Уравнения равновесия и условия на поверхности

Проверьте, удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. [c.33]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ 97 [c.97]

Уравнения равновесия и условия на поверхности. [c.97]

Таким образом, принятое в элементарной теории распределение напряжений при кручении удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности. Что касается дифференциальных зависимостей (38) и (39), то они, очевидно, будут удовлетворены, так как напряжения представляются линейными функциями координат. [c.67]

Для отыскания этих неизвестных функций мы располагаем 15-ю уравнениями тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), шестью формулами Коши (4.3) и шестью формулами закона Гука (4.5) или (4.6). Таким образом, с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию этих пятнадцати уравнений при удовлетворении условий на поверхности (4.2). [c.43]

Проверьте, удовлетворяются ли дифференциальное уравнение равновесия и условия равновесия на поверхности [c.33]

Основные уравнения обобщенного плоского напряженного состояния. Дифференциальные уравнения равновесия и условия равновесия на поверхности— те же, что и в случае плоской деформации, т. е. (9.87) и (9.88). Из шести соотношений Коши сохраним лишь интересующие нас три уравнения (9.89). Три других нас не интересуют, так как величины е , Уг/г и у х не рассматриваются. [c.661]

Пусть для упругого тела известны напряжения а, деформации е и перемещения и, возникающие при действии внешних нагрузок R и р. Напряжения а удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.4) и условиям на поверхности (1.6). Отметим, что на части (Of, поверхности тела равенство (1.6) дает статические граничные условия, а на Шц оно выражает связь между напряжениями и реакциями на тело со стороны наложенных связей. [c.39]

С другой стороны, если используется концепция кратных узлов с дополнительными соотношениями, то необходимы некоторые дополнительные предосторожности. Рассмотрим поверхность раздела между двумя зонами, как показано на рис. 7.4, а, и используем двойные узлы для представления разрывных усилий. После наложения условий равновесия и совместности на поверхности раздела остается шесть неизвестных в угловой точке. Только четыре независимых уравнения (по два для каждой зоны) вносятся в окончательную систему при помощи дискретного представления граничных интегралов для двух зон. Уравнения (7.7) и (7.12) дают два нужных нам дополнительных уравнения. Для каждой зоны уравнение [c.201]

Выразив через перемещения дифференциальные уравнения равновесия или движения упругого тела, необходимо соответствующим образом преобразовать и условия на поверхности [c.53]

Начало возможных перемещений является самым общим началом статики, поэтому из соответствующего ему уравнения (47) могут быть получены и дифференциальные уравнения равновесия (14) и условия на поверхности (3), которые были ранее нами найдены из рассмотрения условий равновесия бесконечно малых элементов деформированного тела. Для этого нужно произвести лишь некоторые преобразования с членом [c.58]

В задаче о равновесии плиты требуется удовлетворить не только краевым условиям на торцах, но и условиям на поверхности С. Поэтому, кроме решений, удовлетворяющих краевым условиям на торцах, необходимо располагать классом решений уравнений теории упругости, оставляющих торцы свободными от напряжений эти решения будем называть однородными, а решения, удовлетворяющие условиям загружения торцов,—неоднородными. Очевидно, что последними могут служить решения задачи о равновесии слоя, представленные выше в форме определённых интегралов. Но это не обязательно, так как во многих случаях неоднородные решения можно получить в более простой форме — рядов или же для некоторых классов нагрузок (полигармонических нагрузок, см. 4 главы 3) в замкнутой форме. Однородные решения определяют напряжённое состояние плиты, создаваемое нагрузками, распределёнными по её боковой поверхности. [c.200]

Компоненты напряжений а у также удовлетворяют уравнениям равновесия (1.135) и условиям на поверхности (1.11), а компоненты деформаций 8 у — уравнениям совместности деформаций (1.149). Кроме того, при первом нагружении справедливы уравнения теории малых упругопластических деформаций, которые с учетом (10.39> и (10.36) принимают вид [122] [c.273]

Поскольку истинные напряжения (15.27) и статически возможные напряжения (15.28) удовлетворяют уравнениям равновесия (15.1) и условиям на поверхности (15.6), то вариации напряжений и [c.407]

Заменяя компоненты скорости деформаций в уравнении (15.31) на проекции скорости Vx, Уу, Уг перемещений по формулам (15.3) и интегрируя по частям, а также используя формулу Гаусса— Остроградского, с учетом уравнений равновесия (15.29) и условий на поверхности (15.30) находим [78] [c.408]

Распределение давления [/] может быть получено путем приложения некоторых объемных сил и поверхностных давлений к упомянутому выше телу, образованному из частиц. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия [116] и условиям на поверхности [117]. Подставив Б эти уравнения следующие значения напряжений [c.232]

Мы можем доказать, что это элементарное решение при известных условиях является точным решением. Так как все составляющие напряжения либо линейные функции от координат, либо равны нулю, то уравнения совместности [119] удовлетворяются, и необходимо лишь рассмотреть уравнения равновесия [116] и условия на поверхности [c.247]

Уравнение [ ], вместе с условием на контуре [Л], вполне определяет функцию напряжений о. Зная последнюю, получим напряжения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, уравнениям совместности и условию на боковой поверхности вала ). [c.308]

Приведенные в последних двух параграфах общие решения уравнений равновесия сами по себе не дают решения задачи теории упругости, так как содержащиеся в них функции напряжений должны быть определены из условий совместности деформаций (например, из уравнений Бельтрами в декартовых координатах) и условий на поверхности тела однако эти решения оказывают существенную пользу при вариационном методе решения задач, данном Кастильяно и изложенном в главе XI там они будут использованы. [c.250]

Значит, вариации напряжений сами по себе должны удовлетворять уравнениям равновесия (11.44) без объемных сил и условиям на поверхности (11.45). [c.339]

Для использования принципа Кастильяно в этой задаче прежде всего необходимо задаться системой напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия (I) и условиям на поверхности это напряженное состояние легко получить, пользуясь функцией напряжений Прандтля и (х, у) [формула (8.16)] [c.342]

Как мы уже видели, минимуму функционала потенциальной энергии (140) соответствуют уравнения равновесия и условие несжимаемости, а условия отсутствия напряжений на поверхности являются естественными граничными условиями. В случае деления на подобласти для функционала потенциальной энергии (см. п. 36) естественными условиями являются условия равенства значений напряжений на стыках. Это означает, что при выборе функций uns следует обеспечить только стыковку по перемещениям. [c.206]

Уравнения теории упругости в перемещениях. В некоторых случаях бывает удобно за основные неизвестные принимать составляющие перемещения точек упругого тела. Тогда в каждой точке тела неизвестны три функции и, у и IV, и задача приводится к разысканию этих трёх функций, при условии, что внутри тела они должны удовлетворять диференциальным уравнениям равновесия (1), а на поверхности тела — уравнениям (3). Составляющие напряжения, входящие в эти уравнения, выражаются при помощи уравнений (7), (8) и (11) через составляющие перемещения. [c.120]

Трёх уравнений равновесия (1) и условий на поверхности (3) недостаточно для определения шести неизвестных функций. Статическая неопределимость упругого тела разрешается добавлением шести диференциальных зависимостей Сен-Венана (10), которые при помощи уравнений (12) выражаются через составляющие напряжений. [c.120]

Это решение удовлетворяет уравнениям равновесия (14) и условиям на поверхности (3) во всех точках тела, кроме точки приложения силы, в которой напряжения и перемещения становятся бесконечно большими. Затруднения, возникающие в этом решении, обладающем особой точкой, преодолеваются при помощи принципа Сен-Венана. Предполагается, что у начала координат материал вырезан полусферической поверхностью малого радиуса и что сосредоточенная сила Р заменена статически эквивалентными усилиями, распределёнными по этой поверхности. Это условие приводит к уравнению [c.121]

СПЛОШНОЙ среды и условиям на поверхности, где заданы усилия. Следовательно, вариации напряжений удовлетворяют однородным уравнениям равновесия сплошной среды (X == У = Z = 0) и условиям на поверхности [c.76]

Если допустить, что усилия по нижнему концу и реакции по верхнему концу распределены равномерно и нормальны к плоскостям крайних сечений, то составляющие напряжений и деформации, удовлетворяющие уравнениям равновесия упругого тела (11.1) и условиям на поверхности, определятся по формулам [c.78]

Равенства (4.4) и (4.5)з выполняются ввиду того, что на торцах °а = г = 0> 3 равенства (4.5)1,2—ввиду того, что за точку приведения сил принят центр тяжести площади сечения торца. Таким образом, поле напряжений (4.3) удовлетворяет уравнениям равновесия и условиям совместности и, кроме того, на торцах стержня дает заданные значения главного вектора и главного момента поверхностей нагрузки. Тем самым данное поле напряжений является решением задачи о растяжении стержня (в смысле Сен-Венана). [c.241]

Перейдем к доказательству теоремы А. А. Ильюшина о простом нагружении. Допустим, что для какого-либо определенного значения параметра р, например, для р = 1, пластическая задача решена. Обозначим напряжения, деформации и перемещения, полученные в решении, через а /, е /, щ. Очевидно, что компоненты напряжений удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.4) и условиям на поверхности (1.2), а компоненты деформаций — условиям совместности деформаций (2.4). Также удовлетворяются зависимости компонентов деформации от компонентов перемещения (2.3) и зависимости компонентов девиатора деформации от компонентов девиатора напряжения (4.30). На основании соотношения (4.39) имеем [c.66]

Компоненты напряжений Оц удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.4) и условиям на поверхности (1.2) с массовыми силами X/ и поверхностными силами Х /. Компоненты напряжений а " удовлетворяют тем же уравнениям с массовыми силами X/ и поверхностными силами XV/. Поэтому и компоненты напряжений удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.4) и условиям на поверхности (1.2) с массовыми силами X/—Xj и поверхностными силами Х ,/—Х /, а компоненты деформаций 8 Г удовлетворяют условиям совместности деформаций [c.79]

Для решения задачи определения напряжений, возникающих в теле под действием заданных сил, нужно найти функции компонентов напряжений (Ох, Оу, Ог, Хху, Тхг, Туг), удовлвтворяющие дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности (1.3) в любой точке тела. [c.12]

Таким образом, метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения (7.17) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки (7.17), так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что вариационное уравнение (з) включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме [c.157]

Таким образом, из начала возможных перемеп1 вний можно получить ранее установленные дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности тела. Уравнение (47) может быть положено в основу всей теории упругости. [c.59]

Предположим, так же, как и в предыдущем параграфе, что тело, находящееся в равновесии, занимает объем V, ограниченный поверх-ностью 5. Допустим, что на части поверхности заданы поверхностные силы X,, а на части поверхности — перемещения ы,. Сопоставим действительные напряженные состояния в различных точках тела, характеризуемые компонентами напряжений Оц, со всеми близкими напряженными состояниями, характеризуемыми компо-. пентами напряжений a + 6а,/, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям равновесия и условиям на поверхности. Используя сокращенные тензорные записи последних (1.4) и (1.2), имеем для статически возможного напряженного состояния [c.141]

Теорема о минимуме энергии. С теоремой об однозначности решения связана теорема о минимуме потенциальной энергии. Рассмотрим случай когда отсутствуют массовые силы и на граничной поверхности заданы сме- едия Потенциальная энергия деформации тела равна объемному интегралу от упругого потенциала, распространенному по пространству, которое занимает тело. Мы можем выразить теорему следующим образом смещения, удовлетворяющие диференциальным уравнениям равновесия и условиям на граничной поверхности, сообщают потенциальной энергии деформации наименьшее значение по сравнению со значением, которое ей сообщает всякие другие смещения, удовлетворяющие лишь тем же условиям на граничной поверхности. [c.182]

Поскольку уравнений равновесия недостаточно для определения из пнх напрялу-енпй Ох, о , а Хху, Ху г,х, то задача теории упругости является статически неопределимой, и для ее решения помимо уравнений равновесия внутри тела и условий на поверхности необходимо иметь еще дополнительные уравнения, устанавливающие зависимость между дефор- [c.24]

Если тело подверг тС тивной деформации поверхностными нагрузками X, У, Z, то для опре т еления напряженно-деформированного состояния тела необходимо отыскать такие функции перемещений и(х, г/, в), и(х, у, в), и (х, у, в), которые бы при заданной диаграмме щ(б() материала удовлетворяли уравнениям равновесия (10.40) и условиям на поверхности (10.41). [c.289]

В записанном уравнении возможные перемещения 6ц, бу, бш между собой не свлганы, поэтому, чтобы оно обращалось в тондаство при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициенты при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений три первых уравнения представляют собой условия на поверхности (4.2), а три других — дифференциальные уравнения равновесия (4,1). Таким образом, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные ураа-нения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция <р, обязательно должна удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Статические гранитные ус- [c.155]

Равномерно напряженное состояние. При рассмотрении уравнений равновесия [116] и условий на поверхности [117], было отмечено, что правильное решение задачи должно удовлетворять не только уравнениям [116] и [117], но также условиям совместносги (си. параграф 61). [c.243]

Предполагаем, что в пределе площадь грани ab стремится к нулю тогда уравнения (1.8) дают связь между напряжениями в точке О по косой площадке с внешней нормалью г и по трем площадкам, параллельным координатным плоскостям. Если мы вырезаем тетраэдр ОаЬс у поверхности и грань ab принадлежит поверхности, то Х , Y , Z являются составляющими напряжения от внешних сил (нагрузок данного тела), приложенных на поверхности. Тогда уравнения (1.8) дают связь между внешней нагрузкой и внутренними силами. В этом случае они называются условиями на поверхности тела и оказываются весьма тесно связанными с дифференциальными уравнениями равновесия (1.5) действительно, если функции (1.7) таковы, что уравнения (1.5) и условия на поверхности (1.8) удовлетворены во всех точках тела и на его поверхности, то этим обеспечено равновесие всех элементов (параллелепипедов и тетраэдров), на которые было разбито данное тело значит, будет обеспечено равновесие всего тела в целом. Математический смысл этого заключения состоит в том, что уравнения (1.5) и граничные условия (1.8) необходимо рассматривать совместно, ибо уравнения (1.5) не могут иметь определенного смысла, пока не даны условия (1.8), заключающие в себе внешнюю нагрузку тела. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...