П исходная срединная

Предполагается, что смещения u-t-Mt/a и, V и W, а. также их первые и вторые производные являются непрерывными функциями от а и р (в динамических задачах они могут быть также и функциями времени, но здесь речь будет идти только о переменных аир). Тогда компоненты перемещений точки р, касательные к линиям а и р и нормальные к недеформированной исходной срединной поверхности, т. е. направленные вдоль необозначенных осей триады, изображенных сплошными линиями в точке р (см. рис. 6.3), должны равняться u+idu/da)da, v + idv/da)da, w + ldw/da)da, это показано на рис. 6.4, так как отличие точки р от точки о заключается только в малом изменении координаты на da вдоль оси а. [c.396]

Будем считать оболочку пологой, различием радиусов кривизны слоев пренебрегаем. Принимая за исходную срединную поверхность заполнителя, отнесем ее, учитывая пологость оболочки, к декартовой системе координат Хх, Х2. Положительную нормальную координату г будем отсчитывать в сторону внешней нормали к исходной поверхности. Называя несущий слой, расположенный со стороны внешней нормали, первым слоем, слой со стороны внутренней нормали —. вторым, а заполнитель — третьим (рис. 9), введем обозначения [c.49]

Выберем координатные оси так, чтобы они совпадали с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки, а ось z направим по нормали к ней, считая координату z положительной, если она направлена к центру кривизны. Кривизны срединной поверхности оболочки в исходном состоянии обозначим через k . [c.200]

Прогиб образца измеряют рычажной системой 14, переоборудованной для этой операции. На верхний рычаг надета каретка 8 и застопорена винтом 9. К каретке с помощью шарнира прикреплена измерительная скоба 7 с двумя щупами, опирающимися на захваты. Положение щупов скобы определяет исходное положение концов образца, относительно которых измеряется прогиб его срединной части. Измерение производят нижним рычагом, на конце которого закреплена каретка со щупом 5, касающимся образца постоянный прижим щупов обеспечивается пружиной 15. Таким образом, в системе измерения прогиба образца также реализуется принцип, позволяющий [c.170]

Исходные данные. Имеем консольную балку в форме прямоугольной пластины со сторонами / и й. В срединной плоскости этой пластины расположим координатные оси г и у, подобно тому, как это делалось в предыдущих параграфах для балок. Пусть левый конец балки заделан, а правый свободен и загружен сосредоточенной силой Р (рис. 12.39). Подробно о том, что понимать иод заделкой и под сосредоточенной силой будет сказано [c.148]

Дальнейшая схематизация срединной поверхности связана с разбиением каждого конусного участка на и- элементов [sy, ], где / = О, 1,. .., Hj (рис. 2.37). В точках разбиения г-го конусного участка задают исходные параметры в начале (s = Sj) и конце (s = s + j) /-Г0 элемента [c.75]

Чтобы уменьшить влияние этих причин на точность определения срединного размера плиток и обеспечить возможность измерений в среднем сечении Исходная Поверяемая [c.188]

При решении задач мгновенного деформирования открытых в вершине оболочек вращения сходимость метода по числу координатных функций можно проверять по степени удовлетворения однородных краевых условий для радиальных усилий в срединной поверхности и изгибающих моментов на внутреннем контуре (если он не подкреплен), так как они естественным образом вытекают из исходного вариационного уравнения. На рис. 38 приведены результаты численного решения задачи изгиба и устойчивости жестко защемленной по внешнему контуру сферической оболочки с центральным отверстием а—125 мм, Гк=62,5 мм, h = [c.75]

Будем считать, что радиус кривизны срединной поверхности = а + б (9), где а — радиус исходной оболочки б (0) — функция, характеризующая отклонение формы сечения от круговой. Таким образом, б (9) — функция, мало отличающаяся от нуля. [c.133]

Анализ уравнений теории оболочек позволяет сделать вывод, что различие напряженных состояний исходной и возмущенной оболочек вызвано изменением величин нормальных кривизн, обусловленным малыми возмущениями формы срединной поверхности оболочки. Это особенно сказывается при большом меридиональном усилии ТI, которое почти не изменяется в зависимости от геометрических размеров. Это усилие, умноженное нд кривизну меридионального сечения, входит в соответствующее уравнение равновесия и при изменении кривизны значительно изменяет остальные усилия и моменты. [c.145]

Обозначим далее смещения точек срединной поверхности обечайки вдоль оси 2] через и, вдоль оси 22 через v, вдоль нормали к поверхности (в исходном состоянии) через w. Тогда [c.255]

Рассмотрим для определенности нагружение конструкции усилием за тяга шпилек, при котором не требуется учет продольной жесткости шпилек. Уточненные расчеты показывают, что изгибной жесткостью шпилек можно пренебречь ввиду большой длины шпилек. Распределенные по окружности радиуса Лт осевые усилия N вызывают сжатие фланца крышки и верхней части нажимного кольца, а также изгиб всех элементов конструкции. Внешние изгибаюш ие моменты, вызванные внецентренным приложением осевых усилий, определяются в сечениях как произведение осевого усилия на соответствующее плечо. Например, в сечении, проходяш ем через точку А, такой момент задается формулой ДМ = (Лл — г) где г — средний радиус фланца в сечении А. Вычисленные таким образом внешние моменты рассматриваются как заданные разрывы и при расчете на ЭВМ записываются в бланке исходных данных (см. табл. 3) в массиве III, б. Для сжатых осевыми усилиями элементов задаются радиальные перемещения срединной поверхности w = ц R /Eh (h — толщина элемента) эти данные при расчете на ЭВМ учитываются как известные частные решения и записываются в массиве IV, а. [c.91]

Резкое падение нагрузки после смены исходной невозмущенной формы равновесия свидетельствует о наличии несмежных изгибных форм равновесия при малых уровнях нагрузки и чрезвычайной чувствительности оболочки ко всякого рода возмущениям начальным прогибам, несоблюдению граничных условий, динамическим эффектам окружающей среды и пр. При наличии этих возмущений оболочка скачком переходит от исходной формы равновесия к несмежным изгибным формам. Нагрузка, соответствующая перескоку от исходного состояния к несмежному, является действительной верхней критической нагрузкой. Величина ее определяется видом и мерой возмущений и в основном несовершенствами формы срединной поверхности. [c.9]

Другой важный вопрос — это влияние моментности исходного состояния, которое сказывается в появлении сопутствующих основным дополнительных напряжений в срединной поверхности и местных искривлений элементов оболочек. Дополнительные сжимающие напряжения понижают устойчивость оболочек. Местные же искривления могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. [c.191]

Уравнения (305) описывают внешнее решение исходной задачи. Согласно условию жесткого сцепления смещение срединной поверхности оболочки, определяемое из решения внутренней задачи (304), Т. 0. вектор (Ui, t 2> 3) должен равняться смещению соответствующей точки той же поверхности, определяемому из решения внешней задачи (305), т. е. вектору (ui, Мз). Следовательно, на поверхности (306) должно выполняться условие [c.99]

Проследим взаимосвязь элементов системы ТТО далее. Положения 2—4 обосновывают исходное положение / о срединной поверхности оболочки как опорной и определяющей ее геометрию. Но эти положения диктуют конечность размеров элемента оболочки ASi (.ASi > t). Только в этом случае можно принимать положение I. Отсюда следует вывод положения 2—4 ТТО приводят не к дифференциальному, а к конечно-разностному характеру всей системы взглядов ТТО. [c.20]

Исходную поверхность осд = О назовем срединной поверхностью оболочки, а поверхности з = ft и осд = —h назовем ее лицевыми поверхностями. [c.26]

Исходные уравнения запишем, имея в виду использование их при выводе уравнений прикладных теорий пластины. Оси ху расположим в срединной плоскости пластины, ось z направим по нормали, как показано на рис. 4.1. [c.185]

Исходное уравнение задачи получим из условия плотного прилегания оболочки к штампу в зоне контакта, которое отождествим с условием, чтобы изменение кривизны срединной поверхности оболочки в окружном направлении хг в зоне контакта было равно [c.325]

Исходное интегральное уравнение для реакции штампов q получится из условия плотного прилегания оболочки и штампов в зонах контакта. Это условие запишем, приравняв изменение кривизны срединной поверхности оболочки в продольном направлении xi кривизне кромки штампов [c.356]

В 1955 году Бергер [3.17], анализируя известное нелинейное решение Уэя [ 3.15] для упругой однородной круговой пластины с заделанными кромками, высказал предположение, что второй инвариант тензора деформаций срединной поверхности не оказывает значительного влияния на величину прогиба и им допустимо пренебречь в выражении для энергии дес рмации пластины. Последующий вариационный вывод исходных соотношений задачи приводит к двум дифференциальным уравнениям, одно из которых является линейным относительно прогиба. [c.69]

Координаты точек срединной поверхности в осях XYZ. Воспользуемся фиксированными осями XYZ, проходящими через точку о, как главными осями, и определим координаты XYZ точек о, р ж д, принадлежащих срединной поверхности, и соответствующих им точек О, Р ж Q в исходном и деформированном состояниях. Точные значени расстояний между любыми из этих "точек несложно определить по теореме Пифагора, выразив их через координаты в этой фиксированной системе прямоугольных координат. Найденные выражения для координат X, Y, Z для сме- [c.395]

На рис. 6.4 показаны точки о, р я q в смещенных положениях и не представлены их исходные положения. Компоненты перемещений точки о, касательные к линиям сс и fp и нормальные к не-деформированной срединной поверхности, т. е. заданные относительно осей X, У, Z, обозначаются соответственно чере . и, v к w. [c.396]

Вводя это выражение для Ф в формулы (1.120), можно, после некоторого анализа, прийти к заключению, что поправки, вносимые в них учетом Ф, всегда несущественны, так как не выходят за пределы погрешности исходных допущений теории тонких оболочек. На этом основании в формулах (1.120) можно полагать Ф = О, отождествляя тем самым и с Я. Именно такой точки зрения мы и будем впредь придерживаться. Получатся следующие окончательные формулы, выражающие усилия и моменты через деформации срединной поверхности [c.49]

Изложенное выше исчерпывает вопрос о связи между усилиями, моментами и деформациями срединной поверхности в теории оболочек. Эта связь дается формулами (1.122), полученными из выражения для потенциальной энергии (1.112), упрощенного в соответствии с погрешностью исходных допущений теории тонких оболочек. [c.49]

Помимо координат узлов дс Уг, Zr (г = t, /, I, т) исходная информация для элемента включает в себя площади сечения Fg, верхнего и нижнего поясов, расстояния а , Og от их осевых линий до срединной поверхности обшивки, толщину h стенки, ее высоты Н[, Щ в крайних сечениях элемента, а также упругие характеристики материалов Е —для поясов и Е, G, fi — для материала стенки). [c.300]

Согласно 1, в качестве исходных уравнений для исследования устойчивости оболочек примем уравнения теории пологих оболочек (технической теории). Рассмотрим классический вариант задачи устойчивости, когда докритическое (основное) напряженное состояние является безмоментным, Усилия в срединной плоскости обозначим через ри pz и s. [c.107]

Другой подход состоит п рассмотрении оболочки как пластинки с начальной погибью. Пусть кснгур оболочки прямоугольный, в этом случае удобно ввести декартовы координаты X, у, откладываемые в основной плоскости 1—4 вдоль сторон контура (рис. 40). Начальное положение точек срединной поверхности определяется координатой г. Прогиб отсчитывают от исходной срединной поверхности параллельно оси г. Уравнения, отвечаюш,пе данной трактовке, получим, положив в зависимостях (248а), (249а) кх = ку=0 и вводя г вместо Шо, тогда придем к следующим соотношениям [c.187]

Исходная срединная поверхность может состоять из одного или нескольких участков, имеющих различное математическое описание. Если эта поверхность является развертывающейся, то ее называют простой, а если неразвертываю-щейся, то с л о ж н о й. [c.266]

За исходный параметр геометрического расчета передач в 1ут-рсннего и внешнего деформирования принимается величина максимальной относительной деформации гибкого колеса Wfjr,. Уравнение д 1я определения расчетного числа зубьев условпоТо колеса в1> водится на основе уравнения срединной линии деформированного гибкого колеса (см. Шувалов С. А., Волков А. Д. Деформация гибкого зубчатого колеса волновой передачи двумя дисками, Известия вузов. № 10, 1974) [c.431]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Для определения точек бифуркации начального неискривлен-ного состояния пластины следует рассмотреть искривленное изгиб-ное состояние равновесия пластины, бесконечно близкое к исходному. Такое изгибное состояние равновесия пластины будем описывать функцией поперечного прогиба точек ее срединной поверхности [c.137]

Пр Н этом счнтае.м, что перемещения срединной и наружной поверхности пластинок одинаковые. Система уравнений (6.6) — (6.8) является исходной для получения точного и приближенного решений для описанной выше модели соединения. [c.97]

Проверка срединной длины и пло-скопараллельности плиток. Технический интерференционный метод широко применяется для сличения размеров концевых мер (плиток). Исходную (размер которой известен) и проверяемую плитки притирают к плоской стеклянной пластине и накладывают на них вторую стеклянную пластину, как показано на фиг. 28. [c.188]

Таким образом, каждое из собственных движений эталонной пластинки можно качественно охарактеризовать числами т и п, расставленными в определенной последовательности, или, что то же самое, соответствующим рисунком узловых линий. Систему рисунков узловых линий эталонной пластинки назовем системой эталонных, или исходных, форм. Система эталонных форм исчерпывает все возможные собственные движения эталонной пластинки, когда массы ее перемещаются в направлении, нормальном к срединной поверхности. Аналогичные узловые рисунки были отправными и у Гриисетеда. [c.87]

В уравнениях устойчивости, как видно из выражений (1.5), роль деформации сдвига срединной поверхности определяется неоднородностью усилий и величиной сдвигов в исходном состоянии, а также изменяемостью параметров Ляме. Для однородных исходных состояний в случае отсутствия крутяш их моментов и постоянных значений параметров Ляме слагаемые, содержащие множителями деформации сдвига, исчеза1дт. Поэтому в этом случае при составлении уравнений устойчивости сдвиг координатных линий можно не учитывать. [c.56]

Рассмотрим задачи устойчивости круговой цилиндрической оболочки при неоднородных исходных состояниях, вызванных действием-неоднородных нагрузок локальные нагрузт и, йа руз- -ки, распределенные по части поверхности или по линиям, краевые радиальные и моментные нагрузки. Исходное состояние оболочек при неоднородном нагружении всегда неоднородно. Его компоненты (усилия, смещения), зависят от координат средин-, ной поверхности. Неоднородность исходного состояния в этом случае вызывается не только влиянием граничных условий, но самой неоднородностью нагрузки. v > j [c.190]

В настоящей главе дается описание известных искривленных конечных элементов тонких оболочек, поотроенных в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Исходным вариационным принципом для всех злементов из зтой главы является принцип Лагранжа, и вое они объединяются единым методом построения матрицы жесткости - классическим методом перемещений ( I.I). Большое внимание уделено качественным аспектам используемых аппроксимаций с точки зрения даваемой ими точности при изменении геометрических параметров злемента - толщины и степени непологости ( 1.2,4,7). Рассмотрены вопросы построения аппроксимаций, удовлетворяющих необходимым условиям глад- кости, как для треугольных ( 1.3,4), так и четырвхугольннх злементов ( 1.2,5). Описаны способы ослабления требований гладкости первых производных от прогиба с помощью методов штрафа и множителей Лагранжа и даются примеры их использования для оболочек ( 1.9,10). Много места уделено особенностям расчета оболочек сложной геометрии в отличив от оболочек канонических форм ( 1.4, 5,7). Затронуты вопросы параметризации поверхности оболочки в случае дискретного задания ее геометрии и приведены требования к аппроксимации радиуса-вектора средин-нйй поверхности ( 1.5,6). Дается сравнительный анализ точности, даваемой различными КЭ, на примере некоторых общепринятых задач ( 1.8). [c.16]

Напряженно-деформированное состояние оболочки часто представляет собой сумму основного напряженного состояния и краевых эффектов. Первое из них распространяется на всю оболочку, а вторые имеют местный характер и локализуются вблизи определенных кривых, которые в дальнейшем будут называться линиями искаокения напряженно-деформированного состояния или просто линиями искажения (к ним принадлежат края оболочки, линии излома срединной поверхности или, вообще, линии скачкообразного изменения исходных данных). [c.97]

Намеченная цель достигается при помощи двух итерационных процессов итегрирования трехмерных уравнений теории упругости. Первый из них позволяет строить внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Оно в однородном случае соответствует внешним воздействиям, не самоуравновешенным по толщине оболочки (т. е. на любом отрезке нормали к срединной поверхности), и в исходном приближении описывается двумерными уравнениями (часть I). Второй итерационный процесс позволяет строить так называемые погранслои, т. е. краевые напряженные состояния, соответствующие самоуравновешенным по толщине краевым воздействиям ). В исходном приближении нахождение погранслоев сводится к интегрированию уравнений плоской и антиплоской задач теории упругости. [c.387]

В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является характерным для всех других контактных задач, следует на нем остановиться. На основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложенной по дуге окружности поперечного сечения. П-ри записи такого представления существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть (регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость такого ряда весьма хорошая (как 1/п при больших п), она исследована в гл. 6. Найденная нагибная деформация оболочки приравнивается разнице между исходной кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа, которая предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида а — ар [c.319]

Предполагается, что угол наклона линии прогибов мал по срав нению с единицей. Для большинства имек)щих практическое значение задач это справедливо даже тогда, когда прогибы достигают таких величин, которые будут заходить в так называемую область больших перемещений.- Углы наклона порядка единицы маловероятны, кроме исключительных случаев, куда входят тонкий стержень (задача эластики) или тонкостенные пластины или оболочки, которые изгибались в формы, способные перейти в их исходную форму, изготовлялись из материалов,-подобных резине, или деформировались с глубоким проникновением в пластическую область к подобным случаям применяются общие соотношения, полученные в главе 6, но для других слзгчаев онй не будут использоваться. Поэтому на данном этапе не будет делаться различия между задаваемым в виде div/dx углом наклона, что по определению есть тангенс угла поворота срединной поверхности в точке, и синусом этого угла или самим углом, измеренным в радианах, а также различия между косинусом такого угла и единицей. Поэтому угол между двумя поперечными сечениями (рис. 2.1, в) после деформирования можно представить как скорость, с которой изменяется угол наклона dw/dx при перемещении вдоль оси х, умноженную на пройденное в этом направлении расстояние, обозначенное через dx. [c.56]

Геометрические соотношения между точкавш, принадлежащими стенке оболочки. На рис. 6.3, относящемся к исходному положению, показана точка о (проекция произвольной точки О на срединную поверхность) с ортогональными линиями кривизны, обозначенными через d и р и проходящими через точку о. Будем считать аир независимыми непрерывно изменяющимися параметрами, имеющими постоянные значения соответственно на линиях р и а, и примем значения этих параметров в произвольной точке в качестве координат этой точки. Возьмем а и в качестве координат,точки о, а в качестве координат точек р ш q, л жащих в окрестности точки о на осях а и, р в направлении возрдстания координат, соответственно aj- da, и а, р + dp. [c.394]

В заключение отметим, что формулы (1.122) были получены первым из авторов этой книги в 1944 году [124] и почти одновременно Л. И. Балабухом [3]. При этом Л. И. Балабух искал такой простейший вариант связи между усилиями, моментами и параметрами деформации срединной поверхности, который удовлетворял бы теореме взаимности, а также шестому уравнению равновесия, и нашел его путем подбора. Первый из авторов этой книги искал такой вариант той же связи, который, будучи наиболее простым, одновременно гарантировал бы при решении любой задачи теории оболочек погрешность, не превышающую погрешность исходных гипотез. Оказалось, что результаты этих двух различно направленных поисков совпадают. [c.52]

Как говорилось в начале главы, при идеализации оболочки вращения ее срединную поверхность можно разбить на пояса плоскостями, перпендикулярными ее оси. Эти пояса будем рассматривать в качестве конечных элементов. Геометрия элементов обычно задается лишь координатами узлов (и, возможно, значениями угла 0 в узлах), для определения же самой кривой применяется приближенная аппроксимация. Для оболочек простой геометрической формы (например, сферической или круговой торовой) можно и не пользоваться аппроксимацией, определяя все необходимые геометрические параметры, исходя из точных соотношений. Однако в целях унификации исходных данных даже в этих случаях предпочитают обычно аппроксимировать реальную оболочку с помощью приближенных зависимостей. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...