Интегралы Производные

Преобразование производных и интегралов [c.105]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

При анализе полей течения типа, описываемого уравнением (7-3.2) (с малым числом е и вычислениями, проводимыми с точностью до первого порядка малости по е), можно вывести соотношения, связывающие некоторые интегралы (по интервалу О < S < оо) компонент тензора X и производные материальных функций основного течения. Такие соотношения называются соотношениями согласованности и могут быть получены при помощи постулата, что любое течение с предысторией постоянной деформации можно представить в виде суперпозиции подходящих малых возмущений и некоторого течения с предысторией постоянной деформации того же самого типа. Пусть /с и N определяют основное течение с предысторией постоянной деформации, а /с + еАг и N — возмущенное течение с такой же предысторией. Простые вычисления показывают, что возмущенное течение удовлетворяет уравнению (7-3.2), если G определяется в виде [c.274]

Если для вычисления изменений термодинамических функций используют экспериментальные данные, выраженные через остаточный объем, то частные производные также удобно выразить в функции а вместо общего объема. Интегралы могут быть затем вычислены с помощью кривых, выражающих зависимость и от р и г, подобно кривым, изображенным на рнс. 20. [c.160]

Интегралы в (2. 6. 42), обозначенные угловыми скобками, представляют собой хорошо известные 3/- и 6/-символы для сферических гармонических функций [16]. Эти символы обозначают результат интегрирования трех, четырех полиномов Лежандра и их производных [c.58]

Количество цепей, их детализация и взаимная ориентация, а также взаимодействие между ними конкретизируются для каждого типа ЭМП в отдельности. Благодаря взаимному вращению и нелинейности уравнения таких цепей получаются в общем случае нелинейными и кроме производных и интегралов включают периодические коэффициенты времени. Подобные уравнения во многих случаях недоступны не только аналитическим, но даже численным методам решения с применением ЭВМ. Поэтому как в теоретическом, так и вычислительном плане имеется необходимость в таких преобразованиях общих уравнений ЭМП, которые существенно облегчают процесс решения при сохранении требуемой общности и точности полученных результатов. [c.82]

Теорема 4.5.4. Отыскание интегралов произвольной системы дифференциальных связей, содержащих т уравнений, равносильно решению п 4- 1 — тп уравнений в частных производных [c.328]

Подобным же образом доказывают, что интегралами будут являться равенства ( "//( /" = если эти производные не являются тождественными постоянными. [c.95]

В соотношения (16) и (16 ) входят производные от координат точек по времени не выше первого порядка и не входят вторые производные от этих координат. Следовательно, эти соотношения являются первыми интегралами дифференциальных уравнений системы (3). [c.261]

Первым интегралом является интеграл кинетического момента относительно вертикали (оси Ог- . Он следует непосредственно из теоремы о кинетическом моменте относительно оси Ог производная по времени от проекции на ось Ozj кинетического момента Ко равна проекции на эту ось главного момента внешних сил [c.456]

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) црл заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, его решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной. зависимости силы от времени t, координаты х и скорости а. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (9), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде f t] х, у, г х, у, z) = С называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (9). [c.234]

В некоторых случаях из дифференциальных уравнений движения системы можно получить первые интегралы, т. е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени. [c.283]

Первыми интегралами этой системы называют такие функции времени, координат и первых производных от координат по времени, которые равны константам, если координаты и их производные по времени удовлетворяют уравнениям (IV.2) [c.322]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Аналогично можно доказать сходимость интегралов, выражающих первые частные производные от V по координатам X, у, г. Однако доказать этим способом сходимость интегралов, выражающих вторые частные производные потенциала V, невозможно. [c.487]

Пусть область 2 — односвязна и пусть М- (х, , xj, г )—некоторая точка области Q, в которой разыскивается вектор смещений и = и(хи х и xf). Соединим точки Mq и Mi некоторой кривой, лежащей целиком в Q. Если бы частные производные (5ы,/5ху были известны, то компоненты искомого вектора перемещения можно было бы определить криволинейным интегралом [c.12]

Напомним, что функция V определяется с точностью до полинома первой степени ио Xi и л.., .) Тогда, если УИ1 —любая точка на контуре Г, то, вычисляя в (2.108) криволинейные интегралы от Мп до Ml, найдем значения первых производных от У в этой точке [c.62]

При /-->0 главный член этого выражения совпадает с (74,14), причем автоматически определится также и функция [(() в последнем (предполагаем, что при —оо производная 3 () достаточно быстро обращается в нуль). При очень же больших значениях г (в волновой зоне), основную роль в интеграле (74,15) играет область значений t—t л/с поэтому в знаменателе подынтегрального выражения мол<но положить [c.399]

С математической точки зрения закон сохранения энергии дает один из первых интегралов уравнений движения, так как уравнение, представляющее закон сохранения энергии, содержит только координаты и скорости, т. е. первые производные от координат по времени, и не содержит ускорений (вторых производных от координат по времени) поэтому иногда выражение закона сохранения энергии называют интегралом энергии или интегралом живых сил. [c.233]

Функция и называется эллиптическим интегралом первого рода имеются подробные таблицы Лежандра (1752—1833), дающие значения и при О я/2 и О й < 1. При г з = л/2 приходим к полному эллиптическому интегралу первого рода К = = и л/2). Функция (ijj) непрерывна при всех значениях i 5 ее производная [c.501]

Фигурирующая в этом соотношении под интегралом производная. дТ/д Уз может быть вычислена с помош ью уравнения Максвелла (2-144а), которое применительно к рассматриваемой системе принимает вид [c.146]

Исследуем теперь правила преобразования производных и интегралов от зависящих от времени неотносительных тензоров. Пусть J — произвольный зависящий от времени тензор, который нейтрален в том смысле, что [c.105]

Метод Остроградского — Якобн позволяет свести задачу об отыскании 2s первых интегралов дифференциальных уравнений кано-иической системы (132.5) к задаче определения полного интеграла некоторого уравнения с частных производных первого порядка. [c.382]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Предположим, что некоторая функция f q, р, О = onst является первым интегралом уравнений движения. Вычислим производную d[[q t), p t), tydt, где q t) и p( ) —решения уравнений Гамильтона. [c.267]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Решение дифференциального уравнения в частных п]ю-изводных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ) в уравнение (6.12) входит только 1ерез свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.155]

Полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка называется функция, которая удовлетворяет этому уравнению и имеет в своем еоставе такое количество независимых постоянных интегрирования, которое равно количеству независимых переменных, от которых зависит искомая функция. Полный интеграл уравнения (11.350) имеет следующий вид [c.356]

При выводе формулы (49,1) молчаливо подразумевалось, что поток тепла зависит только от градиента температуры и не зависит от градиента давления. Это предположение, априори не очевидное, может быть оправдано теперь следующим образом. Если бы в q входил член, пропорциональный V/ , то в выражении (49,6) для изменения энтропии прибавился бы еще член, содержащий под интегралом произведение VpVT. Поскольку это последнее может быть как положительным, так и отрицательным, то и производная от энтропии по времени не была бы существенно положительной, что невозможно. [c.274]

Производные в подынтегральном вырал<ении берутся до взятия значения при t — R/ , т. е. только по первому аргументу функций Tik T, i). Эти производные можно заменить производными от функций i — R/ ), взятыми но обоим аргументам, вычитая из них каждый раз производные по второму аргументу. Первые представляют собой полные дивергенции и интегралы от них, будучи преобразованы в интегралы по удаленным замкнутым поверхностям, обращаются в ноль, поскольку вне турбулентной области 7,. = 0. Производные же по теку-ш,им координатам Гь входящим в состав аргумента t — R/ , можно заменить производными по координатам точки иаблюде- [c.407]

Замечаем, что во втором члене производные dx ldxi составляют единичный тензор б ,. В первом же члене под интегралом стоит дивергенция некоторого тензора этот интеграл преобразуется в интеграл по поверхности. В результате находим [c.15]

Легко определить силы реакции, действующие на пластинку со стороны опоры в точках закрепления, и силы равны и противоположны силам, действующим на опору со стороны пластинки. Как известно из механики, сила, действующая в некотором направлении, равна производной от энергии по координатам, взятой по этому направлению. В частности, сила, с которой пластинка действует на опору, определяется цроизводной от энергии по смещению I края пластинки, взятой с обратным знаком, а обратная сила реакции — той же производной с положительным знаком. Но эта производная есть не что иное, как коэффициент при во втором интеграле в (12,3). Таким образом, сила реакции, отнесенная к единице длины контура, равна выражению, стоящему в левой части уравнения (12,6) (конечно, не равному теперь нулю), умноженному на D. Аналогично, момент сил реакции определяется выражением, стоящим в левой части уравнения [c.66]

Условие (8) означает, что / — функция первых интегралов / , /2, /й-1- Если / — первый интеграл, то выполнено условие (8), а если выполнено (8), то / — функция /1, /2,. .., fk- и, следовательно, является первым интегралом. Поэтому равенство (8) является необходимым и достаточным условием того, что (при известных первых интегралах / , /2,. .., /л-i) / есть первый интеграл. Последнее означает, что условия (2) и (8) эквивалентны. Поэтому соответствующие коэффициенты при производных dfjdxi i = = 1, 2,. .., /с) в равенствах (2) и (8) нронорциональпы, т. е. существует функция M xi, Х2,. .., х ) такая, что [c.268]

В равенство (9) входят интегралы /1, /2,. ./(,-ь Однако можно получить дифференциальное уравнение для М, которое не содерзкит /1, /2,. .fk-i- Покажем, что мпо китель М удовлетворяет линейному уравнению в частных производных [c.268]

Отсюда II следуют иптогралы (32) и (33). В существовании упомянутых интегралов. можно убедиться и непосредственно, вычислив полные производные по времени от правых частей равенств (31) —(33) в силу уравнений движения (29), (30) II убедившись, что эти производные тождественно равны пулю. [c.274]

Ука.чапны. с четырех интегралов достаточно, чтобы интегрирование системы (29), (30) можно было свести к квадратурам. Чтобы в этом убедиться, достаточно найти множитель Якоби М. Разрешив уравнения (29) относительно производных, получим [c.274]

Для того чтобы функция fiqt, Pi, t) была первым интегралом, необходимо и достаточно, чтобы ее полная производная но времешт в силу уравнений (2) тождественно равнялась нулю df/dt = 0. Вырашм это условие через скобку Пуассона. В силу (2) имеем [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...