение движения лопасти в частных производных решается методом разделения переменных, приводящим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (аргумент — время) для ряда степеней свободы, подобных уравнению махового движения жесткой лопасти. Таким образом, отклонение z r,t) элемента лопасти от плоскости вращения может быть представлено в виде разложения деформации изгиба по собственным формам. Каждое уравнение движения соответствует своему тону собственных колебаний. Сначала необходимо найти подходящие собственные формы для вращающихся лопастей. Когда формы выбраны таким образом, что реакция лопасти на возмущение хорошо описывается несколькими первыми тонами, задачи динамики несущего винта могут быть решены с использованием минимального количества степеней свободы. - [c.357]

Из-за различия ядер релаксации материалов слоев структура функциональной матрицы Г( ) такова, что разделение переменных в общем случае невозможно. В связи с этим для решения системы (9.16) воспользуемся одношаговым численным методом [102]. В указанной работе рассмотрена задача Коши для системы п линейных интегро-дифференциальных уравнений следующего вида [c.499]

Уравнения (4.12) и (4.21) полностью описывают траекторию частицы с зарядом Q и массой покоя то, движущейся с произвольной скоростью в аксиально-симметричных электрическом и магнитном полях. Поскольку уравнение (4.21) содержит только функции координат гиг, оно не зависит от координаты а и описывает проекцию траектории на плоскость rz. Если эта проекция найдена, можно подставить функцию г (г) в (4.12) и найти зависимость а г). Такое разделение переменных дифференциального уравнения является следствием аксиальной симметрии. Если бы ее не было, уравнения (2.84) и (2.85) остались бы связанными и очень сложными. [c.184]

С математической стороны расчет оболочек сводится к решению системы уравнений в частных производных восьмого порядка с переменными коэффициентами и малыми множителями при старших производных. Граничные условия (условия периодичности, конечности решения) содержат производные от искомых функций до третьего порядка включительно. В ряде случаев при помощи метода разделения переменных задачу удается свести к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений того же типа. [c.652]

Разрешающие уравнения (10.26), (10.28) или (10.35), (10.36) имеют второй порядок и содержат по две неизвестные функции. Разделением переменных они могут быть приведены к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка с одной неизвестной функцией. Решение этих уравнений содержит четыре постоян- [c.403]

Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с переменными х I, которое интегрируется разделением переменных. [c.429]

Упрощение задачи, возникающее при переходе от дифференциального уравнения (2.1) к уравнению (2.15), похоже на разделение переменных в линейном случае. Вместо уравнения для вектор-функции со значениями в пространстве V, мы пришли к уравнению в самом пространстве V. Получилась своего рода задача на собственные значения, в которой роль параметра играет элемент а алгебры Ли группы симметрии С. [c.249]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Исторически одним из первых методов, нашедших ншрокое применение при решении краевых задач для уравнений с частными производными, явился метод разделения переменных или, как его еще называют, метод Фурье, заключающийся в построении набора частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных (как правило, функций одного переменного). В ряде случаев оказывается, что такое представление не вступает в противоречие с исходным дифференциальным уравнением (тогда говорят, что уравнение допускает разделение переменных) и приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим один и тот же числовой параметр. В зависимости от характера области, в которой решается краевая задача, граничных и начальных [c.117]

При полностью открытом проходном сечении тормозного устройства (В = 0) и силе сопротивления, зависящей только от скорости (в любой степени), уравнение движения (13.18) есть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно скорости поршня V с разделяюш,имися переменными. После разделения переменных получим [c.266]

Метод разделения переменных при интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в более общем виде, чем это указано в тексте, разработан Имшенецким В. Г. и изложен в его сочинении Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядков", Москва, 19J6. Впервые напечатано в 1865 г. в. Ученых записках Казанского университета". [c.346]

В данной главе рассматриваются свободные и вынужденные установившиеся гармонические колебания стержневых систем. Как и в статике, точные дифференциальные уравнения гармонических колебаний стержней являются нелинейными. Упрощая задачи динамики, нелинейные уравнения линеаризуют. Точность решений линейных уравнений удовлетворяют требованиям инженерных расчетов при //г > 10, поэтому они используются в инженерной практике. Линейные дифференциальные уравнения содержат частные производные по координате хи времени t. Методом Фурье разделения переменных уравнения с частными производными сводятся к уравнениям с обычными производными, описывающими перемещения стержня в амплитудном состоянии. Принцип Д Аламбера, используемый при выводе дифференциальных уравнений, позволяет рассматривать задачи динамики как задачи статики. Поэтому ниже применены предпоженные правила знаков для граничных параметров и нагрузки в п. 1.2, 1.4. [c.124]

Решение в экспоненциальных функциях. Как уже говорилось выше, решения могут быть получены путем разделения переменных и последующего построения аналитического решения. Так, можно взять функццю р как произведение неизвестной функции QT Z на экспоненциальную функцию от х или на функцию, которая может быть представлена с помощью эксцоненци-альной функции, такую, как тригонометрическая или гиперболическая функции,, так как производные от всех этих функций имеют ту же общую форму, что и исходная ( кция. Неизвестная функция от Z-Может быть, затем найдена путем решения обыкновенного дифференциального уравнения, jtoTopoe получается после сокращения на функцию от х. [c.154]

Функции Рк. х) и Qk x t) будем считать базисными (они заданы), а с помощью коэффициентов ak t) bk t)) можно удовлетворить уравнению (например, вида (2)) и дополнительным начальным или краевым условиям. Вид ряда (4) является стандарт ным при применении метода разделения переменных для линейных уравнений. Однако для нелинейных задач процедура получения коэффициентов ak t) существенно услож няется. Как правило, системы обыкновенных дифференциальных уравнений для ak t) оказываются зацепленными и нелинейными (например, когда Рк х) = sin А ж(со8 А ж) и (4) является рядом Фурье), рекуррентное точное определение ak t) становится невоз можным и необходимо соответствующие системы обыкновенных уравнений каким-то образом обрезать. Нахождение коэффициентов ak t) даже после обрезания нелинейной системы является достаточно трудоемкой операцией, особенно если требуется опреде лить много коэффициентов. [c.19]

При исследовании пространственных течений постоянно приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит воз.чожность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий и многое другое. В плоском движении роль фиволинейных координат, как это было показано в 40 гл. V, играет метод функций комплексного переменного и конформных отображений переход от физической плоскости г — х- -1у к вспомогательной плоскости С = был эквивалентен пользованию криволинейными координатами , 17 вместо прямолинейных х, у. [c.387]

Для решения задачи о дифракции для тел нескольких простых форм применйм простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных. Суш,но-сть метода состоит в том, что решение иш.ется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла (для акустики волновое уравнение) распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. Для двумерных задач метод применйм к клину и цилиндрам, ограниченным кривыми второго порядка. В трехмерных задачах тела могут быть ограничены любыми поверхностями второго порядка мы рассмотрим только задачу о сфере. [c.42]

Ui = onst, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных можпо использовать классический способ разделения переменных. Таким ь1етодом фактически и воспользовался Мн для решения упоминавшейся выше задачи о сфере, обладающей конечной проводимостью. В этом случае решение краевой задачи имеет вид бесконечного ряда и его ценность зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся в различных случаях (помимо задачи со сферой) особенно надо отметить его использование в случае дифракции на круглом диске или отверстии [5]. Следует, однако, замерить, что ли1иь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принадлежат в основно.м к этому типу, но в других случаях векторная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям. [c.514]

По-видимому, бросается в г.таза отсутствие дифференциального уравнения Гамильтона —Якоби с частными производными в его обычной форме, имеющей особое значение для решения проблем, которые допускают разделение переменных. Мы предпочитаем подчеркнуть преимущества более общей формы этого уравнения, предложенной Цейпелем, которая была специально задумана, чтобы служить фундаментом мощного метода теории возмущений. Этот метод содержит метод Делонэ как частный случай. Лица, интересующиеся другими аспектами этого вопроса, найдут многочисленные дополнительные сведения в Аналитической динамике Уиттекера и других руководствах. [c.8]

Кроме того, при определении главных напряжений нормальное напряжение Ог полагается равным нулю. Дифференциальные уравнения и граничные условия получены из вариационного принципа Лагранжа. Для решения задачи на собственные значения применяется метод разделения переменных в сочетании с методом кусочных полиномов, согласно которому искомые функции для произвольного малого интервала вдоль меридиана аппроксимируются полиномами третьей степени с непрерывными функциями и их первыми производными в концах этого интервала. В конечном итоге авторы получают систему 14(Л -М) однородных алгебраических уравнений относительно 14(Л -Ы) неизвестных, где N — число интервалов деления меридиана. Равенство нулю определителя этой системы дает условия для определения собственных частот, а затем и форм колебаний. Описанная вььше методика была применена к исследованию неосесимметричных (т=1 и м = = 2,3,4 п и т — число окружных и продольных полуволн) по- [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...