Возмущения по координате

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений в этом случае они называются возмущениями по координатам. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в 1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в 1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит опреде ления асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда в 1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в 1.7. [c.9]

Несмотря на бесконечное разнообразие физических процессов, вызывающих волны, образование волн происходит по одному общему типу. Возмущение, происшедшее в какой-нибудь точке в известный момент времени, проявляется спустя некоторое время на некотором расстоянии от начальной точки, т. е. передается с определенной скоростью. Рассмотрим для простоты распространение возмущения по какому-либо одному направлению х мы можем изобразить возмущение 5 как функцию координаты х и времени I 5= / (х, 1). Легко видеть, что распространение возмущения со скоростью V вдоль направления х изобразится той же функцией, в аргумент которой /их входят в виде комбинации (у/ — х) или (/ — х/у). Действительно, это строение аргумента показывает, что значение функции, которое она имеет в точке х в момент /, повторится в несколько более отдаленной точке х йх в более поздний момент / + dt, если только [c.26]

Поперечным называется удар, которому соответствует приложенное к стержню давление, изменяющееся по известному закону как во времени А так и по координате х р= р х, )). Поперечный удар сопровождается изгибным деформированием стержня, возникающие при этом возмущения распространяются в виде изгиб-ных волн напряжений с конечной скоростью с, которая зависит от длины волны Л. [c.245]

При решении задач о движении среды с малыми возмущениями предполагается, что скорость, плотность, давление и их производные по координатам и по времени представляют собой известные функции плюс неизвестные малые добавки. Если пренебречь малыми величинами порядка выше, чем первый, то система уравнений становится линейной. [c.156]

На поверхности X конуса Маха сопрягаются два решения волнового уравнения, соответствующие состоянию покоя, ф= о, и состоянию возмущенного движения, ф = ср (т , у, 2, t). Подобные поверхности сопряжения решений с различными аналитическими свойствами называются характеристическими поверхностями уравнений с частными производными. Характеристическая поверхность — конус Маха является в общем случае поверхностью разрыва возмущений в рамках рассматриваемой теории эта поверхность будет поверхностью, на которой разрывы скорости, давления и других величин невелики. В пределе такие поверхности соответствуют слабым разрывам, на которых искомые функции непрерывны, но их производные по координатам вообще терпят разрыв. Очевидно, что скорость распространения поверхности характеристического конуса по неподвижной среде, нормальная к его поверхности, точно равна скорости звука. [c.220]

После получения периодическим режимом движения малых возмущений координат, скоростей и фаз рассмотрим п-ый цикл возмущенного движения системы. Для определенности предполагаем, что внесение возмущений происходит в момент присоединения изменяющей массы т. Исследуемый периодический режим движения, как известно, состоит из двух участков, поэтому обозначим смещение по фазе в п-ом цикле возмущенного движения и малые накопленные возмущения по фазе к началу и-го цикла возмущенного движения на первом участке через и [c.146]

Для учета влияния параметрических возмущений на точность обработки поверхностей, расположенных под прямым углом, рассмотрим общий случай расположения контура, когда стороны заданного контура 1 (2 — полученный контур) наклонены к осям координат под углом Р (рис. 5.14). Управляющие воздействия по координатам выразятся уравнениями [c.116]

Отсюда следует, что при идентичных системах управления по координатам (параметрические возмущения отсутствуют) динамическая ошибка при обработке контура является инвариантной по отношению к углу поворота осей координат. [c.117]

В случае параметрических возмущений малой величины полученное перемещение, например, по координате х, можно представить в виде [c.117]

Для разомкнутых систем управление осуществляется по возмущению , т. е. полной амплитудой управляющих сигналов V (vi, V2,. .., у ). Далее сигналы усиливаются и поступают на корректирующий фильтр, который формирует желаемые динамические и статические характеристики системы управления. Управляющий сигнал и (ui, 2,. .., и ) поступает на исполнительные приводы по координатам. [c.128]

На первом и втором этапах все составляющие вектора внешних возмущений полагаются равными нулю. Решение проводится при значениях Ap i = H-iO, Ap r+i —О на первом этапе и = p b+i=l + iO на втором этапе. В результате определяются и запоминаются значения всех выходных координат, представляющие собой столбцы передаточных матриц RVp и решения (9-9) по каналам от возмущений по давлению на входе в первичный тракт и давлению на входе в тракт вторичного пара. [c.154]

Рассмотрим подробнее характер процессов изменения выходных координат парогенератора при скачкообразных возмущениях по основным входным координатам. [c.180]

Рассмотрим вопрос исключения верхних уравнений. Обратим внимание на то, что правая часть первой строки (IV.49) равна нулю и равны нулю начальные условия по переменной X2i-Процесс по координате Х21 = О, а по координате Х22 процесс равен начальному значению и учитывается в первой строке, имеющей возмущения. Поэтому два верхних уравнения можно из рассмотрения исключить. [c.190]

В связи с тем, что стенки траншеи считаем абсолютно жесткими, возмущенное поле в вязкоупругом наполнителе будем приближенно считать соответствующим плоскому деформированному состоянию, т. е. производными компонент вектора смещения частиц наполнителя по координате л в силу малости по сравнению с производными компонент вектора смещения частиц наполнителя по координате у будем пренебрегать в уравнениях движения частиц наполнителя. [c.195]

Уравнения малых колебаний ограниченной сплошной среды, имеющей одно измерение и возмущение по которой передается без искажения, может при соответствующем выборе масштабов пространственной координаты и времени быть записано в виде. [c.130]

Существенной характеристикой подвеса является степень связанности собственных колебаний системы. При прочих равных условиях более предпочтительны подвесы с полной развязкой частот, когда возмущение по любой из обобщенных координат вызывает колебания лишь по этой обобщенной координате при невозможности полной развязки следует стремиться к развязке частичной. [c.195]

Учитывая, что возмущение действует только по координате г( , получим [c.285]

Поскольку возмущение действует лишь по координате Z y имеем [c.421]

Подставим эти значения возмущенных элементов в систему уравнений (54) и откинем в них произведения малых величин и их производных по координатам как малые высших порядков. Тогда, замечая, что с точностью до малых величин первого порядка малости при баротропном движении будет [c.101]

Подставим в уравнения (2) и (3) значения проекций скорости и скорости звука, согласно совокупности равенств (9), и пренебрежем произведениями возмущений и их производных по координатам, как малыми второго и высших порядков. В этом приближении будем иметь [c.212]

Отказ от геометрической гипотезы о малости отношения толщины оболочки к радиусу кривизны ее срединной поверхности и учет изменения метрики по координате д з делают эффективными полученные уравнения для исследования толстых оболочек и оболочек с быстро изменяющимися геометрическими параметрами. Отсутствие статической, кинематической и физической гипотез о распределении напряжений, деформаций и температуры по толщине позволяет исследовать локальные возмущения, рас- [c.31]

Теперь мы можем вывести кинетическое уравнение для матрицы плотности (4.2.63), применяя к уравнению (4.2.71) теорию возмущений по концентрации примесей rii = = Ni/V. Сначала усредним это уравнение по конфигурациям примесных атомов R . Так как функция ( R ) симметрична по координатам примесей, то [c.278]

На рис. 5.22, 5.23 сплошными линиями показано распределение возмущений давления Ра и по поверхности эллиптического конуса с отношением осей К — 2 с углом полураствора в плоскости малой полуоси, совпадающей с плоскостью угла атаки, 9к = 10° для различных значений угла атаки /5о при числе Маха набегающего потока Мсо = 6. Расчеты проводились на конечно-разностной сетке с числом узловых точек по координате ф - Lk = 73 и по координате = 21. [c.96]

Из (2.105) видно, что колебания линии визирования (ЛВ) (г])) порождают возмущения по координате Ааабс- Согласно условиям устойчивости системы (2.105) коэффициенты характеристического уравнения, соответствующего (2.105), должны быть положительными, и в первом приближении должно выполняться неравенство [c.58]

Решение. Рассматриваем плоскость разрыва (фронт пламени) в системе координат, в которой он покоится (и совпадает с плоскостью yz) ие-возмущенная скорость газа направлена в положительном направлении оси х. На движеине с постоянными скоростями Vi, V2 (по обе стороны разрыва) накладываем возмущение, периодическое по времени и по координате у. Из уравнений движения [c.668]

Прямое количественное сопоставление расчета и эксперимента вряд ли возможно вследствие существенно трехмерной структуры развитого волнового движения - (рис. 5-9). Трехмерная структура образующихся волн является следствием неустойчивости решений уравнении типа (5-75) к возмущениям по третьей координате, на что впервые указано в работах Б. Б. Кадомцева и В. PI. Петвиа-швили. [c.123]

Методы, изложенные нами в предыдущих параграфах, были развиты для исследования непрерывных механических систем, например упругих тел. Однако эти методы можно использовать и для получения уравнений поля, так как с математической точки зрения поле представляет одну или несколько независимых функций от Xj и и их можно рассматривать как обобщенные координаты r j xu X2,X3,t). Заметим, что некоторые ноля, встречающиеся в физике, можно действительно связать с движением некоторой непрерывной среды. Таким является, например, звуковое поле , связанное с продольными колебаниями частиц материальной среды. Точно так же электромагнитное поле долгое время связывалось с упругими колебаниями, неведомого эфира, и лищь в последнее время стало ясно, что эфир играет лищь роль объекта, к которому относятся слова передавать возмущение (по выражению С. Л. Квимби). [c.394]

Таким образом, операторы Rju, j=i, D2, р, t k = j, q, Dr, связывающие входные и выходные координаты теплообменника, выражаются в явном виде через трансцендентные функции Яп и комплексы, составленные из коэффициентов уравнений динамики, комплексного параметра преобразования Лапласа по времени s и передаточных функций разделяющей стенки. Выще были приведены выражения и показан способ их определения для наиболее общего случая конвективно-радиационного теплообменника со сжимаемой рабочей средой, распределенными по длине температурой газа и энтальпией рабочей среды. Вид Rjh не зависит от модели разделяющей стенки. Выбор модели стенки влияет только на выражения передаточных функций Операторы Rjh для трубопроводов, радиационных теплообменников и прямоточных конвективных теплообменников совпадают с соответствующими передаточными функциями Wjk. В случае противоточного конвективного теплообменника возмущения по температуре газа задаются в точке. =1. Операторы Rju получены в результате решения задачи Коши, когда возмущения считались заданными в точке Х=0. Поэтому для лротивоточного теплообменника передаточные функции Wjh не совпадают с Rjh, а определяются комбинацией последних в соответствии с табл. 8-2. [c.123]

В частотной области система уравнений, описывающих парогенератор, представляет собой линейную систему алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, зависящими от частоты. Ее решение для заданного набора значений частоты определяет реакцию в частотной области всех выходных координат на заданную совокупность внешних возмущающих воздействий, которые в общем случае также могут зависеть от частоты. Если задано возмущение только по одной из составляющих вектора X, причем его изображение соответствует импульсной функции Re=l= onst, lm = 0, то в результате решения определяются частотные характеристики по каналам от этого возмущения по всем выходным координатам. Алгоритм расчета частотного спектра реакции выходных координат (или частотных характеристик) парогенератора разделяется на три блока [c.153]

Затем для той же частоты производится решение системы уравнений ларогенератора по подпрограмме IV. Как указывалось выше, решение проводится в три этапа. На первых двух этапах решение проводится при единичных значениях давления на входе в тракты первичного и вторичного пара соотвегственно. Результаты решений на каждом этапе записываются на МБ. На третьем этапе решение системы уравнений парогенератора проводится однократно при заданной совокупности внешних возмущений либо многократно для заданного значения возмущения по каждому из каналов в отдельности, Результаты решения последовательно записываются на МБ. Вслед за этим комбинацией результатов всех этапов, считываемых с МБ, определяются значения выходных координат либо по каждому каналу в отдельности, либо для заданной совокупности. Предусматривается печать выходных координат в отдельности для каждого возмущения. При этом на рабочее поле вызывается сервисная программа. Печать может блокироваться с пульта. По окончании работы подпрограммы IV значения действительных частей выходных координат теплообменников, помеченных специальной меткой, записываются на МБ. [c.160]

Полученное дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью можно легко решить, проведя преобразование по Лапласу по координате z при нулевых начальных (по z) условиях. Такое преобразование Лапласа по координате z справедливо, если при продолжении области до Z—VOO не будет внесено новых возмущений. При равномерномн распределении плотности теплового Потока по длине °Hap(2 )= onst упомянутое условие выполняется. [c.103]

Операторы A представляют собой я-кратные интегралы от (я — 1)-кратных коммутаторов операторов W t), взятых в разные моменты времени. В нек-рых случаях ряд в экспоненте (2) обрывается и оператор временной эволюции записывается в конечном виде. Так происходит, наир., в задаче об эволюции гармония. осциллятора, на к-рый действует произвольная ввеш. сила 14], ив задаче об эволюции в поле, линейном по координатам г и импульсам р произвольной квантовой системы с гамильтонианом, квадратичным по г и р [5]. М. р, используется при построении теории внезапных возмущений в процессах встряски типа рассеяния (см. Внезапных возмущений метод). В нулевом порядке по параметру мгновенности сот < 1 (т — х актерное время взаимодействия, йсо — типичные собств. значения невозмущёвного гамильтониана) оператор временной эволюции отличается от (2) заменой в Ап (ф-лы (3)) W t) на [c.24]

Волновой характер формирования нестационарных температурных полв11 явно выражен при возникновении теплового возмущения в одной плоскости и равномерном начальном распределении температур по координате х.. Это возможно при наличии теплового потока на облучаемой поверхности ( 0) или внутреннего плоского источника тепла ( 0). В таких случаях через каждую плоскость с координатой х.Фх. проходит одна температур- [c.550]

В текущем невозмущенном состоянии введем декартову систему координат с ортами Э , Эз, направленными по координатам Хи Х2, Хз соответственно. Связанные с элементом орты Э],, Эг, Эз в возмущенном состоянии окажутся повернутыми относительно Э , 3°, Эз, и этот поворот легко описать, вводя малые углы Atoi, Ао)2, А(оз, где Аю — поворот относительно оси хц (рис. 47). Ввиду малости (а впоследствии — бесконечной малости)р углов Aojft полный поворот каждого из ортов Э можно предста- [c.184]

Удар по поверхности оболочки 5+ и S-вызывает поперечные и продольные бегущие волны. Общая форма движения оболочки определяется распространением волн по координатам л н Если внешнее возмущение имеет иесглаженный по времени фронт, то возникают волны в направлении которые, распространяясь по толщине оболочки и многократно отражаясь от поверхностей S+, S несущественно искажают общую форму движения оболочки. Однако значительные градиенты перемещений иа фронте этих волн обусловливают появление высоких касательных и нормальных напряжений, представляющих особую опасность в зонах микротрещин н инородных включений. Вследствие многократности действия оии могут привести к расслоению материала оболочки и ее резрушению. Волны по толщине оболочки вызывают также общее высокочастотное колебание, наиболее отчетливо проявляющееся в переходной момент времени изменения внешней нагрузки. [c.115]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

Относительно простые уравнения, учитывающие геометрическую нелинейность задачи, получаются, если ввести допущение о том, что в процессе ползучести оболочки при возмущенном движении, обусловленном некоторыми отклонениями от идеальной формы, напряжения и деформации в ней мало отличаются от напряжений и деформаций основного безмо-ментйого состояния. Введение этого допущения позволяет привести задачу об определении прогибов и напряжений пологой оболочки в условиях ползучести к системе из двух нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, зависящих от координат на срединной поверхности и времени [87], Эти уравнения отличаются от уравнений, которые были получены ранее [83, 77] при исследовании условных критериев устойчивости, только слагаемыми, учитывающими геометрическую нелинейность. Сведение задачи к системе из двух уравнений позволяет использовать для решения задач ползучести оболочек эффективный прием, аналогичный тому приему, который был предложен Карманом и Тзяном при решении нелинейных задач для упругих оболочек. Прием состоит в разыскании функции прогибов в виде ft (О Щ (х, у), где Wi x, у) — задаваемые функции координат. Вид функции напряжений устанавливается с помощью уравнения совместности. Второе уравнение интегрируется по координатам приближенно в смысле Бубнова — Галеркина. Задача сводится к системе нелиь ей-ных интегральных уравнений относительно функций интегрирование которых при заданных начальных условиях [c.273]

Как известно, инерциальные навигационные системы позволяют получать всю совокупность необходимых параметров для управления объектом, включая углы ориентации. При этом системы полностью автономны, т. е. для их нормального функционирования не требуется использования какой-либо информации от других систем (кроме, может быть, начала работы, когда требуется задать начальные условия по координатам и проекциям скорости). Еще одним достоинством этих систем является высокая скорость выдачи информации внешним потребителям скорость обновления углов ориентации составляет до 100 Гц, навигационной — от 10 до 100 Гц. Этот показатель для спутниковых систем составляет для лучших приемников 10 Гц, а, как правило, 1 Гц. Вместе с тем, инерциальным системам присуш,и недостатки, которые не позволяют использовать их долгое время в автономном режиме. Измерительным элементам ИНС, прежде всего, гироскопам и акселерометрам, присуш,и собственные методические и инструментальные ошибки, начальные условия не могут быть введены абсолютно точно, вычислитель, входящий в состав ИНС, вносит свои погрешности. Под влиянием этих факторов ИНС работает в так называемом возмущенном режиме, и получаемая с нее информация будет содержать ошибки, вызванные влиянием перечисленных возмущений. Для устранения влияния этих факторов переходят к созданию комплексов, обеспечивая коррекцию ИНС. В зависимости от используемых средств можно выделить следующие виды коррекции [c.21]

Задача, которую мы рассмотрели, указывает на заметное отличие от теории плоских волн в сферической лолне, возникшей в результате произвольного возмущения, содержатся и сжатые и разреженные участки даже в тех случаях, когда начальная скорость отсутствует и начальное возмущение плотности имеет везде одинаковый знак. Это утверждение легко обобщить при помощи выражения (1) 69. Если мы проинтегрируем значение в некоторой точке Р за период времени, в течение которого успевает пройти вся волна, так что значения и, V, w обращаются в нуль на обоих пределах, мы найдем, что все производные интеграла по координатам равны нулю. [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...