Метод Эйлера (статический)

В некоторых случаях для анализа неустойчивости пользуются несколько иным и притом менее строгим способом рассуждений, который близок к методу Эйлера статического исследования устойчивости упругих систем. Согласно этому способу об устойчивости равновесия, судят по отсутствию возмущенных равновесных состояний, смежных с исследуемым невозмущенным состоянием. Хотя этот способ не всегда эквивалентен описанному выше методу возмущений, однако во многих случаях он быстро приводит к правильным заключениям об устойчивости в частности, это относится КП. 15, где рассматриваются критические состояния вращающихся валов и роторов. [c.156]

Применяя статический метод Эйлера, мы рассматриваем лишь совокупность форм равновесия в малой окрестности точки бифуркации. Этим полностью исключаются из анализа устойчивости возможные формы движения. [c.318]

Применяется также и другой метод определения критической нагрузки в случаях, когда наряду с невозмущенной формой равновесия имеется смежная возмущенная форма равновесия. Если существует смежная равновесная конфигурация, то тело может внезапно перейти от одной равновесной конфигурации к другой при воздействии малых внешних возмущений. Мы будем рассматривать задачу устойчивости способом, который иногда называют эйлеровым методой, для тела, нагруженного неконсервативными внешними нагрузками [21, 23]. Заметим, что, как указано в [23], задача устойчивости для консервативных систем должна изучаться не только методом Эйлера, решающим задачу статической устойчивости, но и динамическим методом, который позволяет определить колебательные формы ухода от исходного положения равновесия системы. [c.99]

Используя этот метод, Эйлер впервые исследовал выпучивание сжатого упругого стержня. В математическом отношении статический критерий приводит к проблеме собственных значений для линейных дифференциальных уравнений, как известно, хорошо изученной. [c.267]

Статический метод Эйлера [c.257]

Нетрудно видеть, что соотношения (16.41), (16.42) по существу совпадают с (16.27), (16.29). Тем самым показана эквивалентность вариационного подхода и рассмотренного в параграфе 16.4 статического метода Эйлера. Так что = Ях и вариационный метод приводит опять же к первой эйлеровой силе. Но при этом вариационный метод показывает устойчивость изогнутой формы равновесия. [c.261]

Изложенный в параграфе 16.4 статический метод Эйлера можно использовать при рассмотрении мягких и приведенных стержней (стержни из эластомеров, пружины, сильфоны и т. п.). При этом, однако, надо учитывать докритическое изменение геометрических характеристик стержня. [c.273]

Для консервативных систем статический и динамический критерии приводят к одним и тем же значениям критической нагрузки. В математическом отношении статический критерий приводит к хорошо изученной проблеме собственных значений для линейных дифференциальных уравнений. Используя статический метод, Эйлер впервые изучил устойчивость сжатого упругого стержня. [c.348]

Метод анализа устойчивости, основанный на рассмотрении функционала потенциальной энергии, называют энергетическим. Наряду с этим в теории устойчивости упругих (вообще -деформируемых) систем широко применяют так называемый статический метод. Идея этого метода восходит к работам Эйлера, который определял критическую силу как силу, требующуюся для самого малого наклонения колонны [6]. Критическая сила (или, в более общем случае, параметр группы сил) определяется как наименьшее значение силы, при котором наряду с невозмущенной формой равновесия появляются смежные, весьма близкие к ней формы равновесия. [c.478]

Для консервативных систем статический и энергетический критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивости, получающиеся при использовании статического метода, являются дифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой приводит энергетический критерий. [c.267]

Можно показать, что в этом случае течение в области с масштабами х у е описывается системой уравнений Эйлера для сжимаемого невязкого газа. Ие решая полной системы уравнений, можно предложить приближенный метод расчета величины минимального расхода, необходимого для безотрывного обтекания щитка с углом отклонения 9. Как показано выше, при углах отклонения 9 зависимость Ц 9 ) определяется в основном порядке на основе решений, описывающих невязкое течение. Вязкость влияет лишь на поправки высокого порядка малости. Физический смысл соотношения (2.72) состоит в том, что устранения отрыва оказывается необходимым отсасывать ту пристеночную часть пограничного слоя или же струйки тока, полное давление которых меньше статического давления на щитке. При заданном угле отклонения щитка 9 и числе невозмущенного набегающего потока можно определить величину отношения р /роо, где р — статическое давление на щитке. [c.68]

Задача об изгибной форме потери устойчивости центрально сжатого гибкого стержня впервые была решена в 1744 г. членом русской Академии наук Л. Эйлером. Рассмотрим решение данной задачи на основе статического. метода. [c.406]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Статический метод (Эйлера) и энергетический метод к неконсерватиБНым задачам устойчивости, строго говоря, не применимы. Исключение составляют ситуации, когда потеря устойчивости неконсервативной системы имеет неколебательный характер. Так, критическую скорость дивергенции крыла можно определить, используя метод Эйлера однако для определения критической скорости флаттера необходимо применение динамического метода. Заранее, как правило, не известно, которая из критических скоростей окажется ниже. [c.480]

При определении 1фитического параметра нахрузки для стержневых систем часто используют статический метод (метод Эйлера). Критическую нагрузку определяют как минимальную, при которой возможно равновесие [c.95]

Но особенно важна роль магнитной жесткости в задачах устойчивости. Поскольку магнитные силы потенциальны, матрица симметрична, и критические параметры могут бьпъ найдены статическим методом Эйлера. [c.334]

Таким образом, поставленная задача может считаться решенной, если будет найдена функция ilin (х). Раскрытие статической неопределимости производится энергетическим методом с иопользованием условия минимума потенциальной энергии системы. Уравнение Эйлера вариационной задачи приводит к разрешающему линейному неоднородному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно искомой величины -фп (х) [c.56]

Первые фундаментальные результаты были получены Лоренцем [7.39] (1908—1911), С. П. Тимошенко [7.12] (1910—1914), Саутуэллом [8.29] (1913—1915) в линейной постановке на основе статического критерия Л. Эйлера [4.14] (1744). Согласно этому критерию критическая нагрузка системы определяется как наименьшая нагрузка, при которой наряду с исходной формой равновесия оказывается статически возможной смежная бесконечно близкая к ней форма равновесия. С математической точки зрения в этом методе задача определения критического состояния системы заключается в нахождении собственных чисел и соответствующих им векторов линейных дифференциальных уравнений. Собственные числа определяют критические нагрузки, собственные векторы — формы потери устойчивости. Зачастую бывает достаточно определить только первое собственное число и соответствующий ему вектор. Найденная таким образом нагрузка определяет момент разветвления форм равновесия и называется верхней критической нагрузкой. [c.8]

История вопроса, насыщенная дискуссиями и порой драматическая, восходит, конечно, к классическим трудам Л. Эйлера [331 ] о выпучивании упругих сжатых стержней. В фундаментальных монографиях и обзорных работах [4, 46, 51, 52, 60, 85, 103, 104, 116, 130, 134, 189, 194, 204, 206, 222, 240,265, 300, 311, 321] можно найти сведения об эвлюции взглядов на проблему устойчивости, обсуждение различных подходов к постановке задачи — статического, энергетического, метода неидеальностей, динамического метода и областей их применимости, сопоставление экспериментальных и расчетных теоретических результатов, обсуждение путей дальнейшего развития теории и т.д. Следует отметить, что большинство глубоких результатов в задаче устойчивости относится к однородным изотропным оболочкам и получено в рамках гипотезы недеформируемых нормалей. Несмотря на значительные достижения [52, 60, 117, 265 и др. ], задача устойчивости слоистых анизотропных композитных оболочек с ограниченной поперечной сдвиговой жесткостью разработана с меньшей полнотой и требует дальнейших исследований. [c.59]

В течение XVII в,, в эпоху формирования классической механики, статические задачи, побуждавшие в той или иной мере заниматься проблемой устойчивости, были оттеснены на задний план задачами динамики. В новых задачах динамики вопрос об устойчивости, принципиально более сложный и гораздо менее наглядный, чем в задачах статики, поначалу вовсе не ставился. В результате в течение примерно столетия в проблему устойчивости не было внесено ничего существенно нового. Обновление приходит вместе с развитием в XVIII в. аналитических методов механики. Новыми существенными успехами учение об устойчивости обязано Л. Эйлеру Стимулом было, как и прежде, исследование проблемы плавания. В 1749 г. в Петербурге была издана двухтомная Корабельная наука (на латинском языке) Леонарда Эй- лера Этот труд был закончен в основном еще в 1740 г. Его третья глава — Об устойчивости, с которой тела, погруженные в воду, упорствуют в положении равновесия ,— начинается с утверждения, что устойчивость, с которой погруженное в воду тело упорствует в положении равновесия, должна определяться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно малый угол. Здесь дается обоснованная предыдупщм изложением мера устойчивости, четко введена устойчивость равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям, а в дальнейшем изложении устойчивость равновесия исследуется с помощью анализа малых колебаний плавающего тела около положения равновесия. Дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее эти колебания, составляется в соответствии с введенной мерой устойчивости, путем отбрасывания малых величин порядка выше первого и поэтому оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами (без слагаемого с первой производной, так как трение не учитывается, и без правой части). Это позволяет сопоставить его с хорошо изученным к тому времени уравнением малых колебаний математического маятника при отсутствии сопротивления среды. Качественная сторона дела тоже учитывается введенной Эйлером мерой момент восстанавливающей силы зависит от оси, относительно которой он берется, и для одних осей он может быть положителен (устойчивость равновесия), для других отрицателен (неустойчивость), для [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...