Тело изотропное — Зависимость между деформациями и напряжениями

Приведенные в первой главе формулы и уравнения справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она упругой, пластической или находится в любом другом физическом состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для которых зависимости между деформациями и напряжениями носят линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука. По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а тела с различными упругими свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке линейная [c.68]

Зависимости между деформациями и напряжениями для упругого изотропного тела. Связь между линейными деформациями в направлениях осей X, у, г и нормальными напряжениями в тех же направлениях [c.178]

Зависимости между деформациями и напряжениями для упругого изотропного тела [c.37]

Тело изотропное — Зависимость между деформациями и напряжениями в пределах упругости 37 [c.393]

Формулы для определения напряжений можно получить как через перемещения, так и через деформации. Зависимость между перемещениями и напряжениями для изотропного тела в цилиндрических координатах записывается так [c.168]

Деформируемое тело, полностью восстанавливающее свои размеры и форму после снятия нагрузки, называется упругим. Для изотропного однородного упругого тела при малых деформациях и напряжениях, не превышающих некоторых определенных значений, принимаем линейные зависимости между компонентами деформации и компонентами напряжения. Эти линейные зависимости выражают собой закон Гука [c.180]

Формулы (6.51) выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела, т. е. зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае трехосного напряженного состояния. Заметим, что сжимающие напряжения подставляют в эти формулы со знаком минус . Из формул (6.51) легко получить формулу закона Гука для плоского напряженного состояния. Например, для случая О2 = 0 [c.194]

В этой ветви рассматривается идеализированная среда, которая имеет следующие свойства однородность, сплошность, изотропность, упругость, линейность зависимости между напряжениями и деформациями (физическая линейность). Кроме того, имеется в виду, что тело (здесь подразумевается материал, форма и размеры тела) обладает достаточно большой жесткостью, вследствие которой перемещения малы по сравнению с характерными размерами тела, а повороты малы по сравнению с единицей. Последнее обстоятельство позволяет довольствоваться линейным приближением зависимостей между перемещениями и деформациями (геометрическая линейность). [c.609]

Зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций, например, для изотропного трехмерного вязкоупругого тела можно представить в виде линейных дифференциальных операторов [c.10]

Они выражают линейную зависимость между составляющими деформации и напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука, [c.35]

Нелинейно-упругое тело ). Пусть нелинейно-упругое однородное и изотропное тело содержит в себе трещины нормального разрыва. Будем считать, что среда несжимаема и подчиняется произвольной степенной зависимости между интенсивностью касательных напряжений / и интенсивностью деформаций сдвига Г. Эту зависимость можно рассматривать в качестве удобной аппроксимации произвольной связи между / и Г в интервале величин, характерных для окрестности контура трещины. [c.111]

Все сказанное остается правильным лишь для изотропного тела. Только для изотропной среды мы можем сделать вывод об отсутствии перекосов при простом растяжении. Мало того, все рассуждения могут быть приняты только в случае линейной зависимости между напряжениями и деформациями, так как теорема взаимности работ верна лишь для линейных систем. [c.42]

Предметом классической теории упругости является напряженно-деформированное состояние твердых тел, модель которых имеет следующие свойства 1) сплошность, 2) идеальную упругость, 3) линейность зависимости между напряжениями и деформациями, 4) достаточную жесткость (малость перемещений), 5) однородность, 6) изотропность. [c.4]

До сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривали независимо одно от другого и не связывали со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного - с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке. [c.330]

В предположении, что деформации малы (геометрическая линейность), но зависимость между напряжениями и деформациями нелинейна, эту нелинейную зависимость для вязкоупругого изотропного тела можно представить как [c.258]

Упругое тело называют анизотропным, когда его упругие свойства различны в различных направлениях. Поведение под нагрузкой такого тела даже при линейной зависимости деформаций от напряжений принципиально усложняется по сравнению с описанием поведения изотропного тела. Как показали опыты с анизотропными телами, любая из компонент тензора напряжения может привести к возникновению всех компонент тензора деформаций. Например, если брус прямоугольного поперечного сечения, изготовленный из анизотропного материала, равномерно растягивать вдоль оси, то в общем случае анизотропии такой брус кроме удлинений вдоль оси и изменений размеров поперечного сечения (различных в каждом направлении) будет претерпевать и деформации сдвига во всех трех плоскостях, приводящие к изменению первоначально прямых углов между его гранями. [c.8]

Изотропное линейно-упругое тело обладает одинаковыми механическими свойствами во всех направлениях. Зависимости между напряжениями и деформациями для него можно представить в виде матрицы [c.20]

Рассмотрим твердое тело, упругие свойства которого не зависят от ориентации координатных осей (т. е. изотропное упругое тело). Далее, если предположить, что тело является идеально упругим, то согласно закону Гука будет иметь место линейная зависимость между напряжениями и деформациями [c.106]

Приведенные выше формулы теории напряженного и деформированного состояния применимы как для упругих, так и неупругих тел. Для решения контактных задач необходимо знать количественные зависимости между напряжениями и деформациями. Рассмотрим их для случая линейно упругих, изотропных тел. [c.96]

Те, кто использовал линейную аппроксимацию и испытал выгоду от ее теоретической простоты, подразделили зависимости между напряжением и деформацией на различающиеся множества, каждое из которых сделалось предметом специального исследования. Описание тел на основе схемы линейной упругости привело к обширной экспериментальной программе определения постоянных упругости для изотропных и анизотропных предположительно однородных сред. Далее, это привело к исследованию зависимости этих упругих постоянных (упругих жесткостей или податливостей) от разнообразных параметров, таких, как температура окружающей среды, скорость изменения напряжений, скорость деформации, предшествующая термическая, химическая механическая истории и окружающие электрическое и магнитное поля. По большей части численные значения были табулированы и каталогизированы не просто с целью их собирания (хотя на самом деле это иногда и случалось в наше время), но скорее для исследования и сравнения осмысливаемых экспериментальных данных с теоретическими трактовками с подчеркиванием функциональной зависимости от различных параметров. [c.534]

Это и будут нужные нам зависимости между составляющими напряжения и деформации в случае изотропного тела. [c.46]

Деформационная теория пластичности [3, 4] предполагает наличие однозначной зависимости между суммарными деформациями в упруго-пластическом теле и напряжениями. Для изотропного тела основные соотношения деформационной теории имеют вид [c.531]

Известно, что ограничения, накладываемые результатами простейших экспериментов (связь между напряжениями и деформациями при растяжении-сжатии, чистом сдвиге и т.п.), не определяют полностью функцию Ф, поэтому, вообще говоря, можно построить сколько угодно зависимостей между компонентами напряжений и деформаций для упругого изотропного тела, приводящих при одноосном растяжении-сжатии к линейному закону Гука [3, 4]. [c.112]

Очевидно, что могут быть предложены различные непротиворечивые модели упругого изотропного тела, приводящие при экспериментах на одноосное растяжение-сжатие и чистом сдвиге к линейной зависимости между напряжениями и деформациями. [c.121]

При выводе уравнений движения твердой среды (2.7) было отмечено, что эти уравнения справедливы при любых зависимостях между напряжением и деформацией. Волновые уравнения изотропного упругого тела были затем получены подстановкой из соответ- [c.44]

Прежде всего из самого допущения изотропности тела следует, что главные оси иапряжения должны совпадать с главными осями деформации действительно в изотропном теле растяжение или сжатие в направлении главных осей не может, очевидно, вызвать какого-либо изменения углов между этими осями. Отсюда следует, что закон упругости должен выражать зависимость между главными напряжениями и главными удлинениями вд. Из опыта мы устанавли- [c.28]

Уравнения обобщенного закона Гука мы приняли без доказательства в том виде, как они даются в сопротивлении материалов. Ниже, в 18—23, приводятся соображения, доказывающие, что эти уравнения дают самую общую зависимость между напряжениями и деформациями в изотропном упругом теле. [c.75]

Наиболее общую зависимость между составляющими напряжения и составляющими деформации в упругом теле даёт обобщённый закон Гука, согласно которому составляющие напряжения в данной точке тела суть линейные и однородные функции составляющих деформаций в той же точке. В самом общем случае упругого тела шесть уравнений этого закона содержат 21 упругую постоянную. Эта зависимость сильно упрощается для изотропных тел, у которых упругие свойства во всех направлениях одинаковы. Для таких тел число независимых упругих постоянных уменьшается до двух А,. Закон Гука для изотропного тела имеет вид [c.120]

Соответственно, изотропным называют тело, упругие свойства которого одинаковы во всех направлениях (в таком теле зависимость между напряжениями и деформациями не изменяется при повороте координатных осей). Примером анизотропных тел являются, как известно, кристаллы, упругие и пластические свойства которых существенно зависят от направления, в котором кристаллу придается деформация (например, растяжение). [c.13]

Объектом исследования теории упругости является тело произвольной формы, нагруженное произвольной системой сил. Основные допущения следующие де рмации тела от приложенной системы сил небольшие (е <С 1), связь между напряжениями и деформациями может быть описана линейной зависимостью, которую обычно называют законом Гука, и материал тела обладает свойствами однородности и изотропности. Эти допущения достаточно общие, поэтому полученные на их основе зависимости и уравнения тоже носят общий характер, пригодный для любого конкретного случая. [c.10]

Теорема о квадратичной зависимости изотропной тензорной функции ог симметричного тензора представлена в 7. В 8—9 рассмотрена задача об обращении этой зависимости. Здесь существенно использована работа П.И.4. Новожилов В. В, О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругих телах.—Прикладная математика и механика, 1951, т. 15, № 2, [c.508]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

В общем случае следует считать, что композиты изотропны и однородны. Если рассматривать эти материалы с макропозиций, то можно считать, что они представляют собой однородные анизотропные вещества. Воспользуемся этим допущением. Положим, что имеем дело с однородным телом, для которого зависимость между напряжениями и деформациями в декартовой прямоугольной системе координат х, у, z может быть представлена в следующем виде [c.23]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

В основе деформационной теории пластичности лежат гипотезы, предложенные Хубером [397], Мизесом [423], Хенки [395 и обобщенные на случай материала с упрочнением Надаи [200]. Она предполагает, что для упругопластических тел можно установить зависимости между напряжениями и деформациями, подобно закону Гука для упругих тел. Развитие и обоснование теории малых упругопластических деформаций связано с работами Ильюшина, поэтому часто теорию малых упругопластических деформаций называют теорией пластичности Ильюшина. Здесь принимается, что при простой активной деформации первоначально изотропного материала, свойства которого не зависят от третьего инварианта тензора напряжений, справедливы следующие три гипотезы. [c.42]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

Джеральд Лаверн Эриксен указал, что скорости главных волн в изотропном теле по Трусделлу принимают более простую форму, если их выразить в терминах зависимости, представляющей главные напряжения в виде функций главных удлинений . (Truesdell [1961, 1], стр. 275, сноска 7). Эксперимент и теорию можно сравнить по соответствующим скоростям продольной и поперечной волн, t/II и распространяющихся вдоль главных осей. Для равномерного всестороннего растяжения (сжатия) результаты Трусделла принимают особенно простую форму. Имея значения скоростей волн, найденные в моих опытах по продолжительности их прохождения между точками, отстоящими от плоскости соударения на расстояниях, равных длине V4 и V2 диаметра, для установления зависимости между напряжением и временем достаточно найти деформацию 8 и плотность р из уравнения Трусделла. Результаты таких вычислений, основанных на данных, представленных на рис. 4.232 (кружки на рис. 4.233), показывают, что образование пика в значениях напряжений и последующее их падение, описанное в терминах этих теоретических скоростей волн, хорошо согласуются с зависимостью изменения напряжений во времени непосредственно у [c.336]

В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом слзгчае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения устцровим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями вхх, вуу и е (координатные оси х,у, г направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Хх, У у и Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, Хх можно представить в таком виде [c.45]

Формулы (1) и дают искомую зависимость между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. Величины Я, [а представляют собой постоянные, характеризуюш ие упругие свойства данного тела ). Обозначения эти были введены Ламе (G. Lame, 1795—1870) поэтому Я и [X называются постоянными Ламе. Для каждого данного материала они должны быть определены экспериментально ). [c.64]

Мы изложили здесь в самых общих чертах вывод основных уравнений математической теории изотропного упругого тела, подвергнутого бесконечно малой деформации. Необходимо, по крайней мере вкратце, отметить, что некоторые материалы, хрупкие или обладающие пористой структурой с мягкими и слабыми включениями (чугун, бетон), но следуют линейным зависимостям между напряжениями и деформациями, выраженным уравнениями (25.2), (25.3) или (25.14). Кривая простого растяжения или сжатия для таких материалов в пределах малых деформаций состоит из двух сегментов—одного Qx f ( х) для стадии нагрузки и другого, с более крутым уклоном d x d x> для разгрузки. Эти материалы обнаруживают обычно весьма заметный упругий гистерезис с характерными для него петлями в кривых деформирования иод иеременными циклами нагрузки и разгрузки (гл. 1П). Делались разнообразные попытки использовать аппарат математической теории упругости также и для этих материалов, соответствеппо его обобщив. Поскольку такие материалы обнаруживают отчетливые изменения объема, то в определенных случаях представляется достаточным принять для них линейную зависимость между малым упругим изменением объема [c.445]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...