Уравнения Лагранжа для точки

Уравнения Лагранжа для точки [c.122]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ТОЧКИ [c.123]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Предположим в той же задаче о движении груза, что сила Ф = 0, а следовательно, и Q = 0, но вместо этого задано движение конца пружины — точки А в направлении оси Ох — в форме z = z( ) (рис. 118,6). Составим уравнение Лагранжа для груза относительно подвижной системы отсчета Оху, начало которой движется вместе с точкой А так, что ОА остается все время постоянным. В этом случае по-прежнему [c.447]

Так как система находится под действием консервативных сил —сил тяжести, то воспользуемся уравнениями Лагранжа для консервативной системы. Для этого найдем потенциальную энергию системы, пользуясь формулой (73.2), приняв плоскость движения ползуна за нулевую плоскость [c.361]

Использование уравнений Лагранжа для систем, содержащих механические голономные связи. Если система содержит механические связи, но все они голономны, то можно в качестве новых координат использовать обобщенные координаты qi,. .., q (их число = ЗЛ/ — / 3/V равно числу степеней свободы системы), а формулы (8) получаются так, как это было пояснено выше (см. рассуждения, приводящие к формулам (60)). [c.155]

Так как число уравнений Лагранжа при наличии идеальных и голономных связей равно числу степеней свободы системы, т. е. числу обобщенных координат, то в данном случае следует записать одно уравнение Лагранжа для обобщенной координаты р [c.474]

Число уравнений Лагранжа второго рода равно числу степеней свободы материальной точки, т. е. числу ее обобщенных координат. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат х, у, г запишутся в виде [c.476]

Уравнения Лагранжа для материальной точки. Рассмотрим материальную точку, находящуюся под действием сил. равнодействующую которых обозначим F. Будем определять положение точки какими-нибудь независимыми между собой параметрами любой размерности q,, однозначно определяющими положение точки, которые назовем обобщенными координатами. Число их будет равно числу степеней свободы точки, т. е. для свободной точки их будет три, а для несвободной — две или одна. Тогда декартовы координаты точки, а следовательно, и ее радиус-вектор r = xi- -s)j- - zk можно выразить через параметры и время t, которое может вообще войти в эти соотношения или в результате соответствующего выбора координат qi, или когда на точку наложены нестационарные связи. Допустим для общности, что О [c.452]

Рассмотрим вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. В этом случае на точки системы, кроме сил Р , имеющих потенциал, действуют возмущающие силы Р,-, являющиеся некоторыми заданными функциями времени t. Уравнение Лагранжа для рассматриваемой системы имеют вид [c.127]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ [c.447]

ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ [c.449]

ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ Точно так же найдем [c.455]

Подставляя 8лг, 6 у, 82 в равенство (2) и приравнивая результат нулю при произвольных 8 3, 8<72, 8<7д, получим уравнения движения в (форме, указанной в п. 282, из которых мы вывели уравнения Лагранжа для свободной точки. [c.459]

Пять параметров, от которых зависит положение тела, суть 6, г , 6, 9, 6. Чтобы получить уравнения движения, напишем сначала уравнения Лагранжа для четырех параметров , т), 9,.4 - Так как ни Т, ни и не содержат этих параметров, то соответствующие уравнения Лагранжа будут [c.288]

Наоборот, если связи не могут быть выражены все в конечной форме, то нельзя больше применять уравнения Лагранжа. Для того чтобы написать [c.342]

Имеет место и обратное утверждение если для некоторого пути 8И7=0, то этот путь является прямым. Действительно, вследствие произвольности вариаций bq (/=1,...,л) (они на концах равны нулю, в остальных же точках пути совершенно произвольны) из условия bW=Q, в силу равенства (3), следуют равенства (2), т. е. уравнения Лагранжа для прямого пути. [c.106]

Составить уравнения Лагранжа для сферического маятника, т. е. для точки, связанной посредством жесткого невесомого стержня с неподвижным центром. [c.39]

Это —так называемые уравнения Эйлера для движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Следует подчеркнуть, что третье из этих уравнений является уравнением Лагранжа для координаты < j, однако два других не являются уравнениями Лагранжа для координат 0 и ф. Это видно хотя бы из того, что [c.179]

Составить уравнения Лагранжа для предыдущей задачи, приняв за координаты угол б, образуемый направлением ОА с неподвижным направлением, и угол (р, образуемый направлением АВ с АО. Массы М точек А и С принять отличными от масс т точек В н D., [c.304]

Если перейдем теперь к составлению уравнений Лагранжа для малых колебаний, то тотчас же увидим, что в них не войдут ни известные члены Ь , ни члены, опущенные в разложении (29) эти уравнения принимают в рассматриваемом случае вид [c.392]

Написать уравнения Лагранжа для тяжелой точки, удерживаемой без трения па эллиптическом параболоиде [c.412]

И уравнения Лагранжа для координат Рс сохраняют свою форму, если в них вместо Н подставить Если в силу уравнений связей некоторые скорости оказываются исключенными из выражения для Я, то соответствующую задачу Гельмгольц называет неполной, ибо она ограничивается отысканием только таких движений, которые допускаются этими уравнениями связей. [c.496]

По-видимому, здесь имеется точка симметрии, у которой u=0=v. С целью упрощения можно допустить, что х=0, когда м=0, откуда i=0. Введение соответствующих величин в уравнение Лагранжа для дифференциальной функции тока дает [c.45]

Решение. При условиях задачи, имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат расстояние X груза А от какой-то точки В плоскости (рис. 386) и расстояние у центра С цилиндра от некоторой точки Е (узелка) на нити (д = х, д%=у)-Уравнениями Лагранжа для данной системы будут [c.467]

Это и есть третье уравнение Эйлера. Если бы написали два других уравнения Лагранжа для параметров 6 и (f>, то мы не получили бы двух других уравнений Эйлера это и понятно, так как углы 9 и ср соответственно меняются при вращениях около оси 0L и оси ОС, а не около осей Ох и Оу. Но мы можем ту роль, какую приписывали оси Ог, приписывать каждой из осей инерции, и тогда получим все уравнения Эйлера. Приступаем к аналитическому решению задачи. [c.588]

Материальная точка массы т может двигаться но гладкой горизонтальной плоскости Я, враш,аюш,ейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, изменяюш,ейся но заданному закону со = = со( ). Составить уравнения Лагранжа для движения точки относительно плоскости П. [c.132]

Сделаем предварительно следующее замечание об использовании уравнений Лагранжа для описания относительного движения в неинерциальной системе отсчета. В гл. И было установлено, что второй закон Ньютона (а значит, и основные теоремы динамики) может быть использован и в неинерциальной системе отсчета, если к /-Й точке системы (/=],. .., N) помимо действующих сил приложить силы инерции — переносную, Ji ep = = — miWi ер. и кориолисову, Ji кор = — 2т,- (ш х / o, )- [c.160]

Начиная с этого параграфа, мы всегда будем считать, что оси I, т), направлены по главным осям тела для точки О. При таком выборе осей кинетическая энергия тела, как это было выяснено в 3, может быть предстгвлена формулой (43). Положим 1 = г1з, 2 = Ф. = 0 и, собираясь составить уравнения Лагранжа для тела с неподвижной точксй, прежде всего найдем, чему равны обобщенные силы, соответствующие эйлеровым углам. [c.191]

Уравнения Лагранжа для потенциальных сил. Если силы, действующие на точки системы, являются потенциальными, то для обобщенных сил справедлива формула Ql = дШддх. Силовая функция П не зависит от обобщенных скоростей, поэтому производную от нее по обобщенной скорости дUlдq = О можно добавить к дT/дqi. С учетом этого после переноса всех слагаемых в левую часть получим следующую систему уравнений Лагранжа [c.397]

Предположим в той же задаче о движении груза, что сила Ф — 0, а следовательно, и Q = 0, но вместо этого задано движение конца пружины — точки А в направлении оси Ол — в форме г — г (7) (рис. 118, б). Составим уравнение Лагранжа для груза в этом случае. По-ирежнему [c.434]

Две материальные точки с массами mi и пи. связаны нитью, ijpaxo-дящей через отверстие в гладком столе , причем гп находится на поверхности стола, а m2 — ниже этой поверхности. Предполагая, что Шг движется строго по вертикали, выберите обобщенные координаты этой системы и напишите уравнения Лагранжа для нее Постарайтесь выяснить физический смысл каждого из этих уравнений. Сведя задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка, получите его первый интеграл. Каков его физический смысл (Движение рассматривается лишь до тех пор, пока масса mi или гпг не пройдет через отверстие.) [c.40]

Воспользоваться уравнениями Лагранжа для получения равнений движения твердого TfMia около неподвижной точки в форме [c.213]

Второй пример —это маятиик, обладающий дву. 1я степенями свободы. Наиболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости, если пользоваться приближением малых колебаний (z будет отличаться от своего равновесного значения только на величину, содер-жаш,ую квадрат амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что величины FJm и FJm будут равны соответстпеино — gx/l и —gy/I, где через I обозначена длина маятника. Если пренебречь z во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут [c.117]

Этих уравнений недостаточно для решения задач теори трещин, поскольку необходимо располагать смещениями точек, поверхности трещины. Следовательно, приведенные соотношения являются дополнительными к уравнениям теории упругости, т. е. для решения задачи необходимо решить систему уравнений теории упругости совместно с условием разрушения. Например, к соотношениям (29), (30) можно добавить вариационное уравнение Лагранжа для тела, свободного от заданных нагрузок, но с трещиной, на поверхность которой действуют ри [c.34]

Глобальная дифференциальная геометрия и алгебраическая геометрия помогли найти самодуальные решения классических уравнений Лагранжа для неабелевой калибровочной теории. Квантовая теория поля строится на этих классических решениях. Пока неясно, каким образом новые решения повлияют на не-пертурбативные свойства калибровочных теорий. Неизвестно и то, как следует проводить расчеты, не [c.19]

Эти к уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, они впервые были получены Лагранжем в его Аналитической механике и потому называются уравнениями Лагранжа. Важно обратить внимание на то, что, во-первых, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат данной системы, т. е. равно числу ее степеней свободы, и, во-вторых, что неизвестные реакции совершенных связей, наложенных на систему, в эти уравнения не входят. Уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с к неизвестными функциями д ,. .., Если проинтегрируем эти уравнения, то найдем координаты механической системы 911 > 9йКак функции времени I, а потому будем знать положение этой системы в любой момент времени, и, следовательно, движение системы будет полностью определено. Таким образом, когда уравнения Лагранжа для данной механической системы составлены, то решение второй основной задачи динамики, т. е. определение движения системы под действием заданных сил, сводится к математической задаче интегрирования этих уравнений. [c.555]

Составление уравнений Лагранжа для электрических цепей с сосредоточенными параметрами Уравнения движения для соответствующих электрической и механической систем аналогичны. Но уравнения механической системы можно получить, используя методику составления уравнений Лагранжа. 2-го рода если использовать ту же методику, но вместо обычных механических величин брать электрические, по приведенной таблице, то уравнения Лагранжа, например, вида (1) будут являться уравнениями многоконтурной электрической системы. Рассмотрим систему рис. 3. Нетрудно убедиться, что эта система имеет две степени свободы например, задание силы тока /1 на участке АВ и /2 на участке ВС полностью определяет силу тока на любом участке. Действительно, обозначая /3 силу тока на участке ВЕ, из условия = 4 + (так как при разветвлении в точке В потерь тока не происходит), находим = —121 при слиянии тока с участков ОЕ и ВЕ получаем для ЕР (и ЕА) силу тока /2+( 1— 2)= . Можно считать, что ток в цепи получается за счет тока 1 по контуру АВЕР и тока /2 по контуру ВСВЕ тогда на ВЕ — разность токов 1 —/2. Так же, как выбор обобщенных координат для механических систем, выбор определяющих токов неоднозначен. Можно, например, принять за основные ток на АВ и ток 2 на ВЕ остальные токи при этом выборе определяющих параметров показаны на рис. 4. Сила тока равна скорости изменения величины заряда объекта обобщенные координаты в данном случае — величины зарядов д и 2, отсчитываемые от некоторого уровня. Индексы у параметров цепи берем соответственно токам на АВ при токе (если есть еще индуктивности при токе /1, то и т. д.), Си при токе /1—/2 и т. д. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...