Потенциал упругого перемещения

Потенциал упругого перемещения 197 [c.197]

Потенциал упругого перемещения [c.197]

Потенциал упругого перемещения 203 [c.203]

Рассмотрим взаимодействие штампа или упругого индентора, форма контактирующей поверхности которых задана уравнением z = f r) (/(0) = 0), с упругим полупространством z < 0). Площадка контакта О имеет форму круга радиуса а. На основании потенциала Буссинеска интегральный член в уравнении (1.52), имеющий смысл упругих перемещений границы полупространства от действия номинального давления р г) внутри круга радиуса а, можно записать в виде [121] [c.70]

Мы начнем наши рассмотрения с очень простого примера, а именно с действия сосредоточенного в точке источника тепла интенсивности т, помещенного в бесконечном упругом пространстве в начале координат. В этом случае определение потенциала термоупругого перемещения Ф приводит к окончательному решению. В нашей задаче необходимо решить уравнения [c.492]

В области Х2> О все три компоненты упругого перемещения и электрический потенциал в общем случае взаимосвязаны. [c.250]

Отметим одно важное свойство упругого потенциала. Рассмотрим элементарный параллелепипед со сторонами йх, (1у, г. Предположим, что к его граням приложены напряжения. .., Хху (см. рис. 11). Подсчитаем работу, производимую этими силами на перемещениях бп, би, бш. Рассмотрим одну из нормальных компонент напряжений, например Сх, тогда, отбрасывая величины высшего порядка малости, получаем [c.220]

Отсюда следует, что так же как и при простом растяжении ( 2.8) потенциал перемещений равен потенциалу опл п представляет собою упругую энергию, накопленную системой. [c.152]

Рассмотрим прямоугольную пластину из ортотропного материала с осями упругой симметрии, параллельными сторонам пластины. Потенциал перемещений, соответствующий уравнениям [c.405]

Здесь и — упругий потенциал, вычисленный для заданной системы перемещений щ, Т — выражение кинетической энергии, в котором скорости заменены перемещениями Ui. [c.438]

Последовательность решения задачи должна быть следующей сначала при известном распределении температуры определяют термоупругий потенциал перемещений Ф, затем и( . Далее вычисляют отвечающие частным решениям для перемещений температурные напряжения. Затем на это решение накладывают решение соответствующей краевой задачи теории упругости, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных условий из (4.4.12). [c.213]

Потенциал перемещений Ф связан с компонентами перемещений соотношениями Uf = Ф, , и любое частное решение (6.36) позволяет учесть неравномерное распределение температуры в поперечном сечении тела. После определения соответствующих этому частному решению контурных перемещений и напряжений можно перейти к решению обычной задачи теории упругости. Полное решение задачи термоупругости тогда выражается через частное решение (6.36) и решение задачи теории упругости [5]. В некоторы случаях этот путь приводит к получению аналитических выражений для перемещений и напряжений. [c.228]

Математическая формулировка пространственной задачи термоупругости приведена в гл. 1 (см. 1.2 и 1.4). Здесь кратко остановимся на путях решения этой задачи. При формулировке задачи термоупругости в перемещениях для тела с постоянными упругими характеристиками одна из возможностей состоит в введении термоупругого потенциала перемещений Ф (М), М V, где V — объем тела, так, что компоненты перемещений для частного решения [c.247]

Трудность разыскания частных решений системы уравнений теории упругости в перемещениях обусловлена тем, что каждая из искомых функций и, V, W входит во все три уравнения (1.3.3). Эта трудность устранена в предложенном П. Ф. Папковичем (1932) и Г. Нейбером (1934) представлении перемещений через гармонические функции этим достигается возможность использования хорошо известного каталога частных решений уравнения Лапласа, а иногда даже удается привести задачу теории упругости, если не целиком, то частично, к одной из классических задач теории гармонических функций (теории потенциала). [c.128]

Интегральные уравнения второй краевой задачи. Решение однородных уравнений теории упругости в перемещениях разыскивается в форме первого потенциала (3.6.1) [c.187]

Вектор перемещения в первой внешней краевой задаче теории упругости был представлен в форме второго потенциала теории упругости — аналога потенциала двойного слоя. Для согласования обозначений с обозначениями этого пункта в формуле (4,2.1) гл. IV надо поменять буквы М и Q местами. Тогда, вспомнив выражение (3.5.12) гл IV, имеем [c.215]

Здесь 0 — превышение температуры над ее постоянным значением в натуральном состоянии Vi — объем, в котором задано распределение температуры вне этого объема 0 = 0. Такое же поле вектора перемещения в неограниченной упругой среде создается, по (1.1.12), распределением в объеме Vi центров расширения с интенсивностью, пропорциональной 0, Функция х представляет ньютонов потенциал притягивающих масс с плотностью, пропорциональной температуре. Первые производные этого потенциала (компоненты силы притяжения, компоненты вектора перемещения в нашем случае) непрерывны во всем пространстве (в предположении, что непрерывна плотность) разрыв вторых производных при переходе через поверхность О извне (из объема Ve) внутрь объема Vi определяется известными формулами [c.218]

Рассмотрим действие плоской гармонической волны сжатия, потенциал которой определяется формулой (4.5), на жесткое круговое включение, впаянное в тонкую упругую пластину. Для определения напряженно-деформированного состояния в пластине требуется определить решение уравнений (4.1) при соответствующих граничных условиях на поверхности ядра. Напряжения и перемещения выражаются через волновые функции посредством формул (3.71), общее решение уравнений (4.1) с учетом условий излучения — посредством формул (4.7). Можно рассмотреть два типа включений и соответствующих им граничных условий. Для фиксированного включения граничные условия состоят в том, что перемещения на его поверхности равны нулю [123] [c.83]

На наличие потенциальной энергии деформации указывал еще Я. Риккати 1750). Фактически упругий потенциал мы находим уже в мемуаре Навье 1821 г. при выводе им уравнений теории упругости с помощью виртуальных перемещений. Существование упругого потенциала было постулировано Грином в 1837 г. и доказано, на основе принципов термодинамики, В. Томсоном . [c.61]

Малые упругие деформации е и напряженности Е могут быть выражены через поля перемещений и(г) и электрического потенциала р т) [c.11]

В дальнейшем при исследовании движения упругих тел выгодно будет отделять внешние приложенные к системе силы от внутренних сил упругости. Эти последние имеют потенциал, и если через V обозначить потенциальную энергию деформации, то работа внутренних сил упругости на перемещениях, соответствующих приращению бф координаты ф, будет-- бф, и уравнение (Ь) [c.319]

Заметим, что в определение множеств допустимых полей перемещений К и вариаций перемещений не включено описание функционального пространства V, которому должны принадлежать эти поля. Дело в том, что конкретизировать пространство V можно только после задания структуры упругого потенциала W например, для полиномиальных аппроксимаций функции W пространство V будет пространством С. Л. Соболева типа — см. выше формулу (9). Очевидно также, что множества К и К , вообще говоря, не совпадают. [c.107]

Одной из первых в области механики кошакгаого взаимодействия была классическая работа немецкого физика Генриха Герца "О контакте твердых упругих тел" (1882 г.). При изучении контактного взаимодействия стеклянных линз Герцу удалось показать по аналогии с теорией электростатического потенциала, что эллипсоидальное (как мы теперь говорим "герцевское") распределение контактных давлений вызывает в контактирующих телах упругие перемещения, согласующиеся с предполагаемой эллиптической областью контакта. [c.162]

Соответствующие поверхностные волны Рэлея переносят все три компоненты упругого перемещения и сопровождаются электрическим полем, ориентированным в сагиттальной плоскости (Хь Хг), так как 3 = = —дц)/дхз = 0. Однако при определенной ориентации сагиттальной плоскости относительно осей симметрии кристалла четырехмерная система для амплитуд может расщепляться на две системы только с двумя или тремя компонентами перемещения и потенциала. Это будет продемонстрировано в 4.11 на примере поверхностных волн Блёстейна — Гуляева. [c.250]

Первое множество переменных в (7.11.26) содержит переменную, описывающую колебания упругого перемещения вдоль направления, ортогонального сагиттальной плоскости, взаимосвязанные с колебаниями электростатического потенциала. Поэтому это волновое решение аналогично так называемой моде Блёстейна — Гуляева 4.11. Кроме того, в этом решении проявляется взаимодействие с колебаниями компонент динамической поляризации в сагиттальной плоскости. Следовательно, в целом мы здесь имеем взаимодействие мод Блёстейна — Гуляева с поверхностными поляритонами. Две системы решений [c.510]

Можно сказать, что предмет механики контактного взаимодействия нанал формироваться в 1882 г., когда Генрих Герц опубликовал свою классическую работу О контакте упругих тел [168]. В то время Герцу было только 24 года, и он работал ассистентом Гельмгольца в Берлинском университете. Интерес к проблеме контактного взаимодействия был связан с экспериментами по оптической интерференции между стеклянными линзами. Возник вопрос может ли упругая деформация линз под действием сил, удерживающих их в контакте, существенно влиять на картину интерференционных полос Легко понять, каким образом гипотеза об эллиптичности области контакта может быть подсказана наблюдениями интерференционных полос, подобных показанным на рис. 4.1 (стр. 102). Знание теории электростатического потенциала позволило Герцу показать по аналогии, что эллипсоидальное (герцевское) распределение контактных давлений вызывает в контактирующих телах упругие перемещения, согласующиеся с предполагаемой эллиптической областью контакта. [c.8]

Пусть тело обладает плоскостью упругой симметрии, с которой совместим координатную плоскость х х . Это означает, что если направление оси Ха изменить на противоположное, т. е. сделать замену координат ж = Xi, д = Xj, х з = —Хз, то упругий потенциал W (ец), не изменится. Поскольку при данной замене координат компоненты Ml и 2 вектора перемещения не меняются, а компонента з изменяет знак, т. е. u[ = ui, = и = —и , то в этом случае у компонент 8f/тензора деформации, для которых индекс 3 фигурйрует один раз, изменится знак, а остальные компоненты тензора деформации останутся неизменными [c.58]

ИЗ которой можно вывести уравнения, описывающие движение среды. Здесь были приняты во внимание три пространственные (декартовы) координаты и п переменных величин г[( К В общем случае класс этих переменных величин, обычно называемых переменными поля, не ограничивается перемещениями, как в рассмотренной задаче теории упругости. Оказывается, например, что этот метод пригоден для описания электромагнитного поля, в котором имеется не менее четырех переменных поля, соответствующих скалярному потенциалу <р и трем компонентам векторного потенциала А. Этот вопрос будет подробнее освещен в гл. XI после рассмотрения в гл. X элементарных основ теории относител ьности. [c.121]

Колебат. механич. системами Э. п. могут быть стержни, пластинки, оболочки разл. формы (полые цилиндры, сферы, совершающие разл. вида колебания), механич. системы более сложной конфигурации. Колебат. скорости и деформации, возникающие в системе под воздействием сил, распределённых по её объёму, могут, в свою очередь, иметь достаточно сложное распределение. В ряде случаев, однако, в механич. систем можно указать элементы, колебания к-рых с достаточным приближением характеризуются только кинетич, и потенц. энергиями и энергией механич. потерь. Эти элементы имеют характер соответственно массы М, упругости I / С и активного механич. сопротивления г (т.н. системы с сосредоточенными параметрами). Часто реальную систему удаётся искусственно свести к эквивалентной ей (в смысле баланса энергий) системе с сосредоточенными пара.меграми, определив т. н. эквивалентные массу Л/, , упругость 1 / С , и сопротивление трению / . Расчёт механич. систем с сосредоточенными параметрами может быть произведён методом электромеханич. аналогий. В большинстве случаев при электромеханич. преобразовании преобладает преобразование в механич, энергию энергии либо электрического, либо магн. полей (и обратно), соответственно чему обратимые Э.п. могут быть разбиты на след, группы электродинамические преобразователи, действие к-рых основано на электродинамич. эффекте (излучатели) и эл.-магн. индукции (приёмники), напр, громкоговоритель, микрофон электростатические преобразователи, действие к-рых основано на изменении силы притяжения обкладок конденсатора при изменении напряжения на нём и на изменении заряда или напряжения при относит, перемещении обкладок конденсатора (громкоговорители, микрофоны) пьезоэлектрические преобразователи, основанные на прямом и обратном пьезоэффекте (см. Пьезоэлектрики) электромагнитные преобразователи, основанные на колебаниях ферромагн. сердечника в перем. магн. поле и изменении магн. потока при движении сердечника [c.516]

Техническая теория продольных колебаний стержней. Под стержнем понимают одномерное упругое тело (два размера малы по сравнению с третьим), обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Пусть стержень, отнесенный к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, совершает продольные колебания. Параметры стержня являются функциями только одной продольной координаты X. По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения =-- и (х), 112= Н = 0. Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме Оц и считают пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют вид [c.146]

К основным методам решения квазистати-ческих трехмерных задач теории упругих температурных напряжений относят методы, основанные на использовании термоупругого потенциала перемещений, вариационных принципов, а также методы возмущений, Майзеля и др. [43, 54, 57, 68, 73]. Для решения плоских задач могут быть ис- [c.213]

Как и плоскую задачу термоупругости (см. 6.2), осесимметричную задачу при постоянных значениях Ghvh /г = /г = 0 можно сформулировать через потенциал перемещений и представить искомое поле перемещений в виде суммы частного решения, учитывающего неравномерное распределение температуры, и решения изотермической задачи теории упругости [5]. Но в случае сложной формы тела с переменными термоупругими характеристиками материала методы аналитического решения задачи практически неприменимы и целесообразно ориентироваться на численные методы решения. [c.242]

Таким образом, перемещения и напряжения в упругом полубеско-нечном теле могут быть найдены формулам Беляева (1.34)-(1.36), как только будет известна функция V(x), определяемая вьфажением (1.32). В свою очередь, потенциал V(x) может быть вычислен, как только будет известна плотность p(xi,x2) распределения контактного давления. [c.17]

Выше указана только часть публикаций по нелинейным-проблемам эластомерного слоя и конструкций. Перечень работ можно бы продолжить, но это не меняет общей оценки состояния вопроса. Если создание линейной теории слоя можно считать завершенным и ее значение можно сравнить со значением классической теории оболочек для соответствующих краевых задач, то создание общей нелинейной теории слоя находится в-началь-. ной стадии. Опубликованных результатов мало, и они не достоверны даже в отношении интегральных упругих характеристик констукций, не говоря уже о полях перемещений и напряжений, В то же время только теоретические исследования и расчеты с последующей экспериментальной проверкой позволяют пороз11ь оценить влияние геометрической и физической нелинейности и решить такие важные вопросы, как пределы применения закона-Гука и выбор упругого потенциала. Лелать упор на физическую нелинейность при умеренных деформациях < 50%, по убеждению автора, неправильно. Есть три источника появления нели-. нейности задачи — формулы Коши, связывающие деформации с перемещениями, уравнения равновесия и закон упругости, которые, вообще говоря, независимы. [c.23]

Здесь Л1у — единичная нормаль к контуру 2, а/у - напряжения, щ - перемещения, и — упругий потенциал единицы объема. Уравнение (6.14) справедливо также для любых неупругих тел (упруго-пластических, вязкоупругих и др.) при квазистационарном движении точки О вдоль оси п со скоростью, значительно меньшей скорости звука в полосе при этом под Uпонимается удельная энергия деформаций. [c.269]

Если упругая среда находится в условиях плоской деформации в плоскости OXiX , то U -е = О и векторный потенциал Ф представляется в виде Ф =, где Ч = (xj, х , t) — скалярная функция. Тогда вместо уравнений (1.8) получим систему двух скалярных уравнений (3.62). В полярных координатах г, 0 компоненты вектора перемещений и тензора напряжений выражаются через потенциалы Ф, посредством формул [c.71]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...