ТЕОРИЯ Средние значения

На этом мы заканчиваем главу, посвященную квантовомеханическому рассмотрению нелинейных восприимчивостей. В ней было показано, как с помощью метода матрицы плотности и полуклассического приближения можно рассчитать средние значения фурье-компо-нент поляризации в виде ряда по возрастающим степеням амплитуд приложенных полей. Феноменологические релаксационные члены были выражены через случайные возмущения, включая затухание за счет спонтанного излучения. При дальнейшем развитии теории, средние значения нелинейной поляризации, определяемые заданными полями, должны в свою очередь рассматриваться как дополнительные источники этих полей. Этот следующий шаг -будет сделан в гл. 3. Поскольку фурье-компоненты были рассчитаны с помощью полуклассического метода, поля со случайными фазами, обусловленные спонтанным излучением, должны добавляться к классическим полям. [c.108]

Отметим, что здесь, как и в 1, п. е), возникает необходимость в доопределении фигурирующих в теории средних значений. Действительно, так как гамильтониан Гейзенберга при Я = О инвариантен по отношению к поворотам системы, т. е. в системе Ж = - /2)Y,iij распределения Гиббса по всем микросостояниям системы, мы усредним и по углам тоже и поэтому всегда при любых значениях в получим, что намагничение М = = 0. Однако, если снять указанное вырождение введя хотя бы затравочное внешнее поле иН = (О, О, иН), то спонтанная намагниченность установится вдоль заранее выбранной оси г и при температуре ниже точки Кюри сохранится после выключения иН -+ 0. Таким образом, те средние, которыми мы будем пользоваться при рассмотрении указанных выше моделей, — это квазисредние по Боголюбову. [c.335]

Отметим, что здесь, как и в 1, п. е), возникает необходимость в доопределении фигурирующих в теории средних значений. Действительно, так как гамильтониан Гейзенберга при Я=0 инвариантен по отнощению к поворотам системы, т. е. в системе [c.670]

Однако для обычных систем, состоящих из большого числа частиц, наиболее вероятное направление процесса практически совпадает с абсолютно неизбежным. Поясним это на следующем примере. Пусть имеется равновесный газ. Выделим в нем определенный объем и посмотрим, возможно ли в этом объеме самопроизвольное увеличение давления. Из-за теплового движения чис ]о молекул в объеме непрерывно флуктуирует около среднего значения JV. Одновременно флуктуируют и температура, и давление, и внутренняя энергия, и т, д. Теория показывает, что относительная величина этих флуктуаций обратно пропорциональна корню квадратному из числа молекул в выделенном объеме, поэтому Др/р=1/ //У, [c.28]

Сборка методом неполной (частичной) взаимозаменяемости заключается в том, что допуски на размеры деталей, составляющие размерную цепь, преднамеренно расширяют для удешевления производства. В основе метода лежит положение теории вероятностей, согласно которому крайние значения погрешностей составляющих звеньев размерной цепи встречаются значительно реже, чем некоторые средние значения. Предполагая, что действительные отклонения размеров составляющих звеньев будут случайными и взаимно независимыми, расчет допуска на размер замыкающего звена ведут согласно правилу квадратичного суммирования по формуле [c.188]

В отличие от ранее рассмотренных теорем и законов механики в этом параграфе мы введем характеристику движения, имеющую статистический характер и связанную с осреднением механических величин во времени. Пусть / -скалярная функция времени или механических величин, которые в свою очередь зависят от времени, и пусть Ft- — среднее значение F за время т, т. е. по определению [c.79]

Используя теорему о среднем значении, получим [c.459]

В среднем (во времени) заряд элементарной частицы распределен по всей частице. Во всяком деликатном опыте, который сам по себе не разрывает частицу, измеримыми являются только средние значения величины, поскольку измерения не могут быть мгновенными. (Здесь опять именно квантовая механика ограничивает нащи возможности описания строения элементарной частицы.) Экспериментальные данные по распределению заряда для протона, нейтрона и электрона доставляют веское доказательство точечного характера заряда электрона, по крайней мере с точностью до 10- см, тогда как протон и нейтрон проявляют себя как более сложные структуры с зарядом, распределенным внутри сферы радиусом около 10 з см. У лептонов магнитный момент (определение которого будет дано в т. И) возрастает обратно пропорционально массе, за исключением v- и v-частиц, у которых нет измеримых собственных магнитных моментов. В принципе можно измерять не только напряженность магнитного поля, но и получать точное распределение образующих это поле токов. Одним из крупнейших достижений релятивистской квантовой теории является успешное предсказание величины напряженности (впоследствии измеренной) собственного магнитного поля электрона—предсказание, сделанное с точностью до 0,001%, т. е. с ошибкой, меньшей погрешности современных измерений. [c.439]

Для сведения к минимуму как времени исследования, так и размера модели эксперименты проводились в пористых средах с большой проницаемостью, средние значения которой составляли 310, 94 и 13 дарси. Более правильно было бы для достижения указанной цели применить математическую теорию эксперимента, в частности планирование. Принятые геометрические размеры модели пласта (длина 120 см и диаметр 4,97 см) в условиях эксперимента обеспечивали полное смешение любых заданных объемов смешивающихся оторочек, изменявшихся от 5 до 40% от объема пор, с вытесняемой жидкостью в пределах длины пути фильтрации. [c.24]

Если к двум противоположным концам металла приложить разность потенциалов, создающую в каждой точке металла электрическое поле напряженности , то мел<ду двумя столкновениями электрон под действием силы Г=еЕ е — заряд электрона) будет двигаться равномерно ускоренно. К концу промежутка времени т слагающая скорости в направлении вектора Е изменится на (еЕ/т)т. Так как в теории Друде предполагается, что после столкновения скорость электрона может иметь любые направления, то вклад от у в среднюю скорость электронов равен нулю, а средняя скорость электронов в направлении поля Е равна среднему значению величины (еЕ/т)т, т. е. [c.193]

Рассмотрим газ, состоящий из одинаковых атомов. Согласно теории Бора каждый из атомов может находиться в определенном стационарном состоянии 1, 2, 3,. .. и характеризоваться своим значением энергии Е], 2, 3,. ... Среднее значение атомов, находящихся в состоянии 1 и обладающих энергией ,, называется заселенностью уровня I. Заселенность уровня зависит от внешних условий. Если, например, газ находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т, то заселенность определяется распределением Больцмана [c.142]

Ясно, что лучше всего было бы определить точную волновую функцию электронов, движущихся в металле с беспорядочно распределенными примесными центрами, и вычислить среднее значение -Ь (г )ф(г) по поверхности постоянной энергии. Однако решение такой задачи сопряжено с непреодолимыми трудностями. Можно ожидать, что когерентность волновой функции возбужденного состояния (для основного состояния это не обязательно так) будет нарушаться на расстоянии порядка средней длины свободного пробега. Поэтому введение предложенного Пиппардом множителя является разумным. Необходимость такого множителя вытекает из следующих рассуждений. Предположим, что центры рассеяния беспорядочно распределены в перпендикулярном к оси х слов шириной w и что вне этого слоя примеси отсутствуют, как это показано на фиг. 9. Тогда решения уравнения Шредингера вне слоя имеют вид плоских волн. Если предположить, что рассеяние некогерентно, то можно с помощью общей теории рассеяния точно вычислить (ф (г ) ф (г)) при условии, что гиг лежат вне слоя. [c.717]

В используемом здесь приближении зависящая только от объема часть энергии включает в себя энергию свободного электронного газа, состоящую из вкладов кинетической, обменной и корреляционной энергий (3.52), (3.53), (3.54), а также первого порядка теории возмущений (5.47). Однако поскольку плотность электронов вблизи иона будет искажена эффектом экранирования, необходимо в качестве среднего значения (5.47) использовать сумму средней величины потенциальной энергии электрона в поле иона и экранирующих электронов. Выше говорилось, чта псевдопотенциал вне остовной части равен —Ze /r. Поскольку экранирующие электроны полностью его экранируют, то это означает, что вне остовной части их потенциальная энергия соответственно равна 2е2/л, и в этой области оба обсуждаемых вклада компенсируют друг друга. Поэтому потенциальную энергию необходимо усреднить только по объему остова. [c.120]

Вычисление средних значений динамических переменных. В теории вероятностей среднее значение величины (А), принимающей значения Х (п = 1, 2,. ..) с вероятностями а , вычисляется по формуле [c.110]

Приближение среднего поля описывает поведение системы тем хуже, чем сильнее флуктуации, так как в теории среднего поля коррелированные флуктуации параметра порядка не учитываются. Соответственно этому набор критических показателей, вообще неодинаков для различных фазовых переходов. Поэтому универсальность фазовых переходов второго рода надо понимать в том смысле, что для группы определенных фазовых переходов критические показатели одни и те же, причем таких групп может быть несколько. В тех случаях, когда в силу внутренних особенностей системы флуктуации в ней оказываются слабыми, справедлива теория Ландау, и критические показатели будут иметь значения, вытекающие из этой теории. Последнее справедливо очевидно для сверхпроводящих переходов и для фазовых переходов в некоторых сегнетоэлектриках. [c.254]

Случайная погрешность измерения — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Влияние случайной погрешности можно уменьшить путем многократных измерений, выбирая в качестве окончательного результата измерения среднее значение. Для обработки результатов измерений, содержащих случайные погрешности, используется математический аппарат теории вероятностей. [c.68]

Метод неполной взаимозаменяемости. Этот метод основан на известном положении теории вероятностей, по которому возможность сочетания при сборке деталей с крайними значениями отклонений для всех составляющих звеньев встречается несравненно реже, чем со средними значениями отклонений, [c.145]

Одной из причин получения меньшей Я , чем это следует из теории для частиц, высококоэрцитивное состояние которых определяется анизотропией ( юрмы, является то, что степень вытянутости разных частиц различна (рис. 145). Поэтому Не пропорциональна среднему значению степени вытянутости. С учетом гауссовского распределения частиц по размерам получается коэффициент 0,48. Изменение размера частиц снижает Я смеси частиц до относительно низких значений (рис. 146). Кроме этого, размеры некоторых частиц могут превышать критический, что также должно уменьшать коэрцитивную силу. Следовательно, расхождение между теоретическими значениями коэрцитивной силы и экспериментальными [c.205]

Из кинетической теории газов известно, что при тепловом равновесии двух тел средние значения кинетической энергии поступательного движения молекул этих тел одинаковы. Таким образом, молекулярно-кинетическая теория устанавливает прямую связь между энергией поступательного. движения молекул и термодинамической температурой Т [c.17]

Это выражение для эффекта дисперсного упрочнения, полученное в работе [170], имеет по сравнению со всеми предыдущими теориями два очевидных преимущества оно учитывает размер частиц в сплаве и тип кристаллической решетки материала матрицы (через фактор ориентировки т). Для ОЦК-металлов, в которых среднее значение фактора ориентировки [26] составляет т = 2, выражение (2.81) еще более упрощается [c.81]

Одно из наиболее ранних применений такой методологии было осуществлено Доу и Розеном [8], которые считали материал матрицы упруго-идеально-пластическим, а волокна упругими. Более совершенная схема позже была опубликована Шу и Розеном [35], хотя они предпочли использовать предположение об абсолютной жесткости волокон, а не об их упругости. Так как принимаемые граничные условия определяются средними значениями в большей мере, чем локальными, такие исследования обычно используются для грубой оценки свойств композита в целом, но не для оценки локальных значений напряжений и деформаций. В этом случае соответствующие теории нельзя применить к микромеханическому анализу, поскольку они не описывают локального поведения. [c.211]

Рассмотренная дилатация характеризует поведение кристалла в области линейной упругости, и ее среднее значение по кристаллу равно нулю. Однако, строго говоря, вблизи дислокации законы линейной упругости неприменимы, и поэтому была развита нелинейная теория дислокаций [7]. С точки зрения этой теории расширение решетки нелинейно й может быть описано формулой [c.96]

Это соображение, конечно, значительно меняет картину, но вместе с тем немедленно создает ряд новых трудностей. Первая из них состоит в том, что временные средние данной фазовой функции, взятые вдоль данной определенной траектории, могут быть весьма различными для различных промежутков времени. Эта трудность в значительной степени смягчается теоремой Биркхоффа, показывающей, что для почти всех траекторий временные средние данной фазовой функции, стремясь к определенному пределу при безграничном увеличении взятого промежутка времени, будут иметь приблизительно одинаковые значения для всех достаточно больших промежутков. В качестве даваемого теорией среднего значения нам естественно поэтому выбрать именно вышеупомянутый предел. [c.33]

Влияние случайных погрешностей на точность изделий можно оценить методами теории вероятностей и математической статистики. Многочисленными опытами доказано, что распределение случайных гюгрешпостей чаще всего приближается к закону нормального распределения, который характеризуется кривой Гаусса (рис. 3.2, а). Максимальная ордината кривой соответствует среднему значению данного размера х ((при неограниченном числе измерений называется математическим ожиданием и обозначается Л4 (х)1. По оси абсцисс откладывают случайные погрешности или отклонения от х Длгг = — х. [c.32]

Согласно теории Фурье, нулевой член разложения в общем случае является средним значением функции / (ф) за период Т — 2п, определяемым расстоянием от базоного уровня отсчета текущего размера до средней линии геометрических отклонений профиля (до среднего цилиндра) [c.173]

Турбулентное движение жидкости ири достаточно больш их зиачепнях числа Рейнольдса характерно чрезвычайно нерегулярным, беспорядочн1,1м изменением скорости со временем в каждой точке потока развитая турбулентность -, скорость псе В1 емя пульсирует около некоторого своего среднего значения. Такое же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке потока, рассматриваемого в заданный момент времени. В настоящее время полной количественной теории развитой турбулентности еще не существует. Известен, однако, ряд важных качественных результатов, изложению которых и посвящен настоящий параграф. [c.184]

Эксперименты Перрена были весьма трудоемкими и требовали большой тщательности. В микроскоп можно было четко наблюдать уменьшение числа взвешенных частиц с высотой (рис. 13). Фокусируя микроскоп на отдельные слои взвеси, можно было сфотографировать, а затем подсчитать число частиц в каждом слое. Для пяти слоев, отстоящих друг от друга на 5, 35, 65 и 95 мкм, подсчет дал следующие цифры 100, 47, 22, 6 и 12. Теоретически предсказанные значения были 100,46, 23, И и 1 [50]. В нижних слоях взвеси, где число броуновских частиц велико, совпадение теории с экспериментом было полным. Расхождение в числах для верхних слоев объясняется тем, что по законам теории вероятностей именно в области малых чисел отклонения числа частиц от средних значений (флуктуации) в соответствии со статистикой могут быть значительными. Перрен пишет, что он испытал сильное волнение, когда после первых попыток... получил те же числа, к которым кинетическая теория приходила совершенно другим путем. Теперь становится весьма трудшлм отрицать объективную реальность молекул. Атомная теория торжествует . [c.90]

Теоретические предпосылки расчета Стонея также подвергались сомнению. Ведь по данным электролиза мы определяем количество заряда при переносе большого числа атомов, поэтому можно утверждать, что в действительности мы определяем лишь среднее значение заряда электрона. Вопрос о существовании определенной минимальной порции электричества еще оставался открытым. Но как бы то ни было, теоретическое открытие электрона состоялось и начало оказывать свое влияние на развитие физики. Физические постоянные Вя в соединении с интеллектуальными усилиями ученых привели к рождению еще одной постоянной—заряда электрона е. Развивавшиеся доселе раздельно столь различные области физики, как атомистическая теория и теория электромагнитных явлений, сблизились настолько, что это явшюсь еще одним убедительным подтверждением принципиального единства природы. [c.99]

Расчет затянутых болтов. Пример затянутого болтового соединения — крепление крышки люка с прокладкой, где для обеспечения герметичности необходимо создать силу затяжки Q (рис. 3.16). При этом стержень болта растягивается силой Q и скручивается моментом Мр в резьбе. Напряжение растяжения СТр = 0/(л(/р/4), максимальное напряжение кручения T = MpjWp, где Wp = 0,2dp—момент сопротивления кручению стержня болта Mp = 0,5ga2tg( l + 9 ). Подставив в эти формулы средние значения угла подъема / резьбы, приведенного угла трения ф для метрической крепежной резьбы и применяя энергетическую теорию прочности, получим [c.45]

Функция распределения времен свободного пробега. В классической электронной теории предполагается, что изменение скорости электрона прссисходит в результате кратковременного акта взаимодействия его с решеткой. Между двумя соударениями электрон движется как свободная частица. В качестве параметров, характеризующих движение электрона, вводятся длина свободного пробега I и в реи я свободного пробега т, кото рые будем рассматривать как средние значения. Указанные параметры связаны доуг [c.128]

Вычисление флуктуаций динамических величин с помощью равновесных функций распределения представляет собой в общем < лучае такую же сложную задачу, как и вычисление средних значений и термодинамических потенциалов. Поэтому часто используется так называемая квазитермодинамическая (полуфеномено- логическая) теория флуктуаций, в которой при определении флуктуаций различных величин предполагается, что термодинамические функции системы известны. Эта теория ограничена задачами, в которых малую часть системы можно характеризовать термодинамическими параметрами. Вследствие этой посылки она имеет существенно приближенный характер, поскольку принимать параметры малой системы термодинамическими правомерно только в случае больших систем, когда флуктуации, которыми мы интересуемся, пренебрежимо малы. [c.298]

Развитое турбулентное движение является неустановивишмея движением, так как мгновенная скорость, - скорость в данной точке потока в данное мгновение, - очень быстро изменяется во времени, т.е. происходит пульсация скорости /10/. Изменение мгновенной скорости непериодическое и не подчинено каким-либо видимым закономерностям. Однако турбулентное движение упорядочено в том смысле, что поддается описанию с помощью законов теории вероятности. Это позволяет указать среднее значение мгновенных скоростей в данной точке, осредненных по времени [c.12]

Таким образом, равновесные термодинамические параметры, как показывает статистико-механическая теория, либо представляют собой средние значения микроскопических параметров (U= = Е), (N)), либо являются характеристиками статистического распределения (Т, ti, S, F). Поскольку макроскопическая система состоит из физически бесконечно большого (yV—10 ) числа частиц, плотности распределения параметров системы имеют очень резкий максимум, соответствующий наиболее вероятному состоянию системы. С этой точки зрения равновесные макроскопические параметры системы характеризуют наиболее вероятное состояние системы. [c.148]

ОДНОГО И ТОГО же материала можно говорить не о постоянной характеристике, а о ее статистическом распределении. Если модуль упругости и предел текучести меняются в узких пределах и расчет по средним значениям достаточно достоверен, то прочность хрупких материалов и их структурных составляющих должна рассматриваться как случайная величина и отвлечься от ее статистического характера принципиально невозможно. Именно статистическая теория позволяет объяснить и оценить количественно так называемый масштабный эффект прочность большого изделия всегда оказывается меньше, чем прочность малой его модели (после пропорционального перерасчета, конечно). Изложение современных статистических теорий прочности заняло бы слишком много места, однако некоторые сведения нам представлялось необходимым сообщить. Эти сведения особенно существенны для понимания природы прочности современных композитных материалов, состоящих из полимерной или металлической матрицы, армированной угольным, борным илп иным высокопрочным волокном. Разброс свойств армирующих волокон довольно велик и для нопимания того, в какой мере эти свойства могут быть реализованы в композите, необходимо некоторое представление о статистической природе его прочности. Именно поэтому изложение элементов статистической теории будет дано ниже, в гл. 20. [c.654]

При турбулентном движении жидкости скорость, давление и другие величины в каждой точке потока претерпевают нерегулярные пульсирующие изменения около некоторых средних значений. Поэтому для исследования турбулентных потоков возможно целесообразно использовать понятия теории вероятности в этом случае мгновенные значения механических характеристик рассматриваются как случайные величины,, а средние значения определяются как математические ожидания ). Чаще, однако, средние значения определяются как обычные средние по времени. Промежутки времени, за которые производится осреднение, должны быть достаточно большими по сравнению со временем отдельных пульсаций и должны быть малыми по сравнению со временем заметного изменения средних величин, если осреднённое движение нестационарно ). [c.127]

Т фл, где 7 фл—температура границы этой области, может быть иайден из следующих соображений. При Т < 7 фл средний квадрат флуктуаций параметра порядка должен быть мал по сравнению с величиной if. Согласно теории Ландау значение равно (а 2В) (Т —7 фл), а средний квадрат флуктуации Дт) в флуктуационной области составляет Т %/г . Таким образом, на границе флуктуационной области [c.253]

Для получения достоверных сведений по усталостной прочности титановых сплавов конкретной структуры не(обходима количественная оценка разброса результатов циклических испытаний. При этом предел выносливости определяют с заданной вероятностью неразрушения, т.е. оценивают его надежность. Уже первьге статистические обработки результатов усталостных испытаний титановых сплавов показали высокие значения коэффициента вариации условного предела выносливости [96— 98]. Учитывая большой разброс, наиболее правильно для анализа усталостных свойств титановых сплавов применять методы математической статистики и теории вероятности. Для этого строят полные вероятностные диаграммы, например по системе, предложенной Институтом машиностроения АН СССР [99, 100]. Эта система основана ра разделении процесса усталостного разрушения на две стадии до появления макротрещины и развитие трещины до разделения образца на части. При анализе предела выносливости гладких образцов это разделение не имеет принципиального значения, так как долговечность до появления трещины Л/ и общая долговечность до разрушения образца Л/р близки. Часто Jртя построения полных вероятностных диаграмм усталости за основу берут наиболее простой метод, предложенный В. Вейбуллом [ 101 102, с. 58 — 64]. Для построения полной вероятностной кривой необходимо испытать достаточно большие партии образцов (30—70 шт.) на нескольких уровнях амплитуды напряжений, которые должны быть выше предела выносливости (см., например, рис. 92). На каждом из этих уровней по гистограмме определяют вероятность разрушения при данной амплитуде напряжений. Далее ст ят кривую Веллера по средним значениям долговечности. По гистограммам строят кривые равной вероятности в тех же координатах (а — 1дЛ/). Затем строят семейство кривых, определяющих не только зависимость долговечности от амплитуды напряжений, но и вероятности разрушения от заданных амплитуды напряженйй и долговечности. Далее, принимая математическую форму распределения вероятности, на данном уровне напряжений можно строить кривые зависимости либо от амплитуды напряжений при заданной базе испытаний Л/, [c.141]

ИТ в том, чтобы оценить величину указанного предела. В отсутствие матрицы эта характеристика представляет собой прочность пучка волокон она принимает те же значения и при наличии матрицы, если прочность поверхности раздела при двиге равна нулю. Влияние роста прочности поверхности раздела зависит от свойств упрочнителя. Композиты, армированные непрерыв 1ы ми Волокнами, дисперсия прочности которых равна нулю (т. е. средняя прочность волокна в композите равна прочности пучка воло- кон), нечувствительны к прочности поверхности раздела. С ростом дисперсии прочности волокон все большее число волокон будет разрушаться в слабых точках, расположенных вне плоскости излома. В этих случаях передача нагрузки на неразрушенные участки должна происходить, по механизму, предусматривающему передачу нагрузки через поверхность раздела в матрицу. Когда поверхность раздела становится прочнее матрицы, сдвиг матрицы происходит легче, чем разрушение поверхности раздела, и даль- нейшее увеличение прочности поверхности раздела уже не. влияет на тип разрушения. Такой случай разрушения, не зависящего от состояния поверхности раздела, рассматривается теориями прочных поверхностей раздела. Поскольку продольные свойства дан- ного типа композитов. не зави >сят от состояния поверхности раздела, теории, предсказывающие значения этих свойств, не относятся к предмету настоящей главы. Обзор указанных теорий имеется в гл. 2, посвященной механиче ским аспектам поверхности раздела. [c.140]

Для оценки точности и достоверности измерений неровностей поверхности в данной теории эвристически рекомендуют определенный способ использования формулы (59). Он заключается в том, что при определении числа Пд в формулу (59) подставляют среднее значение Л47 и дисперсию DR тех параметров шероховатости (Ra, Rq, опорная линия профиля на уровне и), для которых они определены методами теории случайных функций. Профилограммы шероховатости поверхности при этом интерпретируют как реализации стационарной эргодической случайной функции у (х, ш) с нормальным распределением вероятностей. Переменная X означает вектор пространственных координат, меняющихся в области Т евклидова пространства R , а переменная ш — элементарное случайное событие из некоторого вероятностного пространства. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...