Колебательные системы и дифференциальные уравнения их движения

Диссипативными называют автономные системы, находящиеся под действием диссипативных сил (а также обычно и восстанавливающих сил, придающих системе колебательные свойства). Дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы при наличии только диссипативных сил имеет вид [c.22]

Решение системы дифференциальных уравнений движения (172) обнаруживает затухающий характер колебательного процесса системы, но при умеренном демпфировании частоты колебаний незначительно отличаются от собственных частот недемпфированной системы. [c.280]

На основании соотношения (11.206) найдем общий интеграл системы дифференциальных уравнений колебательного движения в следующем виде [c.259]

Отсюда можно получить также решение однородной системы дифференциальных уравнений колебательного движения. Для этого достаточно положить в уравнениях (II. 218) Q t) = О () = ), 2,. .., IV). [c.269]

В исследовании И. А. Вышнеградского был рассмотрен вполне конкретный вопрос— задача об устойчивости регуляторов ), Ценность этого исследования заключается в том, что И. А. Вышнеградский впервые применил к решению важного технического вопроса совершенную методику, основанную на анализе корней характеристического уравнения, составленного для системы дифференциальных уравнений колебательного движения регулятора. Эту систему уравнений И. А. Вышнеградский приводит к одному уравнению. [c.323]

Отметим, что функция ХхЦ), описывающая свободные затухающие колебания системы, содержит две произвольные постоянные а и фо, для определения которых нужно знать начальные условия движения. В противоположность этому функция Хг(0 не содержит произвольных постоянных и, следовательно, не зависит от начальных условий движения. Все входящие в нее величины определяются непосредственно из самого дифференциального уравнения движения. Физически это значит, что при затухании свободных колебаний системы с течением времени дальнейшее колебательное ее движение будет определяться только свойствами самой системы, а также амплитудой и частотой вынуждающей силы. [c.188]

Во избежание недоразумений следует в подобных случаях различать полное число степеней свободы Н, определяемое числом независимых координат q ,. . qfj, и число степеней свободы колебательной системы Н , равное здесь Я — 1. Очевидно, что если степень подвижности исследуемого механизма равна W и движение ведущих звеньев можно считать заданным, то Я = = Н — W. Порядок системы дифференциальных уравнений равен при этом 2Я . [c.62]

Последнее равенство является дифференциальным уравнением движения простейшей колебательной системы при отсутствии сил сопротивления, пропорциональных скорости. [c.23]

Следовательно, решение неоднородного дифференциального уравнения движения простейшей колебательной системы запишется в следующем виде [c.24]

Уравнения Лагранжа дают возможность сравнительно просто составлять дифференциальные уравнения движения любой сложной колебательной системы, если ее связи являются голономными, т. е. такими, уравнения которых не содержат производных координат по времени. Для получения дифференциальных уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа необходимо составить только выражения для кинетической и потенциальной энергии системы в функции выбранных координат. При этом сами координаты носят название обобщенных координат. [c.31]

Уравнения (40) являются системой к дифференциальных уравнений движения. Эти уравнения удобно применять для описания колебательных явлений в машинах, имеющих к степеней свободы. [c.38]

Действительные значения перемещений х, у и углов поворота 11] и 0 при колебательном процессе определяются путем интегрирования дифференциальных уравнений движения системы, так как эти величины являются независимыми обобщенными координатами. Что же касается углов поворота зубчатых колес вокруг осей 2, то они также могут быть использованы в качестве обобщенных координат, так как упругая податливость зубьев зацепления вводит дополнительную степень свободы. Однако для дальнейших преобразований удобнее разделить переносные и относительные углы поворота, выразив последние через другие координаты. [c.239]

Обобщенные силы. Колебательная система может находиться под действием внешних сил, приложенных к различным частям системы. При составлении дифференциальных уравнений движения эти силы должны быть учтены. В простейших случаях учет этих сил не представляет трудности, однако при выборе произвольных обобщенных координат последним соответствуют обобщенные силы, определяемые из того условия, что их работа выражается суммой произведений этих сил на приращения обобщенных координат. При этом не всегда очевидно, какая обобщенная сила (или комбинация действующих сил) соответствует той или иной обобщенной координате. Например, если для системы из двух масс и т с пружинами (фиг. 10) за обобщенные координаты принять перемещения Xj и х , то обобщенными силами будут силы Pi н Р , непосредственно действующие на массы в направлении указанных перемещений. Для системы же, изобра- [c.11]

Линейность системы дифференциальных уравнений позволяет применить к ним так называемый принцип суперпозиции при действии в колебательной системе нескольких возбуждающих сил, разных по величине, фазе и месту приложения. Под этим понимается возможность наложения в любых точках системы движений, найденных по отдельно действующим внешним возбуждающим силам. Благодаря этой возможности при полигармоническом возбуждении проще всего искать решения уравнений отдельно при возбуждениях с каждой из частот рсо спектра, а затем складывать для искомых точек по абсциссе времени синусоиды перемещений с учетом сдвига фаз 0,- (гармонический синтез). [c.32]

Существование динамических аналогий между механическими, электрическими, акустическими и тому подобными системами основано на формальном сходстве дифференциальных уравнений, описывающих колебательные движения этих систем. Выводы, полученные путем исследования дифференциального уравнения движения системы, могут быть распространены на динамически аналогичные системы иной природы. Рассмотрим аналогии между механическими системами и электрическими цепями. [c.51]

В автономных системах действующие силы зависят только от состояния системы (обобщенных координат и обобщенных скоростей), и в дифференциальные уравнения движения время явно не входит. В дифференциальные уравнения движения неавтономных систем время входит явно. Если для автономной нелинейной системы с несколькими степенями свободы можно заранее указать с достаточной точностью законы изменения во времена некоторых из обобщенных координат, то число дифференциальных уравнений движения соответственно уменьшается в этих уравнениях явно появляется время, и систему в целом можно рассматривать как неавтономную. На этом основана постановка задачи о вынужденных колебаниях, когда предполагают, что движение колебательной системы не оказывает обратного влияния на возбудитель колебаний, т. е. действие возбудителя представляет собой некоторую заданную функцию времени ( идеальный возбудитель ). При учете обратного влияния система обычно оказывается нелинейной и автономной, а число обобщенных координат большим, чем в приближенном анализе, необходимость такого учета зависит от свойств и параметров системы (см. гл. VII). [c.21]

Автоколебательными называют автономные системы, в которых могут происходить периодические колебания, причем потери механической энергии непрерывно пополняются притоком энергии из источника, не обладающего собственными колебательными свойствами поступление энергии из источника управляется самим движением системы, а период и размах колебаний не зависят (в широких диапазонах) от начальных условий. Такие колебания называют установившимися (стационарными) автоколебаниями, а процесс постепенного приближения к установившимся автоколебаниям, возникающий после произвольного начального возмущения системы, — переходным процессом. Если дифференциальное уравнение движения системы можно представить в виде (2), то при относигельной малости нелинейной части обобщенной силы установившиеся автоколебания приближенно описываются зависимостью [c.22]

Методика изучения курса учитывает разницу в распределении учебных часов между лекциями и упражнениями. В связи с этим некоторые темы курса на упражнениях не рассматриваются, а целиком изучаются на лекциях с подробным решением необходимых задач. Например, в разделе Статика не выносится для изучения на занятиях тема Определение положения центра тяжести твердого тела в разделе Кинематика — темы Сферическое движение твердого тела , Сложное движение твердого тела в разделе Динамика — темы Колебательное движение материальной точки , Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела относительно неподвижной оси , Составление дифференциальных уравнений движения системы материальных точек с помощью уравнений Лагранжа второго рода . [c.12]

Наоборот, для получения удовлетворительного описания поведения системы приходится учитывать зависимость возмущающей силы от движения колебательной части системы, а иногда и рассматривать совместное движение как колебательной системы, так и источника возбуждения. Естественно, что при этом порядок дифференциальных уравнений движения может повыситься, и, как правило, эти уравнения становятся нелинейными. [c.102]

Следует подчеркнуть, что дифференциальные уравнения движения колебательной системы совместно с возбудителем не обязательно автономны, как это имело место в указанном выше примере (инерционное возбуждение колебаний возбудителем асинхронного типа). В ряде случаев целесообразно выделять некое промежуточное звено, служащее возбудителем для колебательной части системы, причем ритм работы этого возбудителя задается другим весьма мощным источником и может считаться не зависящим от движения системы. Хотя в этих случаях ритм работы возбудителя является заданным, но возникающие при движении колебательной части системы силы все же зависят от этого движения. При этом имеется существенное взаимодействие колебательной части системы с возбудителем, но уравнения движения оказываются неавтономными. [c.108]

Для оценки виброустойчивости станков используют экспериментальные и аналитические методы. Первые на стадии проектирования станков реализовать невозможно. Поэтому для расчета динамической системы аналитическим методом выбирают параметры из условия устойчивости систем на основе анализа дифференциальных уравнений движения. Для их составления создают расчетную схему. Последнюю представляют в виде механической модели, состоящей из отдельных сосредоточенных масс, соединенных упругими связями. При этом предполагают, что деформация станка происходит, главным образом, в его стыках и соединениях. Упругую систему рукавных станков для полирования и щлифования облицовочного камня с некоторыми допущениями можно принять плоской (рис. 1). Подобный подход обусловлен тем, что угловые колебания рукавов относительно оси у практически не влияют на качество обрабатываемой поверхности. Начало координат располагают в центрах тяжести каждой массы ( i и Сг). Обобщенными координатами будут относительные перемещения масс, отсчитываемые от начала координат, и углы поворота масс относительно центров тяжести. По данной колебательной модели составляют уравнения движения [c.304]

В технике довольно часто встречаются случаи колебательного движения системы при сухом внешнем трении (трении между твердыми телами). Рассмотрим движение системы, на которую действует сила сопротивления в виде силы сухого трения. Она принимается постоянной и не зависящей от скорости движения- Дифференциальное уравнение движения системы будет тх- -дх Р или [c.169]

Пусть движение динамической модели, полученной для рассматриваемой колебательной системы при учете некоторых малых (паразитных) параметров, отображается системой дифференциальных уравнений п-го порядка [c.746]

После построения частного рещения общее решение системы неоднородных дифференциальных уравнений (11.212) определяется как сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы. Следовательно, колебательное движение системы при наличии возмущающих сил является результатом суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. [c.265]

Уравнение вида (11.287) можно рассматривать как дифференциальное уравнение колебательного движения при наличии сил сопротивления. Подстановка (11.288) позволяет свести вопрос о движении системы при наличии сопротивления к вопросу о движении системы без сопротивления. [c.308]

В рассмотренных выше системах с сосредоточенными постоянными имеет место пространственное разделение элементов массы и упругости (механические системы) или емкости и индуктивности (электрические системы). В этих системах можно не учитывать времени передачи возмущения от точки к точке, оно мало по сравнению с периодом колебаний. В системах происходят колебательные процессы, зависящие от единственной переменной — времени t. Поэтому движения в системах со сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. [c.319]

Рис. 41. Объединение однотипных иллюстраций к различным разделам курса 1) колебательное движение одномерной консервативной системы в потенциальной яме 2) этапы построения траекторий и решения уравнений движения в центральном поле сил 3) зависимость одной из постоянных интегрирования от определяющей координаты при применении метода Гамильтона—Якоби. Аналогичные многозначные зависимости можно указать и в других случаях Объяснение. Решение многих задач механики упирается в интегрирование дифференциального уравнения вида

К модификации 2 отнесем динамические модели 0—U.—H, для которых ведущая часть предполагается абсолютно жесткой, а ведомая отображается в виде колебательной системы с Я степенями свободы. При линеаризации диссипативных сил эта модель обычно описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Переход от модификации 1 к модификации 2 при динамических расчетах дал чрезвычайно богатый материал для рационального проектирования скоростных механизмов, у которых динамические нагрузки являются доминирующими. Использование этого материала оказалось особенно эффективным при динамическом анализе и синтезе законов движения ведомых звеньев, приводимых в движение от кулачковых механизмов. [c.51]

Динамические свойства электромагнитных управляющих элементов могут быть описаны дифференциальными уравнениями первого, второго и третьего порядков. Экспериментальные исследования показали, что в электромагнитном управляющем элементе может быть получен апериодический переходный процесс, но выходное сопротивление усилителя при этом должно иметь величину, не встречающуюся в практических задачах. Поэтому описание движения электромагнитного управляющего элемента уравнением первого порядка представляет, по-видимому, лишь теоретический интерес. При работе с усилителями, имеющими выходные сопротивления, которые реально встречаются в практически используемых системах, можно выделить два случая поведения электромагнитных управляющих элементов. В одном случае, когда выходное сопротивление усилителя очень велико, электромагнитный управляющий элемент ведет себя как колебательное звено и может быть описан уравнением второго порядка. В другом случае, когда выходное сопротивление усилителя относительно мало, поведение электромагнитного управляющего элемента описывается дифференциальным уравнением третьего порядка. Заранее предсказать поведение любого электромагнитного управляющего элемента при наличии информации лишь о выходном сопротивлении усилителя невозможно, ибо каждая конструктивная разновидность управляющих элементов по-разному работает с одним и тем же усилителем. И наоборот, один и тот же управляющий элемент при работе с разными усилителями будет иметь различные динамические свойства. [c.344]

Для одномассной колебательной системы, состоящей из УЭ и массы, на которую действует вынуждающая сила Р sin сод/, решение дифференциального уравнения стационарного движения имеет вид [c.219]

При сжатии упругого ротора продольной силой проекции прогибов Uj (s, t) на сферические плоскости удовлетворяют дифференциальным уравнениям (I) с нижними знаками, зависимостям (1а) при / < s < / и граничным условиям (2). Все основные уравнения и характеристики движения этой колебательной системы приведены в п. 2. [c.198]

Рассмотрим, например, движение нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы, описываемое дифференциальным уравнением [c.134]

Из решения дифференциальных уравнений механических и электрических систем следует, что подобно тому как масса, податливость и трение в механической системе определяют движение тел, так индуктивность, емкость и сопротивление определяют ток в электрической цепи. Рассмотрим основные колебательные системы и их электрические аналоги. [c.19]

Первая лекция. Важность изучения колебательных движений при рассмотрении многих вопросов современной техники. Причины возникновения колебаний. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Типичные примеры колебания груза на пружине, крутильные колебания диска, колебания груза на конце консоли, малые колебания математического и физического маятника. Условия, при которых упомянутые системы можно рассматривать как системы с одной степенью свободы. Общность рассмотренных задач. Интегрирование дифференциального уравнения свободных колебаний. Параметрическая структура коэффициента жесткости. Возникновение нелинейных задач теории колебаний. [c.22]

В настоящем параграфе остановимся на исследованиях, посвященных специфическим явлениям в механических колебательных системах, движение которых в простейшем случае одной степени свободы описывается дифференциальным уравнением [c.94]

Один из важных классов рассматриваемых систем образуют автоколебательные системы, описываемые автономными дифференциальными уравнениями. Колебательный характер движений таких систем определяется внутренними свойствами системы в целом При этом периоды возможных установившихся режимов колебаний (таких режимов может быть несколько в зависимости от начальных условий движения) определяются значениями параметров системы. Примерами автоколебательных систем являются часы, а также системы, в которых колебания возбуждаются силами сухого трения, потоком жидкости или газа, и т. п. [c.102]

Системы, взаимодействующие с источником возбуждения. Особый класс образуют системы, для которых характерно обратное влияние движения колебательной части на источник возбуждения. В этих системах возмущающие силы существенно зависят не только от состояния колебательной системы, но и от состояния возбудителя, поведение которого описывается дополнительным дифференциальным уравнением (или ч истемой уравнений). Указанные системы часто называют системами, взаимодействующими с источником возбуждения или системами с ограниченным возбуждением. [c.106]

Для иллюстрации общих особеп-иостей динамического поведения колебательных систем с ограниченным возбуждением рассмотрим простейшую систему с циклически деформируемым упругим элементом (рис. 34). Дифференциальные уравнения движения такой системы можно получить в виде [61] [c.92]

Понятие динамической системы возникло как обобщение понятия механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями Ньютона. В своем историческом развитии понятие динамической системы, как и всякое другое понятие, постепенно изменялось, наполняясь новым, более глубоким содержанием. Уже в книге Рейли по теории звука с единой точки зрения рассматриваются колебательные явления в механике, акустике и электрических системах. В настоящее время понятие динамической системы является весьма широким. Оно охватывает системы любой природы физической, химической, биологической, экономической и др., причем не только детерминированные системы, но и стохастические. Описание динамических систем также допускает большое разнообразие оно может осуществляться или при помощи дифференциальных уравнений, или такими средствами, как функции алгебры логики, графы, марковские цепи и т. д. [c.8]

Периодическая возмущающая сила вызывает вынужденные колебания материальной точки. Если возмущающая сила не является периодической функцией времени, то она вызывает также непериодическое движение, К этому выводу можно прийти на основании содержания 197 первого тома. Обращаем внимание на то, что при рассмотрении колебаний материальной точкй исходные предположения приводили к определению закона движения точки из линейного дифференциального уравнения. Далее будем иногда называть, как и в предыдущем параграфе, материальные системы, закон движения которых определяется из системы линейных дифференциальных уравнений, линейными системами и соответствующие колебательные движения — линейными колебаниями. [c.276]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Составьте уравнение движения подвижного элемента колебательной системы в дифференциальной форме для случая, когда в системе действует сила трения, пропорциональная скорости. Что представляет собой решение 8Т0Г0 уравнения Из каких условий определяются постоянные интегрирования (амплитуда и начальная фаза) Чем определяется частота затухающих колебаний Что такое коэффициент затухания и как он связан с параметрами колебательной системы Что называют логарифмическим декрементом затухания и как он связан с коэффициентом затухания [c.354]

Динамические погрешности механизмов. Исследование динамических погрешностей выполняют с использованием динамических моделей, в которых учитывают инерционные и упруго-диссипати"в-ные свойства элементов механизмов. Обычно используют модели с сосредоточенными параметрами и представляют механизмы колебательными системами с сосредоточенными массами (массовыми моментами инерции) и безмассовыми упругими элементами. Движение механизмов описывают дифференциальными уравнениями, составленными, например, методом Лагранжа [9, 791. При исследовании рассматривают упругую податливость звеньев и элементов кинематических пар механизмов. Например, в колебательной модели кулачкового механизма (рис. 11.5, а, б) учитывают массу толкателя и жесткость с толкателя или высшей кинематической пары кулачок-толкатель [791. В зубчатых механизмах (рис. 11.5,6—д) принимают во внимание инерционные свойства ротора двигателя 1 , зубчатых колес Ji (/1,2)1 нагрузки Js, жесткости валов (сц с ) и зацеплений зубчатых колес (сх, [c.638]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...