Условия равновесия на поверхности тел

Условия равновесия на поверхности тела [c.73]

Из условия отсутствия нагрузки на боковой поверхности (из уравнения равновесия на поверхности тела) следует равенство [c.134]

В силу независимости вариаций Ьи , 6Ц7, Ье ,. .., Ьа ,... можно утверждать, что равенство V.З) справедливо лишь при условии равенства нулю коэффициентов при этих вариациях. Приравнивая нулю выражения, стоящие в (У.З) в скобках при вариациях Ьи . .., Ье х<---у хх> получаем соотношения Коши, Гука и условия равновесия, справедливые во всем объеме деформируемого тела и граничные условия, справедливые на поверхности тела. Последние являются условиями Эйлера для функционала (V. ). Теорема, таким образом, доказана. [c.78]

Конечно, есть и в этом методе свои трудности, которые состоят прежде всего в том, что необходимо заранее задаваться аппроксимирующими функциями (ф, 11 , /). В качестве первого приближения эти функции можно выбирать в виде линейных соотношений. В поисках более точного решения задачи требуются другие формы задания функций ф, т) , 1, определяемые из условия равновесия на поверхности или внутри объема тела. Например, для получения уточненных решений могут быть использованы степенные или тригонометрические функции, как это было показано на примере расчета траверсы гидравлического пресса и др. Отметим также, что при выборе указанных функций нужно стремиться к тому, чтобы не получалась сложная система дифференциальных уравнений. Так, например, при расчете станины станка 7540 система уравнений (9Я) оказалась весьма простой благодаря элементарному определению функций ф, т] , I. При другом выборе этих функций можно получить более точные результаты, решив сложную систему дифференциальных уравнений. Из анализа табл. 1 основных типов корпусных деталей машин видно, что большинство из них представляет собой коробчатые пустотелые конструкции с различными перегородками, выступами, окнами, а также рамные или стержневые системы. Все они могут быть успешно рассчитаны при помощи уравнений (23) с некоторыми обобщениями, упрощениями и схематизацией. [c.126]

Можно показать, что из этого условия вытекают уравнения равновесия во внутренних точках тела и силовые граничные условия на поверхности тела Sp. Этих уравнений достаточно для решения задач вязкоупругости, так как их нужно понимать как уравнения равновесия в перемещениях (обобщение, уравнений Ляме на случай вязко-упругого тела). [c.356]

При равновесии деформируемого тела в каждой его точке шесть независимых компонент симметричного тензора напряжений Oij должны удовлетворять трем дифференциальным уравнениям в частных производных (2.27), а на поверхности тела — граничным условиям, например (2.29). [c.37]

Система уравнений равновесия (10.40) должна быть дополнена условиями на поверхности тела [c.289]

Приложим К поверхности сечения П силы взаимодействия между обеими частями элемента. Когда тело находится в равновесии, то и любая часть тела также будет в равновесии, если к поверхности сечения приложить силы взаимодействия между частями. Силы, действующие в сечении, представляют собой силы взаимодействия между частицами материала, вызванные внешней нагрузкой на элемент. Из условия равновесия рассматриваемой части тела можно определить главный вектор и главный момент внутренних сил, действующих тз сечению П. В этом состоит сущность метода сечений — одного из важных методов механики деформируемых сред. Распределение внутренних усилий по сечению заранее неизвестно и составляет одну из главных задач дальнейшего изучения. [c.23]

Одной из основных задач расчетов на прочность является выяснение характера и величины внутренних сил упругости, действующих в нагруженной детали. Для этого используется метод сечений, заключающийся в следующем. Мысленно проведем сечение тела, на которое действуют силы Р , Р , Р3 и т. д. (рис. 2.1, а), плоскостью АВ. Поскольку тело под действием указанных сил находится в равновесии, то в равновесии находится и любая его часть, расположенная по одну сторону от сечения. Отбросим мысленно правую часть и рассмотрим условия равновесия оставшейся левой части. Для того, чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, на поверхности сечения должны действовать силы, эквивалентные действию правой части на левую. Такими силами являются внутренние силы упругости, распределенные по сечению аЬ. Следовательно, с помощью метода сечений внутренние силы упругости переводятся в разряд внешних сил и для их отыскания оказывается возможным применить соответствующие теоремы статики. [c.124]

Таким образом, вариационный принцип Рейсснера формулируется так. Если известен общий интеграл уравнений совместности деформаций, то истинному состоянию тела соответствует стационарность функционала 1 а, о), следствием которой являются уравнения равновесия во всем объеме тела, условия равновесия на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, и физические уравнения, связывающие деформации с напряжениями. [c.524]

Вариационное уравнение Лагранжа несет большую информацию из него можно получить дифференциальные уравнения равновесия тела и те граничные условия, которые могут быть заданы на поверхности тела. [c.42]

Двучленный закон трения имеет не только теоретическое значение, проливая свет на природу сил трения между твердыми телами, но и большое прикладное значение. Его следует применять там, где нужно рассматривать условия равновесия между двумя телами, прилегающими на большой площади действительного контакта, например при строительстве плотин па стальном основании, а также при расчете прочности клеевых сочленений, могущих подвергаться усилиям, не только перпендикулярным к поверхности контакта, но и параллельным к ней. В этом случае двучленный закон трения устанавливает, что отношение сил, действующих в обоих направлениях при отрыве или соответствующем сдвиге, равно коэффициенту трения р,. [c.166]

Будем считать, что объемные силы отсутствуют, боковая поверхность стержня свободна от напряжений и к его основаниям приложены заданные усилия, удовлетворяющие условиям равновесия абсолютно твердого тела. В такой постановке рассматриваемая задача является обобщением классической задачи Сен-Венана на случай неоднородных стержней. [c.73]

Рассмотрим некоторый компонент смеси. Обозначим его индексом /. Концентрацию /-компонента на поверхности тела будем считать заданной. В некоторых случаях ее можно определить из условий термодинамического равновесия на поверхности. Концентрация /-компонента во внешнем течении также предполагается известной. Во многих задачах ее принимают равной нулю. Тогда область, в пределах которой концентрация /-компонента изменяется от некоторого значения на поверхности тела. до значения во внешнем течении, назовем диффузионным пограничным слоем. Его можно схематически изобразить так же, как и динамический пограничный слой на рис. 4-5, если скорость и заменить на концентрацию /-компонента ntj. Однако nij в отличие от и имеет на поверхности определенное, не равное нулю, значение. [c.43]

Это уравнение в вариациях позволяет получить уравнения равновесия элемента рассматриваемого тела и совокупность всех вариантов граничных условий на поверхности тела. Для этого необходимо конкретизировать связь между деформациями е и перемещениями и). Тогда условие (3.3) позволяет получить соответствующие уравнения равновесия и граничные условия. Последнее обстоятельство оказывается особенно важным при построении различных вариантов приближенных теорий, основанных на тех или иных кинематических гипотезах (гипотеза плоских сечений, прямой нормали, ломаной нормали и т. д.). Зададим, например, связь деформаций с перемещениями линейными соотношениями [c.73]

Эти шесть величин связаны тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), а на поверхности тела должны выполняться три условия (4.2). [c.219]

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений двух уравнений равновесия (17.10) и уравнения неразрывности деформаций (17.19) при выполнении статических граничных условий (17.12) на поверхности тела. [c.350]

Из экспериментальных методов определения остаточных напряжений наибольшее распространение нашли механический и рентгеновский. Первый метод основан на определении деформаций, возникающих в связи с нарушением условий равновесия при разрезке тела на части. Не исключено, что сам факт разрезки создает новые остаточные напряжения. Рентгеновским методом можно определить остаточные напряжения только на поверхности. [c.617]

Вторая трудность возникает при объединении конечных элементов в единую систему. В расчете стержневых систем такое объединение производилось путем составления уравнений равновесия для узловых точек, в которых конструктивные элементы соединяются друг с другом. В сплошном теле число точек соединения между элементами бесконечно. Задаваясь распределением перемещений внутри каждого элемента, тем самым задаем и распределение напряжений во всех его точках, в том числе и в граничных. На границах раздела смежных элементов напряжения, найденные для каждого из них независимо, совпадать не будут. Следовательно, обеспечить выполнение условий равновесия на всей поверхности раздела не представляется возможным. [c.107]

Если на поверхности тела S заданы условия (1.12), то определение упругого равновесия тела составляет первую основную граничную задачу. Кроме первой основной задачи в теории упругости значительный интерес представляет и вторая основная граничная задача, т. е. определение упругого равновесия тела, когда на его поверхности S заданы условия (1.13). Наконец, во многих случаях (контактные задачи, задачи теории трещин и т, д.) большое [c.19]

Решение общей задачи теории упругости, а именно, интегрирование уравнений движения или равновесия при определенных граничных условиях, т. е. при заданных на поверхности тела напряжениях или смещениях, получено только для тел очень простой формы (например, для шара и эллипсоида). Инженер имеет дело с телами сложной формы (как, например, коленчатые валы) и вынужден обычно пользоваться приближенными решениями, которые мы дали для балок и пластинок. [c.480]

В дополнение к трем уравнениям (g), которые должны удовлетворяться в каждой точке внутри тела, необходимо присоединить также условия на поверхности тела, где молекулярные силы должны находиться в равновесии с распределенными по граничной поверхности внешними силами. Обозначая три компоненты такой силы, действующей на элементарную площадку с внешней нормалью п, через Z и пользуясь принципом виртуальных перемещений, Навье получает требуемые краевые условия в следующем виде [c.131]

Во второй половине мемуара для анализа равновесия упругого тела (в той же молекулярной постановке) Навье применил принцип виртуальных перемещений и в результате получил еще раз те же уравнения равновесия, а также выражение граничных условий на поверхности тела, где задано распределение напряжений. В заключение он дал уравнения колебаний упругого тела, вредя соответствующие инерционные члены. [c.49]

Рассмотрим теперь условие равновесия на поверхности тела, находящегося в поле тяжести. Предположим для простоты, что второй средой является просто атмосфера, давление которой на протяжении размеров тела можно считать постоянным. В качестве самого тела рассмотрим несжимаемую жидкость. Тогда имеем р2 = onst, а давление рх в жидкости равно согласно (3,2) Pi = onst — pgz (координата 2 отсчитывается вертикально вверх). Таким образом, условие равновесия приобретает вид [c.335]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Уравнения (123) должны удовлетворяться во всех точках по объему тела. Напряжения по объему тела меняются, и при достижении поверхности они должны находиться в равновесии с внешними силами, действующими на поверхности тела. Условия равновесия на поверхности получаются из уравнений (108). Взяв тетраэдр OB D (рис. 126) так, чтобы грань B D совпадала с поверхностью тела в данной точке, приведем уравнения (108) к виду [c.246]

Рассмотрим условия равновесия па поверхности тела. Они могут быть получены из ранее рассмотренной системы уравнений (1.1) для определения составляющих рх, Ру, Рг напряжения на наклонной площадке. Если предположить, что элементарная площадка йР поверхности тела имеет нормаль V с направляющими косинусами I, т, п, а поверхностные силы, "отнесенные к едмице площади поверхности тела, имеют составляющие X, У, 2 то заменяя в уравнении (1.1) Ри Ру, Рх соответственно на X, У, 2, получим следующую систему уравнений [c.25]

Известная трудность в методе Ритца заключается всегда в построении функций, которые принимали бы на поверхности тела заданные значения. Так обстоит дело во всех тех случаях, когда заданы перемещения. Но если заданы поверхностные напряжения, то эта трудность отпадает, так как в вариационной задаче граничные условия отпадают. Необходимо только прп известных условиях относительно существования производных сделать потенциальную энергию минимальной. Класс допускаемых аппроксимирующих функций не ограничен уже условиями на поверхности если решать диференциальные уравнения равновесия в перемещениях [(2) 13] при заданных напряжениях, то условия равновесия на поверхности [(5) 13] должны быть выражены через производные перемещений. На- [c.161]

На основ.а йи подробно изученного примера кручения тел видим, что прн аппроксимирующих функциях, заранее удовлетворяющих условию минимума потенциальной энергии тела или граничным условиям на поверхности его, можно получить не только уточненные решения, но даже точные в строгом смысле или в смысле Сен-Венана. Таким образом, подчиняя заранее аппроксимирующие функции условию равновесия внутри выбранного элемента, например на основании вариационного принципа Кастилиано, или граничным условиям на части поверхности тела согласно уравнениям равновесия на поверхности, мы можем резко уменьшить число аппроксимирующих функций, достигая при этом результатов с высокой степенью точности. Выбор аппроксимирующих функций из условия равновесия на поверхности, т. е. по способу Галеркина, можно рекомендовать для тел простой формы, особенно с постоянным поперечным сечением, что достигается с помощью криволинейных координат. Нахождение аппроксимирующих функций из условия минимума потенциальной энергии (В сечении тела, т. е. по способу Треффца, эффективно как для простых, так и для сложных по конфигурации тел. [c.58]

Положим Т — Т а, F = F a, здесь Т и — постоянные векторные поля, заданные соответственно на поверхности тела и в его объеме, а — параметр нагружения, возрастающий монотонно. Мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям, положив Oij = оуос. Объемная деформация связана с гидростатической компонентой тензора напряжений [c.542]

Рассмотрим основные уравнения теории напряжений. В теории пластичности, так же как и в теориц упругости, напряженное состояние в каждой точке тела, находящегося под действием объемных сил X, У, Z я поверхностных сил Х , У,, определяются шестью составляющими напряжений а , Оу, а , х у, Ху , х . Эти шесть величин связаны тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), а на поверхности тела должны выполняться три условия (4.2). [c.260]

При выводе граничных условий (7.10.8), (7.10.9) для величин Ед " и Ех считалось, что ни набегающий поток газа, ни сама ударная волна не излучают (Е " = 0), а на поверхности тела, которое считается абсолютно черным, выполняютсл условия локального термодинамического равновесия, в силу чего Ех —В%. Расчеты проведены для сферы радиуса 1 к. [c.445]

Начало наименьшей работы. При рассмотрении начала виртуальных изменений нанряи енпого состояния изменениям подвергались как внутренние усилия, так и внешние нагрузки. Накладывалось только условие, чтобы эти изменения напряженного состояния удовлетворяли уравнениям равновесия на поверхности и внутри тела. Допустим теперь, что внешние нагрузки не изменяются, а изменяется только напряженное состояние внутри тела. Тогда, поскольку = = бК = = О, вместо (2.22) запишем [c.48]

В предыдущих главах были рассмотрены статические ус-"яовия (условия равновесия) внутри и на поверхности тела (уравнения (1.16), (1.18)), геометрические уравнения, устанавливающие связь между деформациями и перемещениями (уравнения Коши (1.19)) и между деформациями (условия неразрывности Сен-Венаиа (1.29)), и, наконец, физические уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями в точке тела (обобщенный закон Гука, уравнения (2.8) и (2.10)). Составим сводку основных уравнений теории упругости. [c.51]

Рассмотрим упругое поле, создаваемое в однородном изотропном шаре радиуса г — К точечным дефектом, помещенным в его центре г = 0. В равновесии на свободной поверхности тела (на которую внешние сплы не действуют) силы, происходящие от внутренних напряжений п действующие на каждый элемент поверхности, должны быть равны нулю. Этому условию не удовлетворяет решение (3,8), так как дает не равные нулю компоненты тензора напряжений на поверхности тела. Поэтому воспользуемся общим сферически-снмметричным решением (3,6) для поля смещений и — (где Е/ и Е/г оп- [c.65]

Практически важным вопросом, относящимся к равновесию плавающих тел, является вопрос об устойчивости равновесия. Этот вопрос может быть удовлетворительно рещен, если показать, что условия равновесия плавающего тела могут быть отождествлены с условиями равновесия тяжелого твердого тела, которое опирается выпуклой поверхностью на горизонтальную плоскость и может свободно катиться и вертеться по этой плоскости. Мы начнем с изучения этой предварительной задачи. [c.280]

Напряженное состояние, вариации которого удовлетворяют уравнению (1.4.50), отличается от всех ДРУ1ИХ статически возможных напряженных состояний тем, что удовлетворяет не только уравнениям равновесия внутри и на поверхности тела, но и всем условиям сплошности по объему тела и кинематическим условиям на части поверхности 52. А если это так, то такое состояние и будет действительным напряженным состоянием, возникающим в теле под действием заданной совокупности внешних сил. [c.50]

Для определения поверхностных сип, действующих со стороны неподвижной жидкости на тела, погруженные в нее и покоящиеся относительно жидкости, необходимо найти сумму элементарных сил давления F = piAAj, действующих на поверхность тела. Метод подсчета такой суммы основан на независимости поверхностных сил от вещества, из которого состоит тело. Это позволяет мысленно заменить погруженное твердое тело жидким 1елом такой же формы и размера, состоящим из той же жидкости, что и остальной объем, Поверхностные силы при такой замене не изменятся, а условие равновесия погруженного жидкого тела массы т под действием поверхностных сил и силы тяжести, приложенной к центру масс жидкого тела, очевидно [c.54]

Кинематическая теорема. Пусть Vi, Iri—действительные поля напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформаций. Рассмотрим кинематически возможное поле скоростей v e, которое удовлетворяет условию несжимаемости divo = =0, а на поверхности тела — кинематическим (XI.9) и смешанным (XI. 11) граничным условиям. Здесь и далее знак означает виртуальное состояние. Соответствующие кинематические возможные скорости деформации равны %i/ — (Viv Ч- V/v ). Они не удовлетворяют уравнениям состояния (XIV.6), так как определенные через них напряжения в общем случае не удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия div = 0. Но кинематически возможные поля скоростей удовлетворяют соотношению (XIV.2) [c.296]

Если деформируемое тело занимает объем V, ограниченный поверхностью S, причем в состоянии равновесия этот объем состоит из упругой части Vi и пластической V21 разделенной поверхностью тогда при условии непрерывности на поверхности 2 компонент смещений, деформаций и напря ниЯ, вариационный принцип теории малых упругопластических деформаций можно сформулировать в виде [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...