Объединение конечных элементов

Этап 3. Объединение конечных элементов в ансамбль. На этом этапе уравнения (1.13), относящиеся к отд льным элементам, объединяются в ансамбль, т. е. в систему алгебраических уравнений [c.15]

Объединение конечных элементов в ансамбль. Основу этого этапа составляет замена произвольно назначенных выше номеров узлов i, j, k на номера, присвоенные узлам в процессе разбиения рассматриваемой области. Эта процедура приводит к системе линейных алгебраических уравнений, позволяющей при известных узловых значениях искомой функции получить значение последней в любой точке области. [c.26]

Вторая трудность возникает при объединении конечных элементов в единую систему. В расчете стержневых систем такое объединение производилось путем составления уравнений равновесия для узловых точек, в которых конструктивные элементы соединяются друг с другом. В сплошном теле число точек соединения между элементами бесконечно. Задаваясь распределением перемещений внутри каждого элемента, тем самым задаем и распределение напряжений во всех его точках, в том числе и в граничных. На границах раздела смежных элементов напряжения, найденные для каждого из них независимо, совпадать не будут. Следовательно, обеспечить выполнение условий равновесия на всей поверхности раздела не представляется возможным. [c.107]

Объединение конечных элементов выполняется далее обычным образом. Матрица неизвестных перемещений будет теперь включать лишь перемещения тех узлов, которые являются внешними для конечных элементов. Эти перемещения определяются в результате решения системы уравнений, а перемещения внутренних узлов при необходимости могут быть найдены из (5.34), [c.152]

Объединение конечных элементов. [c.263]

Объединение конечных элементов для гладкой оболочки выполняется по обычным правилам. Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда конструкция подкреплена шпангоутами. Пусть типовой конечный элемент в узле i соединен со шпангоутом, как показано на рис. 7.12. Введем в этом месте один общий узел, совпадающий с центром тяжести сечения шпангоута. Его перемещения в осевом и радиальном направлениях вместе с углом поворота сечения шпангоута составят матрицу [c.263]

Перед объединением конечных элементов необходимо привести матрицу жесткости, а также матрицу эквивалентных уз- [c.263]

Такое преобразование должно быть выполнено для каждого из элементов оболочки, связанных со шпангоутами, после чего объединение конечных элементов можно осуществить обычным образом [c.265]

Объединение конечных элементов при расчете тонкостенной конструкции выполняется по общим правилам. Суммируя подматрицы жесткости и сил с одинаковыми индексами согласно равенствам [c.324]

Объединение конечных элементов 116, 263 [c.392]

Как практическое следствие отсюда получаем, что в примерах всегда выполнено требование (МКЭ 3) (поставленное в разд. 2.1). Читателю следует обратиться к рис. 2.2.8, где на примере показано, что построенные таким образом базисные функции действительно имеют малые носители. Наихудший случай связан с базисной функцией, соответствующей вершине (скажем, Ь) триангуляции. В этом случае соответствующий носитель —объединение конечных элементов с вершиной в й. В наиболее часто используемых триангуляциях на плоскости число таких конечных элементов очень небольшое (например, шесть или семь). [c.98]

Предположим сначала, что исследуемая пластинка является прямоугольной [1ЛН может быть представлена в виде объединения прямоугольных кусков и, следовательно, для приближенного решения задачи об изгибе можно использовать ее разбиение на конечные элементы в виде прямоугольников. Рассмотрим отдельный конечный элемент, вершины которого имеют номера i = fe(l), / = /г(2), k = k(3), l = k 4)-, для краткости вершины будем помечать соответственно индексами 1, 2, 3, 4 (рис. 3.6). [c.146]

Во всех предыдущих вариантах метода конечных элементов предполагалось, что приближенное решение принадлежит некоторому подпространству исходного функционального пространства например, при построении конечных элементов Лагранжа для решения задач теории упругости требовалось, чтобы объединения Я-интерполяций были непрерывны при переходе через границы конечных элементов. [c.208]

Необходимой предпосылкой для контроля колебаний механических систем является понимание деталей динамического поведения систем при действии возбуждающих сил, приложенных в различных точках системы. Для решения этой задачи использовались различные подходы, включая прямое получение необходимой информации путем замеров, математическое моделирование и точное решение дифференциальных уравнений движения в частных производных, дискретное моделирование с помощью конечных элементов и решение результирующей большой системы дифференциальных уравнений второго порядка, энергетические методы и объединение решений соответствующих подсистем полной системы. Все эти подходы имеют свои достоинства и недостатки, и ни один из методов сам по себе не может считаться наилучшим. Выбор подхода определяется наличием средств и времени, опытом и искусством исследователя, без страха встречающего каждую специфическую задачу, по- [c.14]

После объединения всех элементов определится искомое уравнение движения конечно-элементной модели рассматриваемой системы [c.109]

Сказанное позволяет заключить, что разумным направлением в развитии МКЭ и МГЭ должно быть не противопоставление этих методов, а использование достоинств каждого из них. Это можно делать, выбирая из арсенала имеющихся программ МКЭ и МГЭ ту или те, которые лучше соответствуют особенностям конкретной проблемы, и применяя их в комбинациях при рассмотрении разных аспектов задачи в разных масштабах. Другой очень важный и перспективный способ объединять достоинства МКЭ и МГЭ состоит в создании специальных гибридных алгоритмов, совмещающих их идеи. Так появляются суперэлементы , которые можно рассматривать как объединения граничных элементов, а можно и трактовать как разновидности конечных элементов. Подробное обсуждение подобных алгоритмов содержится в [26]. [c.272]

Выделенную подобласть конечного элемента, примыкающую вершиной к узлу j, обозначим Qj. Объединение всех Qj как частей конечных элементов, имеющих общий узел j, образует полную область узла Rj. [c.135]

При применении метода ГИУ к задачам механики разрушения остается ряд нерешенных вопросов, в особенности в случае трехмерных трещин. Две главные задачи состоят в моделировании компланарных поверхностей трещины и создании в трехмерном случае метода решения задач о трещинах при помощи функции Грина. Другим перспективным направлением исследований представляется объединение возможностей метода ГИУ и метода конечных элементов для моделирования сложных крупногабаритных конструкций,.Наконец, необходимо изучить общий вопрос о точности решения в зависимости от порядка аппроксимации граничных значений, в особенности для задач механики разрушения. Любые существенные усовершенствования метода, повышающие его эффективность, могут значительно увеличить возможности для применения метода ГИУ в обычных инженерных расчетах конструкций, имеющих трещины. [c.66]

Границы элементов и расположение узлов в них должны быть такими, чтобы, будучи объединенными вместе, отдельные элементы могли образовать дискретную модель области V. Функции Л , связывающие элементы в единое целое, зависят от расположения узлов в конечных элементах и на их границах, а также от соответствия между этими узлами и глобальными узлами. [c.144]

Требования надежности, предъявляемые при проектировании к конструкции ядерных реакторов, привели к повсеместному использованию при расчетах указанных конструкций метода конечных элементов. На рис. 1.5(а) изображен бетонный предварительно напряженный корпус реактора [1.18]. Благодаря симметрии корпуса можно рассчитывать только восьмую его часть (см. рис. 1.5 (Ь)). Этот объем представляется как объединение изображенных на рис. 1.5 (с) четырехгранных и шестигранных конечных элементов. В задачах подобного типа число неизвестных достигает [c.25]

Было показано, что операция объединения вводит в матрицу М ненулевые элементы для индексов г, у, соответствующих вершинам, связанным общими конечными элементами. Это свойство показывает существенное влияние нумерации вершин на структуру матрицы. Поскольку в общем случае отдельная вершина связана с незначительным числом других вершин (треугольник первого порядка имеет три вершины), в матрице М оказывается много нулевых элементов и она будет разреженной матрицей. Если применить последовательную нумерацию, матрица будет иметь ленточную структуру, т. е. ненулевые элементы будут находиться на главной и ближайших к ней диагоналях (рис 2.8). [c.48]

С другой стороны, щирокое распространение метода конечных элементов, требующего больших затрат процессорного времени, стимулирует разработку компьютеров высокой производительности Нет сомнений в том, что объединение рабочих мест с суперЭВМ составит ключевую архитектуру для будущих конечноэлементных пакетов [c.116]

Предположим, наконец, что найдется М неизвестных, связанных с каждым квадратом сетки, так что уравнение метода конечных элементов (Q = Е становится объединенной системой М разностных уравнений. Неизвестными могут быть значения функции в различных узлах или значения функции и производных в кратном узле. Это не вносит сложностей, если ошибка оценивается из вариационных соображений (теорема 3.7) результат зависит только от порядка аппроксимации, достигаемого подпространством 5 , и любой дополнительный факт о подпространстве к делу не относится. Тем не менее при М > I аспект разностного уравнения становится намного тоньше. [c.201]

Так как в этой главе будет предполагаться, что множество 2 многоугольно, то оно может быть записано как объединение Q= и /С многоугольных конечных элементов К, аналогичных [c.114]

Начнем с построения множества йд как конечного объединения и К изопараметрических конечных элементов 1К. [c.246]

Будем использовать результаты 3.1, 3.3. Предноложим, что область Q (одно-, дву- или трехмерная) представлена в виде объединения конечных элементов Т , выберем степени свободы (искомые параметры), которые на элементе Tg объединим в вектор так что [c.155]

Так как иеузловые степени свободы вызывают появление перемещений только в данном конечном элементе, то минимизацию энергии по параметрам, составляющим матрицу с, можно выполнить до объединения конечных элементов. [c.156]

В частности, если ограничит1,ся базисной функцией да, носитель которой— подобласть т. е. некоторое объединение конечных Элементов то находим, что [c.221]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

В работе [48] рассмотрено также много других чрезвычайно ттолезных для практических расчетов приемов, основанных на использовании нуль-элементов. Так, показано, что при помощи этих элементов можно реализовать заданное соотношение перемещений для группы узлов, например объединить (простейший случай) перемещения двух узлов по произвольному направлению, получив при этом усилие в связи, которая объединяет узлы. Важным вопросом является реализация присоединения конечного элемента к уЗлу системы, которое может иметь разную жесткость. Термин строительной механики стержневых систем шарнир можно трактовать как присоединение с нулевой жесткостью по направлению углового перемещения. В практике расчетов часто приходится иметь дело с различными видами присоединений как по направлению (например, проскальзывание), так и по величине жесткости (например, податливость сварных или замоноличенных узлов). Введение присоединений различных типов можно реализовать при помощи специальных элементов (рис. 4.6), имеющих заданную податливость по соответствующему направлению и бесконечную жесткость по остальным направлениям. Если эти направления совпадают с осями координат, то такую операцию можно выполнить объединением номеров степеней свободы для узлов t и /. В противном же случае необходимо вводить конечные (но достаточно большие) жесткости для специаль- [c.107]

В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы. Для удобства задания информации об этих элементах и обеспечения приемлемой гладкости функций используются достаточно простые области отрезки в одномерной модели, треугольники и прямоугольники в случае двухмерной области, тетраэдры и параллелепипеды - в трехмерном случае. В результате расчетная область представляется в виде объединения отдельных элементов, соседние из которых имеют общие точки, стороны или грани. Обычно дискретные аналоги получаются с помощью вариационного принципа, если он существует, или с помощью метода Галёр-кина. Метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностных методов. Его дополнительные возможности обусловлены только тем, что при этом методе можно использовать нерегулярную сетку. Например, треугольная сетка более удобна для аппроксимации нерегулярных областей и получения локального сгущения точек. [c.95]

Другим способом построения функций в многомерном пространстве является метод конечных элементов (МКЭ). Суть его состоит в том, что область исследования П разбивается на конечные элемогга , т.е. - на конечное количество подобластей Ц без разрывов и пресечений так, чтобы объединение подобластей Ц образовывало П. С этой точки зрения все рассмотренные ранее методы локальной аппроксимации относятся к МКЭ в одномерных областях. Для многомерных пространств в качестве подобластей используют симплексы (многогранники), в вершинах которых вид локальных аппроксимаций определяется связями, накладываемыми на искомую функцию. [c.309]

Разумеется, что после импорта модели, но перед указанием числа КЭ на линиях следует произвести объединение геометрически совпадающих объектов и сжать их нумерацию (команды NUMMRG,ALL,, ,,LOW и NUM MP,ALL). Сетка конечных элементов приобретет такой вид, как на рис. 14.9. [c.179]

Совокупность с измеримых множеств называется достаточной, если конечные объединения непересекающихся элементов С образзгют плотную совокупность. [c.162]

Обозначим различные классы множеств (kj) через (kj), (Xj),. .. Два различных класса (X) и (X,) не могут иметь общих элементов, т. е. (Xj) f] г (Хг) = 0- Действительно, если бы существовал общий элемент v в пересечении этих классов, то каждый класс можно было бы получить из v (Xj) = v (0), (Xj) = у -Ь SOT (0), т. е. два класса (Xj) и (Xj) совпали бы. Из сказанного следует, что (Xj) = (Xj) (J 2 (Xj) U + Определение 4.3. Полугруппа Ш (Xj) называется конечно-порожденной, если ее порождающее множество равно объединению конечного числа классов SOTi (Xj),. .., 4Slr (Xj) . [c.203]

Вклад каждого элемента, вычисленный с использованием (12.32), будет выражаться в форме (12.196). Объединение этих вкладов в матричное уравнение системы можно провести обычным способом. После подстановки условий Дирихле уравнение системы можно решить с помощью любой стандартной процедуры и явно определить узловые параметры. Обзор по методу Галеркина, включая формулировку метода конечных элементов, можно найти в работе [2]. [c.277]

Для проблемы 1 предположим сначала, что на каждом квадрате сетки только один узел (и одно связанное с ним неизвестное) это случай линейных элементов на правильных треугольниках, билинейных элементов на квадратах и сплайнов. Тогда КО = Р будет выглядеть точно как общепринятое разностное уравнение. Этот факт привел к бесчисленным дискуссиям о связи между конечными элементами и конечными разностями. Ясно, что не все разностные уравнения можно получить подходящим выбором элемента матрица К должна быть симметричной и положительно определенной, но даже при этих ограничениях соответствующий элемент может отсутствовать. С другой стороны, достаточно терпеливый читатель может пожелать рассматривать все уравнения метода конечных элементов (даже на неравномерной сетке с многими узловыми неизвестными) как конечноразностные уравнения. Мы приветствуем это намерение. Вообще система КО = Р дает новый тип объединенных разностных уравнений, который в принципе можно было изобрести без вариационного принципа в качестве посредника. Исторически, конечно, это почти никогда не случалось. Метод конечных элементов систематически приводит к специальному классу уравнений [пересечению всевозможных разностных уравнений со всевозможными уравнениями Ритца — Галёркина), удивительно удачному при вычислениях. [c.200]

Эти вычисления отражают замечательную точность, которую можно достичь, если точно известны правильные пробные функции, причем не всегда кусочно полиномиальные (Потребовалось бы 14 сингулярных функций, объединенных с бикубическими элементами, чтобы улучшить описанные выше результаты.) Однако нас больше интересует хорошая точность при простых модификациях обычной программы метода конечных элементов. Прэтому мы вычислили первое и четвертое собственные значения, используя пространство кубических сплайнов с сингуляр-ными функциями и без них.- На рис. 8.10 показано, как резко ускоряется медленная сходимость в последнем случае при [c.323]

Если множество с К"— -прямоугольник или конечное объединение -прямоугольников, то оно может быть подходящим образом триангулировано конечными элементами, которые сами являются -прямоугольниками. Пятое условие (ь д б) для триангуляции будет тогда читаться так [c.70]

Замечание 2.3,9. Ясно, что проведенный анализ можно расширить на случаи, ко1 да краевые условия заданы только на части Г 1ранпиы Г при условии, что Г,, — в ючности объединение некоторых из граней конечных элементов, входящих в триангуляцию. [c.103]

Предположим, что множество 2 является объединением прямоугольников, образующих некоторую его триангуляцию. Такой триангуляции мы сопоставим просгранство конечных элементов функции коюрого 0 определяются следующим образом [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...