Теорема Безу вторая

Рассматривая особые случаи пересечения поверхностей второго порядка (три теоремы), необходимо отметить, что линия их пересечения на чертеже может быть найдена без использования вспомогательных секущих поверхностей. В этих случаях одна проекция линии пересечения находится по теореме, а вторая — с использованием условия принадлежности (см. п. 26.5). [c.76]

Теорема (без доказательства). Решение вариационного неравенства (5.372), если оно существует и обладает вторыми производными (хотя бы обобщенными), удовлетворяет всем уравнениям и условиям задачи в дифференциальной постановке. [c.293]

Поверхности второго порядка широко используются в различных изделиях. При построении линии их пересечения можно использовать рассмотренные нами способы. Но в частных случаях эти линии можно построить быстрей и точней, если использовать известные теоремы, которые мы примем без доказательств. [c.192]

Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии без необходимости рассматривать члены высших порядков. [c.341]

При всяком непрерывном движении тела около точки О первый конус катится без скольжения по второму. Чтобы это показать, достаточно рассмотреть два сферические поверхности, описанные тем же радиусом около неподвижной точки О, из которых одна неизменно связана с телом и движется вместе с ним, а вторая остается неподвижной в пространстве. Точка пересечения оси 0J с этими поверхностями опишет две сферические кривые. Рассуждение,которое приводит к аналогичной теореме в кинематике на плоскости ( Статика", 16) может быть полностью воспроизведено и в данном случае. Оно показывает, что при непрерывном движении тела первая из этих кривых катится без скольжения по второй. При изучении некоторых важных вопросов встречается случай, когда оба конуса являют круглыми конусами вращения, а угловая скорость остается постоянной. Соответствующий тип движения называется прецессионным", так как астрономическое явление прецессии, или предварения равноденствий, является одним из главных его примеров. [c.73]

Теорема 1. Если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и это узнается уже по членам второго порядка в разложении функции П в ряд в окрестности положения равновесия без необходимости рассматривания членов высших порядков, то положение равновесия неустойчиво. [c.493]

Если мы хотим исследовать тела без начальных напряжений, то в выражениях (45) мы должны положить P = 0. Это можно доказать с помощью второй теоремы о минимуме упругой энергии (гл. 111, 89) следующим образом выберем [c.515]

Для того чтобы избежать образования срыва в каналах колеса, а тем самым и возможного появления помпажа, относительную скорость и>2г надо делать достаточно большой. Относительная скорость воздуха в каналах колеса получается как сумма двух скоростей первой — радиальной скорости, постоянной на каждом радиусе и определенной расходом воздуха, и второй — циркуляционной скорости гпц. Среднюю скорость циркуляционного движения (рис. 10, б ), вызванного силами инерции, можно определить следующим образом по теореме Стокса циркуляция по любому контуру, проведенному в движущемся без трения воздухе, равна двойной площади контура, умноженной на угловую скорость вращения частиц воздуха. По инерции частицы воздуха, попав во вращающееся колесо, стремятся двигаться без вращения, как они двигались до входа в колесо, и поэтому в относительном движении по отношению к вращающемуся колесу они будут иметь постоянную угловую скорость вращения, равную угловой скорости колеса [c.37]

В заключение отметим, что общность способа составления уравнений Лагранжа, доведенная до математического алгоритма, приводит иногда к формальному анализу без ясного понимания взаимодействия сил. Поэтому в тех случаях, когда необходимо провести анализ сил, возникающих в системе при ее движении, целесообразно пользоваться общими теоремами динамики либо комбинировать эти теоремы с уравнениями Лагранжа, как это было сделано нами в этом параграфе при рассмотрении второго случая. [c.447]

Это есть пространство, пройденное равноускоренным движением во время X с ускорением ] (когда точка выходит из начала счета без начальной скорости). Вторая часть нашей теоремы доказана. Для доказательства первой части теоремы определяем косинусы углов [c.51]

Подобным же образом, но без скобок, обозначается номер теоремы, леммы, определения и замечания например, теорема V, 2.10 обозначает теорему десятую во втором параграфе пятой главы. При ссылках внутри данной главы указание на номер главы не делается. Все главы, кроме первой, сопровождаются задачами некоторые из них могут служить предметом самостоятельных работ исследовательского значения. [c.10]

Эти теоремы по существу устанавливают тот простой факт, что подкачка энергии в систему, необходимая для ее раскачки в первом случае или для восстановления ее равновесного положения — во втором, невозможна без отрицательного трения или цикла. Аналогично для откачки энергии из системы необходимо наличие либо положительного трения, либо цикла. [c.247]

Начиная с этого момента времени (назовем его /р) происходит процесс разгрузки от тепловой нагрузки. Согласно теореме о разгрузке [10] этот процесс идет упруго, а наличие пластической составляющей приводит к неизбежному развитию остаточных напряжений. Когда каждую из составляющих напряжения можно представить как сумму двух функций фг+Ч г (рис. 7). Первое слагаемое этой суммы представляет собой результат рещения упругопластической температурной задачи, соответствующей распределению температуры в момент времени ti. Если распределение температуры принять в соответствии с теорией распространения тепла при сварке [8], то При мгновенно действующем источнике тепла будет периодом времени после действия источника тепла. Первое слагаемое является функцией времени, координат пространства, теплофизических свойств металла, погонной энергии источника тепла и размеров изделия. Второе слагаемое можно рассматривать как функцию пластической составляющей внутренних деформаций, развивающихся в предыдущий момент времени tp = = t —М. Соотнощение между этими величинами все время изменяется. Чем больше ti, тем меньше становится первое слагаемое и тем больше второе. При ti = oo функция фг становится равной нулю, а функция не зависящей от времени и равной остаточным напряжениям без учета напряжений, развивающихся в результате фазовых превращений. [c.245]

Кроме отмеченных в 5 свойств параллельных проекций, для ортогонального проецирования будет справедлива следующая теорема для того чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к этой плоскости. [c.21]

Теперь опишем все части с большей подробностью. Первая часть Общие методы не изменилась по содержанию, только исправлены некоторые недостатки и кое-где введены некоторые дополнения. А именно, в главу И прибавлены поясняющие примеры и введен дополнительный раздел, дающий понятие об устойчивости при постоянно действующих возмущениях и приведено доказательство теоремы Ляпунова о производном определителе, которая в 1-м издании дана без доказательства. Наконец, подробно рассмотрен важный пример Ляпунова составления характеристического уравнения для уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. [c.7]

Уравнение Больцмана. В общих чертах положение с математическим исследованием уравнения Больцмана можно описать следующим образом. Имеется два хорошо изученных предельных режима. Первый из них — свободномолекулярное течение, при котором частицы не взаимодействуют между собой. Второй — термодинамическое равновесие, которое описывается распределением Максвелла. Почти все известные сейчас теоремы гарантируют разрешимость краевых задач в ситуациях, достаточно близких к какому-нибудь из указанных режимов. Единственная задача, для которой разрешимость в целом удается доказать без серьезных ограничений на данные задачи,— задача Коши для пространственно-однородного газа. [c.285]

Вспомогательные предложения. Прежде чем перейти к доказательству второй основной теоремы, которая покажет нам, какие траектории могут быть предельными, нам придется остановиться на ряде вспомогательных предложений, связанных с так называемым отрезком без контакта . Возьмем на фазовой плоскости какую-нибудь точку Л1о(лго, Уо), отличную от состояния равновесия. Пусть [c.402]

Р е щ е н и е. Как и в предыдущем примере, применим равенство (1,110b). При вычислении кинетической энергии колесных скатов необходимо использовать формулу (1. 108), вытекающую из теоремы Кенига. При вычислении работы сил, приложенных к вагону, можно положить, что работа нормальных реакций рельсов и сил трения скольжения равна нулю. Работа сил трепня скольжения равна нулю, гак как по условию задачи колеса катятся без скольжения. Работа сил трения второго рода входит в состав работы сил сопротивления, зависящей от коэффициента общего сопротивления /. [c.104]

В гл. V Динамика системы автор, обсуждая идеп Германа п Эйлера, развитые Лагранжем, указывает на бесплодность споров о реальности даламберовых сил инерции. Общие теоремы динамики (без реакций связей) выводятся из принципа Эйлера — Лагранжа и применяются к решению ряда интересных задач, иллюстрирующих эти теоремы. При выводе уравнений Лагранжа подчеркивается, что они справедливы лишь для голоном-пых определяющих координат, и отмечается ошибка К. Неймана. Здесь же излагается способ определения неизвестных реакций с помощью уравнений Лагранжа второго рода, который подробно иллюстрируется примерами. [c.6]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

Во второй теореме взаимности, также принадлежащей 1ельмгольцу, конфигурация О подвергается нeзнaчliтeльнoй вариации путем изменения одной из координат ца величину причем все импульсы остаются без изменения, тогда по истечении промежутка времени х получатся изменения импульсов пусть один из них изменился на величину ср/. Аналогично в обращенном едвижении изменение координаты 8 по истечении промежутка т произведет изменение импульса на Вторая теорема взаимности выражается формулой [c.281]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Если Ц. с. равна кулю по любому контуру, проведённому внутри жидкости, то течение жидкости— звихре-вое, или потенциальное, и потенциал скоростей—однозначная ф-ция координат. Если же Ц. с. по нек-рым контурам отлична от нуля, то течение жидкости либо вихревое в соответственных областях, либо безвихревое, но с неоднозначным потенциалом скоростей (область течения многосвязная). В случае потенц. течения в многосвязной области Ц, с. по всем контурам, охватывающим одни и те же твёрдые границы, имеет одно и то же значение. Ц. с. широко используется как характеристика течений идеальной (без учёта вязкости) жидкости. По динамич. теореме Томсона (Кельвина) Ц. с. по замкнутому жидкому контуру остаётся постоянной во время движения, если, во-первых, жидкость является идеальной, во-вторых, давление (газа) жидкости зависит только от плотности, в-третьих, массовые силы потенциальны, а потенциал однозначен. Для вязкой жидкости Ц. с. со временем изменяется вследствие диффузии вихрей. При плоском циркуляц. обтеканий контура идеальной несжимаемой жидкостью, при к-ром скорость на бесконечности отлична от нуля, воздействие жидкости на контур определяется по Жуковского теореме и прямо пропорционально значению Ц. с., [c.441]

Кроме меридионального сечения мы через точку х, г проведем еще второе сечение, перпендикулярное к оси х, и третье сечение, перпендикулярное к двум первым. Следы новых секущих плоскостей на меридиональной плоскости будут параллельны осям г к х. Вследствие симметрии, в обеих секущих плоскостях в точке х,г могут действовать лишь такие касательные напряжения, которые параллельны меридиональной плоскости. По теореме о равенстве касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам эти оба касательных напр5]> ения должны иметь одинаковую величину. Поэтому, не боясь недоразумений, мы оба напряжения можем обозначить буквой т без добавления значков. Нормальные напряжения, действующие в секущих плоскос1ях, мы, как обычно, обозначим через jj. и Их, как и т, нужно считать функциями от д и г, Знаки всех напряжений определяются по правилам, установленным в начале книги. [c.144]

Решение. Определим вначале положение центра тяжести полукруга. Воспользуемся для этого второй теоремой Паппа Александрийского (вторая половина III в.). Эту теорему Папп сформулировал без доказательства. Доказательство было дано Паулем Гульдином, швейцарским математиком, в 1640 г. [c.296]

Следует учесть, что если в идеально пластическом теле не происходит разгрузки, то среди всех статически возможных полей напряжений реализуются те, которые минимизируют работу упругой деформации Инженеры часто могут обойтись без подробной информации о напряжениях и деформациях, если известна несущая способность конструкции. Теория предельного равновесия, сформулированная в терминах строительной механики А. А Гвоздевым основана на двух теоремах 1. Тело выдержит внешние нагрузки, если возможно поле усилий, при котором в теле нигде не нарушатся условия равновесия и условия прочности. 2. Тело разрушится, если поле деформаций удовлетворяет условиям совместности, при которых мощность внешних сил больше мощности внутренних сил. При этом скорость изменения мощности внутренних сил должна быть всюду неотрицательной. Первая теорема позволяет находить нижнюю, а вторая — верхнюю оценки несущей способности конструкций. Строгое доказательство этих теорем для континуальной модели дали соответственно С. М. Фейнберг и А. А. Марков Надо отметить, что вначале значение теории [c.265]

Во второй половине XIX в. появилось учение о вихреном двин<с-нии жидкости, создателем которого справедливо считают Гельмгольца, указавшего в 1858 г. основные свойства вихрей в идеальной жидкости. Само понятие вихря и его интерпретация, как угловой скорости вращения жидкого элемента в целом, были даны раньше Коши в 1815 г. и Стоксом в 1847 г. возможность движения без потенциала скоростей была указана Эйлером еще в 1775 г. Теория вихрей имеет обширную литературу, в которой тесно переплетаются вопросы гидродинамики с аналогиями в области электричества и магнетизма. Магнитные линии вокруг электрического проводника эквивалентны линиям тока вокруг вихревой нити (теорема Био — Савара служит основой как для расчета движения жидкости вокруг вихревых линий, так и для расчета магнитного поля вокруг электрического тока). Теория вихрей сыграла большую роль в развитии динамики атмосферы, теории крыла самолета, теории пропеллера и корабельного винта и др. Об этих приложениях, получивших особенное развитие в работах русских ученых (Н. Е. Жуковского — по вихревой теории винта и А. А. Фридмана — по вихрям в атмосфере), будет упомяпуто в следующем параграфе. [c.26]

Но такая замена не может быть допущена при решении тех вопросов, при которых необходимо принимать во внимание величины второго порядка, например при нахождении ускорения движения. Это не следует упускать из виду. Одновременные скорости разных точек фигуры будут пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра, но ускорения их не будут пропорциональны расстояниям от этого центра. Указанный нами мгновенный центр есть центр перемещений и скоростей, но не ускорений, для которых существует совсем другой центр. Мы упоминаем об этом, чтобы предупредить ошибку, в которую легко впасть, если не обратить внимания на смысл теоремы Шаля, определяющийся выводом ее, а прямо руководствоваться словесным ее изложением, поставленным нами в начале доказательства, и понимать его безусловно и без рсяких ограничений. [c.60]

Теоремы единственности играют особо важную роль для математического изучения задач физики и механики без исследования единственности (или неединственности) решения математической задачи нельзя утверждать, что полученное решение действительно описывает исследуемое физическое состояние. Кроме того, мы увидим, что интересующие нас задачи классической теории упругости, микрополярной упругости и термоупругости приводят к определенным системам линейных сингулярных интегральных уравнений и для этих систем остается в силе классическая теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Благодаря этому, из теорем единственности мы получим также теоремы существования. [c.120]

Возникает вопрос, является ли решение, найденное при помощи только трех функций Папковича — Нейбера, полным. На эту тему возникла обширная дискуссия и накопилась уже обширная литература ). Две теоремы, касающиеся этой проблемы, сформулировал Слободянский. В первой утверждается, что функцию ф можно без ограничения общности принять равной нулю, если рассматриваемая область является ограниченной и односвязной или если она является внешностью некоторой замкнутой поверхности. Во второй теореме утверждается, что без ограничения общности одну из функций всегда можно положить равной нулю. [c.187]

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительно легко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования. [c.297]

И эта теорема впервые была доказана Рэйли [ ], правда, при некоторых ограничивающих предположениях. Позже она была доказана в более общем виде В. Толмином [ 1. Согласно этой теореме, внутри течения существует в случае нейтральных возмущений такой слой у г/ р, в котором V — с = 0. Это обстоятельство так же, как и существование точки перегиба на профиле скоростей, имеет фундаментальное значение для теории устойчивости. В самом деле, точка С/ — с = О является особой точкой дифференциального уравнения возмущающего течения без учета трения (16.16). В этой точке вторая производная ф" равна бесконечности, если только здесь не обращается в нуль вторая производная С/". Слой у = г/ р, в котором V = с, называется критическим слоем основного течения. Если [ 7кр О, то в окрестности критического слоя, где можно принять, что [c.430]

В силу лемм 8, 11, 12 точками первого типа заведомо являются все достаточно близкие к точке А точки дуги %, а точками второго типа — все достаточно близкие к точке В точки дуги Я. Двигаясь по дуге к от точки А к точке В, мы переходим от точек первого типа к точкам второго типа. Следовательно, на дуге к должна существовать некоторая точка С, являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой второго типа. Но последней точки первого типа (т. е. последней точки, через которую проходит неособая це.чая траектория) в силу лемм 8, 11 и 12 существовать не может. Следовательно, точка С является первой точкой второго типа. Через эту точку проходит неособый элемент, по являющийся целой траекторией, т. е. либо по.чутраектория, пересекающая граничную дугу без коптакта, либо дуга траектории, концы которой лежат па граничных дугах без контакта. Но в обоих этих случаях в силу леммы 13 точка С не может быть на дуге к первой точкой второго типа. Следовательно, все неособые элементы рассматриваемой ячейки являются целыми траекториями. Совершенно такое же рассуждеш1е справедливо также в случае, когда в данной ячейке существует полутраектория или дуга траектории, пересекающая граничную дугу без контакта. Теорема доказана. [c.300]

Справедливость второго утверждения теоремы в случае, когда континуумы А и являются свободными, непосредственно следует из теоремы 72. В случае, когда континуумы и являются несвободными сз- или а-предельными континуумами, всегда можно в силу условия 4) тождественности схем установить такое тонологическое соответствие между точками циклов без контакта С и С, при котором точкп пересечения с этими циклами полутраекторий ( ), ( ) и ( ), ( ), соответствующих друг другу по схеме, соответствуют друг другу. В силу замечания к теореме 72 существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг на друга, прп котором установленное соответствие между точками циклов С и С сохраняется. Таким образом, теорема доказана. [c.446]

Но по второму закону термодинамики, за счет одних только внутренних процессов, без отбора тепла наружу, энтропия вещества не может уменьшаться. Отсюда следует невозможность распространения волны разрежения в виде разрыва, и из двух режимов, существование которых допускается законами сохранения массы, импульса и энергии, требование возрастания энтропии выбирает только один — ударную волну сжатия. Это положение носит совершенно общий характер и известно под названием теоремы Цемплена. В следующем параграфе будет показано, что в волнах слабой интенсивности при условии положительности второй производной (д р/дУ )з > О совокупности неравенств (1.86) или (1.87) выполняются одновременно, совершенно независимо от конкретных термодинамических свойств вещества. Это положение можно доказать и для волн не малой амплитуды и произвольного вещества. Единственное условие, которое накладывается на свойства вещества,— это чтобы ударная адиабата во всех точках была обращена выпуклостью вниз д р/дУ )ц > О, подобно тому как это имеет место для идеального газа с постоянной теплоемкостью. Подавляющее большинство реальных веществ обладает именно такими свойствами, так что утверждение о невозможности существования ударных волн разрежения имеет весьма общий характер (о некоторых исключениях речь пойдет ниже). [c.59]

Рассмотрим систему с фиксированной энергией Е. Будем предполагать, что энергетическая поверхность Е (р, q) = = onst является инвариантной неразложимой областью Q в Г-пространстве. Это означает, во-первых, что для любой точки Р вся траектория, проходящая через Р, целиком лежит в Q и, во-вторых, что данная область не может быть разделена на две части Q и Q", каждая из которых является инвариантной. Без доказательства отметим тот факт, что неразложимость Q эквивалентна транзитивности движения это означает, что траектория, проходящая через любую точку Р в будет проходить сколь угодно близко к любой другой точке Р в Q. Более того, если предположить, что полный объем Q конечен, то траектория, проходящая через точку Р, будет пересекать ячейку 6Q в Г-пространстве снова и снова теорема возврата Пуанкаре). [c.610]

Если во второй части теоремы отказаться от требования изэнтропичности непостоянного движения, примыкающего к постоянному, то утверждение будет, вообще говоря, неверным. Действительно, примыкание может происходить вдоль траектории (характеристики Со), а не постоянное движение может быть изобарическим (см. 9). Однако если дополнительно предположить, что примыкание происходит по звуковой характеристике, то вторая часть теоремы будет верна и без требования изэнтропичности (впрочем, в этом случае она фактически совпадает с первой частью теоремы). [c.152]

Теорема Делоне — Бертрана. Пусть теперь заданы удар ные импульсы. Рассмотрим два геометрически возможных движе ния системы. Одно — действительное движение, в котором и v, w представляют составляющие скорости точки массой m второе — любое другое движение такое, что мы можем принудить систему принять это движение введением подходящих дополни тельных связей без трения. Например, любую точку можно при нудить двигаться в любом заданном направлении (геометрически возможном) подобно бусинке, насаженной на гладкую проволоку. Пусть и", v", w" представляют составляющие скорости точки т в этом движении. [c.326]

Ещё один вывод состоит в том, что соответствующий второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа является функцией только матрицы Р Р однако, как установлено в теореме 3.3-1, этот факт имеет место и без предположения о гиперупругости. [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...