Вращение твердого тела, малое

При изучении поперечных колебаний обычно пренебрегают малыми продольными перемещениями твердого тела, т. е. полагают координату хс неизменной. Тогда первое уравнение (1 ) отпадает. Если, кроме того, рассматривается равномерное вращение твердого тела, то отпадает и первое уравнение системы (2 ), [c.625]

При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки вектор 0 бесконечно малого поворота определяется, как следует из 61, следующей формулой [c.203]

Движение твердого тела приводится к мгновенному поступательному движению со скоростью ц и к мгновенному вращению с угловой скоростью й. Вращение <0 не зависит от выбранного центра приведения, и вращением твердого тела. Мы имеем тогда следующую теорему [c.290]

При вращении твердого тела момент количества движения стремится препятствовать переориентации оси вращения вследствие высокой линейной скорости частиц тела поэтому малые изменения в ориентации оси вращения соответствуют значительным изменениям в угловой скорости или угловом ускорении. Сопротивляемость вращающегося спутника стремлению изменить ориентацию оси вращения можно показать, сравнивая изменение ориентации оси вращения сферического вращающегося спутника с изменением ориентации той же оси того же самого спутника, находящегося в состоянии покоя, при условии, что в обоих случаях на спутник действует постоянный возмущающий момент [c.217]

Представим себе, что мы рассматриваем положение отрезка АВ через малые промежутки времени А в течение этих промежутков времени тело успевает повернуться на малые углы А0. Чем меньший промежуток времени возьмем, тем больше центров вращения придется определять, но зато тем точнее этот набор центров вращения будет отражать действительную картину движения тела. Еще, уменьшая промежутки времени, мы придем к понятию о мгновенном центре вращения твердого тела. [c.135]

В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике. [c.2]

Отысканию периодических решений уравнений движения быстро вращающегося тела с помощью метода малого параметра посвящены работы Ю. А. Архангельского и его учеников см. обзорную статью [37]). В этих работах в уравнения Эйлера - Пуассона вводится малый параметр е = где с — постоянная, зависящая от начального положения тела, а шо — начальная угловая скорость вращения вокруг большей или меньшей осей инерции. Уравнения движения при этом приобретают вид системы двух квазилинейных уравнений второго порядка, аналитически зависящих от параметра е. Если = О то есть о о = оо), то решения этой системы не имеют механического смысла, а при малых е ф О они представляют быстрое вращение твердого тела. [c.106]

Прошло уже 110 лет с тех пор, как С. В. Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество D ( 4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р ( 4) заполняет эту область всюду плотно. [c.224]

Еще один класс систем динамики твердого тела связан с движением в сопротивляющихся средах. Возникающие здесь динамические системы уже не являются консервативными, а фазовый поток не обладает инвариантной мерой и имеет сжимающие свойства. Эти задачи изучены существенно меньше, чем описанные в книге, тем не менее очевидно, что при любом движении тела имеется трение, приводящее к диссипации энергии и при отсутствии внешнего воздействия — к состоянию покоя. Имеется несколько феноменологических моделей движения тела в диссипативной среде сухое и линейное (по скорости) вязкое трение, квадратичное (по скорости, турбулентное) сопротивление и пр. Мы здесь рассмотрим простейшие модели вращения твердого тела (либо гиростата) вокруг неподвижной точки при отсутствии внешних сил, но помещенного в вязкую среду. Такая постановка является приемлемой при малых угловых скоростях движения и при простой геометрии тела (не приводящих к образованию вихрей), помещенного в сплошную среду. При указанных условиях динамика тела описывается [c.255]

Полученные результаты позволяют представить картину движения свободного твердого тела как непрерывную последовательность элементарных перемещений одним из следующих двух способов. Из первой формулировки теоремы Шаля вытекает, что движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. В свою очередь движение вокруг неподвижной точки представляет собой непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. [c.154]

Предельное положение такой оси, вокруг которой следует повернуть твердое тело на бесконечно малый угол, чтобы перевести его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения [c.179]

Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси 00, совершило за время бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором d((), модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью 00, причем [c.17]

Чтобы определить направление вращения (т. е. направление е), мы опять применим правило правой руки когда четыре пальца правой руки охватывают ось в направлении вращения, большой палец показывает направление вектора . Скорость любой фиксированной точки вращающегося твердого тела можно просто выразить через угловую скорость ю. Охарактеризуем положение данной точки твердого тела в лабораторной системе отсчета радиус-вектором г, проведенным из точки О, находящейся на оси вращения. Через малый промежуток времени той же точке из-за вращения тела будет соответствовать другой радиус-вектор, а ее скорость v = г будет иметь следующее абсолютное значение [c.110]

Предположим, что тело совершило малый поворот. Введем в рассмотрение вектор малого поворота 0, равный по величине углу поворота тела 0 и направленный по оси поворота в такую сторону, чтобы с конца вектора 0 вращение представлялось происходящим в положительную сторону. Малое перемещение точки М твердого тела с вектор-радиусом ОМ = г с точностью до малых высшего порядка определится вектором [c.270]

Доказанная теорема справедлива и для конечных и для бесконечно малых перемещений. Отсюда вытекает сделанный ранее вывод о разложении движения свободного твердого тела в общем случае на переносное поступательное движение вместе с полюсом О и относительное сферическое движение вокруг мгновенной оси вращения ОР, проходящей через этот полюс. [c.396]

Рассмотрим теперь более высокое приближение, сущность которого сводится к тому, что допускаются малые относительные смещения точек твердого тела, но исключим из рассмотрения поступательное движение или вращение тела как целого. [c.6]

Пусть пара сил, приложенная к твердому телу, действует в плоскости, перпендикулярной к оси вращения этого тела. Тогда при повороте на элементарный (малый) угол й(ф силы пары произведут работу (рис. 81, а) [c.103]

Приближенное применение теоремы моментов, уточняющее принцип стремления осей вращения к параллельности. — Если твердое тело вращения, закрепленное в одной из точек своей оси и быстро вращающееся вокруг этой оси, находится под действием силы Я, постоянной по величине и направлению и приложенной к точке оси, то, как было установлено, составляющая г = г угловой скорости, направленная по этой оси, постоянна, а составляющие р, д, нормальные к этой оси, остаются весьма малыми во все время движения. Отсюда следует, что кинетический момент (ОК), направляющие коэффициенты которого равны соответственно (в прежних обозначениях) Ар, Ад и Сл , не удаляется заметным образом от оси тела, так что почти совпадает с этой осью во все время движения. Мы покажем в ближайших [c.161]

Это уравнение поддается такому же анализу, какой был выполнен в случае твердого тела вращения, имеющего неподвижную точку. Мы воспользуемся из этого анализа только тем следствием, что угол наклона 6 оси тела к вертикали стремится к постоянной величине, когда угловая скорость неограниченно возрастает. В самом деле, правая часть последнего уравнения должна быть положительна. Но это может иметь место, если значение Tq очень велико, только в том случае, когда разность р — os 0 есть малая величина первого порядка таким образом, 6 отличается от своего начального значения 0о лишь на очень малую величину первого порядка. Этот результат можно было бы получить непосредственно как следствие гироскопического эффекта. [c.207]

Из того факта, что бесконечно малое ортогональное преобразование можно записать в форме (4.94), вытекает также доказательство теоремы Эйлера, не зависящее от доказательства, изложенного ранее. Действительно, любое конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить с помощью последовательных бесконечно малых перемещений. Но так как бесконечно малое преобразование является вращением, то и конечное преобразование также будет вращением. [c.151]

Но так как озг практически имеет ту же величину, что и о, то полученный результат показывает, что период прецессии Земли составляет 300 дней или 10 месяцев. Поэтому наблюдатель, находящийся на Земле, должен обнаружить, что ось ее вращения описывает окружность вокруг Северного полюса, совершая один оборот за 10 месяцев. Нечто похожее на это явление удается наблюдать в действительности, но амплитуда прецессии оказывается при этом настолько малой, что ось вращения никогда не удаляется от Северного полюса более чем на 5 метров. Следует, однако, заметить, что орбита этого движения оказывается довольно нестабильной, а наблюдаемый период составляет приблизительно 427 дней, а не 300, как это получается по расчету. Флюктуации этого движения приписывают небольшим изменениям в распределении масс Земли, например вызываемым движением ее атмосферы, а расхождение в периоде, видимо, возникает в результате того, что Земля не представляет собой твердого тела, а является телом упругим ). [c.185]

Равновесие твердого тела. Твердое тело, свободно перемещающееся в пространстве, имеет шесть степеней свободы три, связанные с поступательным движением, и три, связанные с вращением. Используя принцип суперпозиции бесконечно малых величин, можно рассмотреть эти два типа перемещений независимо друг от друга. [c.101]

Определение положения твердого тела. Бесконечно малое смещение твердого тела. Винтовое движение. Зависимость момента вращения системы сил от осей координат. Главный момент вращения) [c.37]

В.П. Алексеев и А.П. Меркулов пришли к выводу о перестройке вдоль камеры энергоразделения периферийного квазипотенци-ального вихря в вынужденный приосевой закрученный поток, вращающийся по закону, близкому к закону вращения твердого тела (т = onst) [13, 14, 115, 116]. Отмеченные исследования были проведены в 60-е годы и их основополагающие результаты, а также результаты зарубежных исследователей [227, 234, 237, 246, 255, 261, 265, 268] обобщены в монографиях [35, 94, 164]. В большинстве проведенных исследований измере аничивались лишь установлением качественных зависимостей распределения параметров по объему камеры энергетического разделения в виде функций от режимных и геометрических параметров. Сложность проведения зондирования в трехмерном интенсивно закрученном потоке определяется не только малыми размерами камеры энергоразделения, но и радиальным градиентом давления, вызывающим перетекание газа по поверхности датчика, а следовательно, искажающим данные измерений. В некоторых исследованиях [208] предпринята попытка определения расчетным методом поправки на радиальные перетечки с последующим учетом при построении кривых (эпюр) распределения параметров в характерных сечениях. Опубликованные данные порой имеют противоречивый характер и трудно сопоставимы, так как практически всегда имеются отличительные признаки в геометрии основных элементов и соотношении характерных определяющих процесс параметров. [c.100]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

Так как мы допустили, что точка соприкосновения ножки волчка с плоскостью не лежит на оси (OgS O) и что, с другой стороны, движение твердого тела мало отличается от простого вращения с значительной угловой скоростью около оси Gz, то очевидно, что трение, действуя в любой момент в направлении, прямо противоположном скорости точки волчка, приходящей в соприкосновение с плоскостью, стремится уменьшить величину л угловой скорости вращения. Если предположим для определенности г > О, то будем иметь Дг < О и потому на основании соотношения (44 ) будет [c.216]

И. Малые колебания тела около перманентного движения, представляющего собой чистое верчение. Чистым верчением (ср. т. I, гл. XIII, п. 29) называют всякое вращение твердого тела, опирающегося на поверхность, вокруг общей нормали к поверхности а твердого тела и к поверхности опоры. [c.233]

Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущениям величин р, г. Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий на эллипсоиде инерции (см. рис. 99) вблизи осей Ох и Oz эллипсоида инерции, отвечающих наибольшему и наименьшему моментам инерции, полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси Оу, отвечающей среднему по величине моменту инерцищ полодии не охватывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси. Ниже в п. 235 мы строго докажем неустойчивость стационарного вращения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела. [c.520]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Е. А. Ивин [67] методом расщепления сепаратрис доказал, что в общем случае обсуждаемая задача неинтегрируема. Точнее, он рассмотрел вращение твердого тела с ротором малой массы. Невозмущенной задачей является интегрируемая задача Эйлера [c.274]

Твердое тело, вращающееся с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной оси, содержит замкнутый цилиндрический канал малого посттял-ного сечения, заполненный несжимаемой жидкостью, находящейся в относительном равновесии. Если вращение твердого тела внезапно прекращается,, то [c.287]

Центральная часть закрученного потока газа вращается по закону твердого тела и вследствие малых окружных скоростей извлечение частиц влаги из нее затруднено. Установленные дополнительные закручиватели с уменьшающимися диаметрами создают дополнительную закрутку центральной части потока, уменьшая тем самым диаметр зоны квазитвердого вращения, а частицы, находящиеся в этой зоне, вследствие увеличения окружных скоростей отбрасываются к внутренней поверхности цилиндрической обечайки, что в конечном итоге повышает сепарацион-ную эффективность устройства. [c.256]

В задачах механики твердого тела существенную роль играют размеры и форма тел. Но мы всегда можем мысленно разделить тело на отдельные столь малые элементы, чтобы размеры и форма каждого такого элемента не играли роли в его движении. Насколько малы должны быть эти элементы—зависит от условий задачи обычно дело сводится к тому, что размеры каждого отдельного элемента тела должны быть малы по сравнению с теми или иными расстояниями, существенными для данной задачи. Например, при рассмотрении вращения тела вокруг оси размеры отдельных элементов тела должны быть очень малы по сравнению с расстоянием до оси. Е1сли размеры всего тела не малы по сравнению с расстоянием до оси, мы всегда сможем разбить тело на столь малые элементы, чтобы размеры каждого такого элемента были очень малы по сравнению с расстоянием до оси. [c.398]

В дополнительном предположении о том, что система действительно вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью со, имеется в виду состояние вращения системы как твердого тела вокруг неподвижной оси z в течение некоторого, хотя бы и малого, отрезка вре мешп, так как дальше в формуле [c.150]

Определим кинетическую энергию твердого тела. Для этого разобьем его мысленно на п весьма малых элементов так, чтобы для каждого элемента расстояние всех его точек до оси вращения можно было считать одинаковым. Кинетическая энергия отдельного такого элемента массой nit равна 2niiVp . Кинетическая энергия тела очевидно равна сумме кинетических энергий всех п элементов, образующих данное тело [c.62]

Рассмотрим случай, когда центр вращения расположен в самом теле. Для упрощения будем считать, что твердое тело закреплено в центре вращения, т. е. оно не может соверщать поступательное движение, так как скорость одной его точки всегда равна нулю . В каждый данный момент времени вращение такого тела можно рассматривать как бесконечно малый поворот вокруг оси, называемой мгновенной осью вращения, так как в каждый бесконечно малый промежуток времени все точки, лежащие на некоторой прямой — мгновенной оси, можно считать неподвижными. Мгновенная ось изменяет свое положение и в,теле, и в пространстве, но всегда проходит через неподвижную точку тела — центр вращения. [c.71]

Более важными, чем рассмотренные до сих пор конечные движения твердого тела, являются следующие друг за другом (фактически непрерывно) бесконечно малые движения твердого тела. Таким образом, мы предположим теперь, что поступательное перемещение О1О2 и угол поворота П как угодно малы, и разделим их на соответствующий малый промежуток времени Тогда в пределе при О мы получим линейную скорость поступательного движения и и угловую скорость вращения о [c.160]

В некоторых задачах принцип Даламбера оказывается даже более гибким, чем более развитый принцип наименьшего действия. Дифференциальные уравнения движения, определяющие ускорения движущейся системы, являются уравнениями второго порядка. Ускорение qi — это вторые производные координат qi или первые производные скоростей qi. Может, однако, оказаться более удобным — и такая ситуация встречается, в частности, в динамике твердого тела — характеризовать движение при помощи некоторых скоростей, не являющихся производными действительных координат. Такие величины называют кинематическими переменными . Хорошим примером является вращение волчка вокруг оси симметрии. Его можно охарактеризовать угловой скоростью вращения со = defi it, где d p — просто бесконечно малый угол поворота, а не дифференциал от какого-либо угла ф, так как такой угол ф существует лишь в случае, если ось симметрии закреплена. Тем не менее и при незакрепленной оси удобно использовать d(f/dt как величину, характеризующую движение волчка. В принципе наименьшего действия нельзя использовать кинематические переменные, а в принципе Даламбера можно. [c.117]

Движение тела, т. е. части материи, всегда представляется нам очень сложным явлением. Брощенное твердое тело вращается во время своего движения то в одном, то в другом направлении жидкость, выливаемая из сосуда, меняет свою форму во время падения самы.ми разнообразными способами. Такие вращения или изменения формы происходят при всяком движении тела, но в менее резком виде. Мы начнем с рассмотрения простейщего случая, когда все размеры тела бесконечно малы, такое тело называется материальной точкой. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...