Системы линейные в частных производных первого

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

Мы займемся исследованием систем, в которых только одно из звеньев описывается системой двух линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, причем движение в этом звене предполагается одноразмерным. Подобные звенья мы в дальнейшем будем называть сплошными. [c.130]

Уравнение (6.11) — линейное уравнение в частных производных первого порядка для отыскания функции x,y,z,t), где t— параметр. Характеристики уравнения (6.11) удовлетворяют системе уравнений [c.17]

При применении метода ВКБ могут встретиться значительно более трудные вопросы построения решения. Примером может служить случай, когда выполняется рекуррентная процедура (1) ж срединная поверхность оболочки содержит линию, где изменяется знак гауссовой кривизны. Впрочем, определенные функции Уо по линейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных уравнений, поэтому выяснение особых точек и характера решения около этих точек не должно представлять в каждом конкретном случае принципиальных затруднений. Вопросы же построения решения в духе метода ВКБ являются при наличии таких особых точек предметом исследования в современном математическом анализе даже в задачах, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. [c.239]

Если поле скоростей удовлетворяет условиям динамической возможности движения, то давление и удельный объем определяются либо квадратурами, либо интегрированием системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. [c.187]

Если поле скоростей удовлетворяет условиям (g), удельный объем определяется интегрированием нормальной системы трех линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка. Так как 6г отлично от нуля, то по крайней мере одна составляющая вектора 6 отлична от нуля предположим (тг О (это, конечно, не ограничивает общности рассуждений), тогда систему уравнений в частных производных можно записать следующим образом [c.197]

Это — линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функции ш. Соответствующая ему система в полных производных — система (1.3). Согласно известному правилу, общий интеграл уравнения (4.4) есть произвольная функция всех интегралов уравиений системы (1.3). Таким образом, [c.180]

Поставим в соответствие системе (0.3) линейный дифференциальный оператор в частных производных первого порядка [c.8]

Полученная система линейных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковыми главными частями может быть заменена интегрированием одного линейного уравнения в частных произ- [c.155]

Из теории дифференциальных уравнений известно, что (5.34) есть необходимое и достаточное условие существования первого интеграла системы дифференциальных уравнений (5.32) ). Поэтому на (5.34) мы можем смотреть как на линейное уравнение в частных производных первого порядка, п независимых решений которого представляют собой совокупность независимых первых интегралов системы (5.32). Обозначим какой-нибудь из этих интегралов через [c.290]

Следующий пример — линейная система, представляющая собой тонкий прямолинейный стержень. Входом у него является произвольная точка, например, имеющая координату хо = О, в которой задана внешняя случайная сила f(t), выходом —смещение u(t) в другой точке х. В тонком стержне могут возбуждаться три типа волн — продольные, крутильные и изгибные (см. главу 5). Два первых типа (продольные и крутильные) описываются сходными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Частотная характеристика для них имеет следующий вид [c.104]

В отдельную группу можно выделить методы анализа динамики гидросистем с распределенными параметрами (упругостью, массой, а иногда и сопротивлением). Эти методы развиваются в первую очередь для систем гидропрессов, в которых стремятся получить большие ускорения движущихся масс и не боятся ударов, и для гидропередач раздельного исполнения с длинными трубопроводами. Математический аппарат, используемый при этих исследованиях, весьма сложен, так как приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных. Но они позволяют учесть распространенные волны давления по трубопроводу и выявить реакцию системы на высокочастотное возбуждение. Из-за математических трудностей решают пока частные задачи с ограниченным (один, два) количеством участков магистралей, в которых учитывается распределение жидкости по длине магистрали, для линейной модели гидросистемы [12, 27, 42, 45, 54, 58, 59, 64, 67]. [c.262]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

Рассматривая в (1) правую часть как заданную функцию аргументов г и О мы получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, регаение которого связано с регаением системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.467]

Это линейное однородное уравнение первого порядка в частных производных для С и есть уравнение Лиувилля. Все входящие в уравнение (4.6) величины известны (за исключением, конечно, неизвестной С) ху, — независимые переменные, изменяющиеся в заданной области фазового пространства (возможно, во всем бЛ -мерном пространстве), I — переменное время, Х — известная функция различных Х/ . Поэтому если С (х , 1/ , 0) задано, можно найти С (хи, 1/1, О, не используя первое описание в обычном пространстве. Но какие начальные данные должны быть выставлены Если мы утверждаем, что нам известно начальное состояние механической системы, т. е. точно известны начальные положения х и скорости I N частиц, то начальное значение С есть просто [c.25]

Указанная эквивалентность позволяет заменить изучение нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений часто более удобным изучением линейного уравнения первого порядка в частных производных. [c.220]

Для численного интегрирования полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (t = l, 2,. ... .п) пап материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках г = г, (t = l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от переменных ссг, а, w, рг перейдут в 4п обыкновенных дифференциальных уравнения но времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления Pi в точках f = r, в каждый фиксированный момент времени необходимо решать линейную (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6.7.17). [c.85]

В данной книге рассмотрены лишь волновые задачи, которые описываются гиперболической системой квазилинейных или почти линейных уравнений с частными производными первого порядка. Сделан обзор мировой литературы по проблеме [c.7]

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций щ и 2 эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции щ или 2. Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде 24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала). [c.68]

Замкнутый контур ремня представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Движение любой точки ремня описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые могут быть заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений, причем допустимая степень приближения определяется сравнением разностей решений систем двух смежных порядков. При замене уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений предполагается линейно-кусочная аппроксимация искомой функции и ее первой производной. [c.37]

Вдоль L уравнения (1), (2) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно первых частных производных. Частные производные определяются единственным образом, кроме случая, когда вдоль L определитель системы обращается в нуль, т. е. [c.312]

Мы положили здесь магнитную проницаемость равной 1 есть линейная часть поляризации, которая в свою очередь через восприимчивость первого порядка линейно связана с напряженностью поля. Из дифференциального уравнения (2.23-2) следует система т дифференциальных уравнений для отдельных амплитуд парциальных волн [явное представление дано в ч. I, Приложение 6, уравнение (П6-4)] с частными производными по пространственным и временным координатам различных высоких порядков. При соответствующих физических условиях высшими производными можно пренебречь, при этом возникает вопрос о том, насколько сильно амплитуды напряженности поля и поляризации меняются в пространстве по сравнению с / и во времени по сравнению с а>г Мы примем, что пространственная структура волн не испытывает изменений под влиянием взаимодействия (что соответствует представленной в 1 концепции мод) это означает, что можно положить равными нулю все пространственные производные. Далее, действие нелинейной поляризации можно рассматривать как малое возмущение в том смысле, что [c.198]

Последовательность действий при поиске оптимума показана на рис. 7.13. Сначала находят все N первых частных производных и приравнивают их нулю. Полученную систему уравнений решают относительно всех возможных комбинаций проектных параметров, удовлетворяющих входящим в нее уравнениям. Если уравнения линейные, то задача решается непосредственно, так как в этом случае она имеет одно решение. Если же уравнения нелинейные, как это обычно бывает, то система может иметь несколько решений. Найдя все решения, отбрасывают те из них, которые не соответствуют экстремумам. Для этого во всех найденных точках вычисляют вторые производные. Получив окончательную группу решений, выбирают из нее то, которому соответствует наилучшее значение целевой функции. Это решение и является оптимальным. [c.193]

Определение линейных колебательных систем. Дифференциальное уравнение, в которое искомая функция, а также ее производные входят линейно, т, е, только в первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. Физические системы, совершающие колебания, существенные черты которых передаются с достаточным приближением линейным дифференциальным уравнением, называются линейными колебательными системами, остальные—нелинейными. Частным случаем линейной колебательной системы является рассмотренный в п, 1 маятник, совершающий, iia we колебания (такие, при которых sin 9 можно с достаточной при данных условиях опыта точностью заменить на 0). Все системы, о которых будет идти речь в этой главе, являются линейными колебательными системами. [c.59]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

Уравнение Лиувилля есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно (р.Я) зависящее от 2п 6М переменных (/ ,, дг), причем коэффициенты его суть известные функции этих переменных, определяемые функцией Гамильтона системы Н р, д). Характеристики этого уравнения определяются системой 2п обыкновенных дифференниальных уравнений первого порядка [c.21]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Несколько иной способ упрощения задачи, уточняющий метод Стокса, принадлежит Озину [2] и заключается в том, что в уравнениях движения оставляются только важнейшие из инерционных членов, которые к тому же линеаризуются путем замены неизвестной скорости, стоящей множителем перед производной, ее характерным значением. При этом нелинейная система дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости сводится к линейным уравнениям с частными производными первого и второго порядков. [c.238]

Подставив (1) в (3) и затем (3) в (2), придем к системе из трех дифференциальных ур-ний в частных производных с тремя неизвестными компонентами перемещения , к интегрированию к-рой ири за-датптых условиях и сводится решение задачи У. т. в наиболее общей ее постановке. Эта система нелинейна, что обусловливается факторами геометрического и физич. характера. За счет первых нелинейными оказываются ф-лы (I) н (2), от к-рых можно перейти к линейным ур-ниям [c.261]

Теория устойчивости О. существует в двух вариантах. Первый основывается" на представлении, что потеря устойчивости соответствует такой нагрузке, при к-рой О. находится в состоянии безразличного равновесия. Это приводит к системе линейных однородных дифференциальных ур-ний в частных производных, в к-рую входит неизвестный параметр внешней нагрузки. Граничные условия в данном случае также однородны. Отсюда находят спектр собственных чисел (критич. нагрузки) и систему ( )ундамонтальных ф-ций (фюрмы потери устойчивости). Этот способ (обычный при решении задач об устойчивости де< )ор-мации упругих тел) в нек-рых случаях приводит к результатам, удовлетворительно совпадающим с опытом — напр., при расчете устойчивости цилиндрич. О., находящейся под действием равномерного внешнего нормального давления. Однако иногда (напр., при расчете устойчивости сферич. О. на внешнее давление или при расчете цилиндрич. О., сжатых вдоль оси) он приводит к значительным расхождениям с опытом, давая при этом большую ошибку в Опасную сторону (т. е. в сторону преувеличения критической нагрузки). В связи с этим для О. был предложен принципиально иной подход к оценке их устойчивости, Специфшч. особенность О. — возможность потери ею устойчивости т. н. хлопком при этом осуществляется переход от одного положения равновесия к другому, с более низким энергетич, уровнем, отличающимся от первого на конечные перемещения. В процессе этого перехода О. должна пройти через промежуточные стадии де [c.465]

Система уравнений (27.15) есть система шести почти линейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа с тремя независихмыми переменными Хь л 2,< с постоянными коэффициентами при производных. Теория этих уравнений изложена, например, в монографии Куранта и Гильберта [24] она является обобщением представленных кратко в п. 9 систем уравнений с большим числом независимых переменных, чем две. Соответствующий метод был применен в пространственных задачах динамики газов в работах [159, 160, 196, 198]. Этот метод был также применен в динамических задачах теории упругости в работах [161, 20, 195, 199, 182, 206—208. В динамических задачах теории пластичности этот метод применялся в работах [29, 173, 169, 116]. В волновых задачах теории вязкопластичности метод был использован в работах [5, 167, 181, 8, 9, 154—157, 217, 158]. [c.239]

Вдоль L уравнения (1), (2) образуют систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно первых частных производных. Частные производные определяются неединственным образом, если вдоль I определитель системы А и надлежаш,ие числители А , Аз, Ад, А4 в формулах Крамера обраш,аются в нуль. Выпишем первое условие [c.406]

Формы колебаний представляют собой решения линейного дифференци -ального уравнения второго порядка с граничными условиями первого, второго или третьего рода, поэтому они обладают свойствами таких решений - ортогональностью и полнотой. Следовательно, как следует из теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными, по набору форм может быть разложена любая функция, в частности возбуждающая сила, что часто используется при решении задач о колебаниях. С физической точки зрения это означает, что система реагирует на те частотные и пространствейные компоненты возбуждающих сил, которые ей нравятся и для которых она наиболее податлива. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...