Возмущение начальное произвольное

Пусть в (3.45) V — произвольный вектор требуется исследовать устойчивость по отношению к таким возмущениям начальных условий. Будем искать соответствующее решение в виде [c.87]

Необходимым и достаточным условием устойчивости по отношению к возмущению начальных данных вида (3.45) при произвольном векторе v является ограниченность степеней матрицы перехода S [c.87]

Вынужденные колебания при произвольных возмущениях. При произвольной обобщенной силе Q=Q(t) и е<оэ метод вариации произвольных постоянных при нулевых начальных условиях приводит к решению уравнения (6.1.7) в виде [c.321]

Если в начальный момент задать продольное возмущение по произвольному закону (а не по (7.2)), то свободные колебания уже не будут [c.292]

Все сказанное выше описывает лишь ситуацию внутри множества симметричных траекторий и не затрагивает более общие вопросы, например вопрос об устойчивости или неустойчивости в каком-либо смысле множества симметричных траекторий относительно произвольных несимметричных возмущений начальных данных. [c.129]

Предположим, что имеем покоящийся газ с параметрами v = Vq = 0 р=Ро, Р = Ро где и Ро — постоянные величины. В начальный момент в газе создано такое малое возмущение, при котором дальнейшее движение газа происходит параллельно оси Ох и все величины, характеризующие движущийся газ, завися голько от координаты и времени I. В произвольный момент времени для скорости, давления и плотности имеем [c.585]

Третий случай (5111 7 й ). Интегрируя уравнение (5) и определяя произвольную постоянную интегрирования но начальным условиям (а = аа, ф = фо при =0), находим уравнение относительной траектории возмущенного движения [c.650]

Проведем качественное исследование формулы (9.19). Пусть 7 = о и начальное возмущение сосредоточено в произвольной области (U. Будем рассматривать решение в некоторой точке хо, Уо, 2о, расположенной вне со, на расстоянии 6i от нее. [c.117]

Как видно, скорость распространения поперечной волны неограниченно растет с увеличением частоты ю. Но произвольно заданное начального возмущения вообще может быть разложено в ряд Фурье, содержащий члены со сколь угодно высокими частотами таким образом, существуют возмущения, которые распространяются мгновенно. [c.196]

Предполагаем, что перечисленные свойства справедливы для произвольно сжатого стержня (стержня с произвольными нагружением, опорными устройствами, отношениями длин участков и жесткостей их сечений), имеющего малые начальные несовершенства. Принятие этого предположения позволяет на основании сформулированных свойств дать следующее определение критической силой для сжатого стержня с малыми начальными несовершенствами, обозначаемой Рк, называется наименьшее значение сжимающей силы, при превышении которого малые возмущения вызывают относительно большие увеличения наибольшего прогиба стержня. [c.354]

Предположим теперь, что решение о соответствует начальным условиям, получаемым путем незначительного возмущения любого перманентного вращения Oj вокруг оси х, т. е. предположим, что д и Tq являются произвольно малыми, а Pf близко к значению р, определяющему вращение Oj. Значения постоянной с , а следовательно и осей эллипса (26) будут ничтожно малыми мы видим таким образом, что при движении, определяемом из решения а, проекции д к г будут сколь угодно долго оставаться близкими к д=г = 0. [c.95]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Автоколебательными называют автономные системы, в которых могут происходить периодические колебания, причем потери механической энергии непрерывно пополняются притоком энергии из источника, не обладающего собственными колебательными свойствами поступление энергии из источника управляется самим движением системы, а период и размах колебаний не зависят (в широких диапазонах) от начальных условий. Такие колебания называют установившимися (стационарными) автоколебаниями, а процесс постепенного приближения к установившимся автоколебаниям, возникающий после произвольного начального возмущения системы, — переходным процессом. Если дифференциальное уравнение движения системы можно представить в виде (2), то при относигельной малости нелинейной части обобщенной силы установившиеся автоколебания приближенно описываются зависимостью [c.22]

Одной из задач динамики старта летательных аппаратов является определение начальных возмущений ф (4) и ф которые получает тело при сходе с направляющей. В более общем случае точка приложения силы R не лежит в плоскости чертежа, она случайна (рис. 2.13), поэтому и возникающие случайные векторы fi и Ml имеют произвольные направления, т. е. имеют отличные от нуля проекции на все оси Xt, что приводит к колебаниям системы при старте как в плоскости чертежа, так и относительно этой плоскости. В упрощенном варианте система имеет две степени свободы. Рассматривая движение системы, можно получить два линейных уравнения относительно углов ф и v (угол v характеризует отклонение системы относительно плоскости чертежа) вида [c.63]

Квазистатическое движение по основному (невозмущенному) пути при t ter становится неустойчивым, так как какой бы малой ни была норма отклонения и < 6 в начальный момент движения в возмущенном решении вдоль боковой ветви, нельзя гарантировать выполнение неравенства 5и < б в последующем движении, поскольку вектор Ц йЦ может иметь произвольную амплитуду 7. [c.137]

Рассматривается задача о движении в неподвижном газе плоского и пространственного поршней произвольной достаточно гладкой формы с нулевой нормальной начальной скоростью и ненулевым начальным ускорением. Дано приближенное представление решений в окрестности криволинейных слабых разрывов, которые в начальный момент времени отрываются от поршня и распространяются по покоящемуся газу. Получены точные формулы для предельных времен существования гладких потенциальных течений в окрестности слабых разрывов в зависимости от геометрии поршня и величины задаваемого ускорения в предположении, что возникающие возмущения не догоняют слабый разрыв. Исследованы некоторые свойства течений в окрестности слабых разрывов. [c.288]

Эта процедура позволяет найти функции U z) и 2(0) на любом интервале изменения их аргументов z и 0. Она может быть также запрограммирована для численной реализации на ЭВМ и открывает возможности исследования переходных процессов в системах с двумя движущимися границами при наличии как начальных возмущений, так и источников внешних воздействий. Заметим, что решение однородной системы функциональных уравнений (4.54) при произвольных начальных условиях (4.55) всегда можно выразить через ее решения G z) и Gj(0), удовлетворяющие разрывным начальным условиям [c.168]

Изложенный здесь подход открывает возможности в исследовании сложных и еще не изученных явлений и эффектов, таких, как резонанс в системах с движущимися границами при произвольных внешних и начальных возмущениях, параметрическое демпфирование вынужденных колебаний и других, имеющих непосредственно отношение к вопросам устойчивости и надежности работы различных технических устройств и механизмов. [c.168]

В своем изложении теории возмущений Якоби показывает, что если интегралы (21) уравнений (19) получены через главную функцию и произвольные постоянные не являются даже начальными значениями переменных, то все же выражения ajg (25) будут равны нулю для i Ф s я равны + 1 для i = [c.21]

Большое число работ было посвящено в XIX в. исследованию колебаний струн и стержней. Для струн были рассмотрены задачи с различными специальными начальными условиями, задачи вынужденных колебаний, колебаний конечной амплитуды и пр. (М. Дюамель, Дж. Г. Стокс, Г. Гельмгольц, Г. Кирхгоф, Рэлей). Теория продольных и крутильных колебаний стержней оказалась достаточно простой благодаря наличию в этом случае определенной скорости распространения произвольных возмущений для поперечных колебаний единой скорости распространения волн не существует, и это сильно осложняет расчеты. Обстоятельные исследования различных колебаний стержней были начаты Пуассоном и продолжались на протяжении всего века. [c.60]

Чтобы исследовать действие произвольного начального возмущения, предположим, что для / = 0 имеем [c.323]

Прн помощи соответствующего наложения различных нормальных колебаний возможно представить затухание любого произвольного начального возмущения. [c.790]

Задача 2.5.1. Найти управления п е К, переводящие систему (2.5.5) за конечное время из заданной области S начальных возмущений Хо = Хо(0 S в положение у = y t ) = 0. Значения компонент вектора х, не вошедших в у, при t = t могут быть произвольными.) [c.142]

Рассмотрим нестационарную задачу, получаемую из (35.10) заменой —о d/dt. Будем предполагать, что произвольное начальное возмущение и х, Z, 0) может быть представлено в виде разложения [c.258]

Закритический режим устойчив в малом. Структура конвективного движения в этом случае такова. В полярной области жидкость движется к началу координат и растекается вдоль экваториальной плоскости. Примечательно, что полон ение оси конвекции произвольно, и, по-видимому, определяется характером начального возмущения. [c.181]

Согласно.... определению устойчивых и неустойчивых движений, в действительности общий характер будут сохранять, по крайней мере по отношению к функциям Фд, только устойчивые по отношению к Фд теоретические, невозмущенные движения. Последнее обстоятельство отнюдь не означает, что все движения, определенные принятыми законами, являются устойчивыми при любых малых возмущающих силах и произвольно малых возмущениях начальных данных. Оно означает, что законы эти по основному требованию малых отклонений от опщтных данных сами по себе не могут опираться ни на что иное, как на движения, устойчивые в той или иной мере по отношению к наблюдаемым функциям Фд . [c.14]

Но ясно, что если мы придадим произвольным постоянным постоянные мал1,1е добавки, то мы просто получим некоторое другое решение тех же уравнений невозмущенного движения (12.11) и не продвинемся ни на шаг на пути нахождения решения уравнений возмущенного движения (12.1) или (12.12). Это другое решение может быть получено из первоначального как результат возмущений начальных условий (12.3), так что возмущения координат для любого 1 получатся как следствия их начальных возмущений, а не как следствия воздействия постоянно действующей возмущающей силы. Поэтому если мы желаем получить решение уравнений возмущенного движения [c.570]

Численные методы позволяют вычислять траектории на конечных временных интервалах, но неприменимы при бесконечном увеличении времени. Задача трех тел дает типичный пример существуют ли произвольно малые возмущения начальных данных, при которых одно из тел уходит на бесконечность На математическом языке задача заключается в исследовании траекторий векторного поля в фазовом пространстве. Будучи далеко не решенной, данная проблема включает в себя различные области научного знания от теории вероятностей и топологии до теории чисел и дифференциальной геометрии. Никола Бурбаки наверняка простит нас за смешивание такого количества областей. [c.9]

В последние годы в математической работе Зигеля и А озера f3I I было показано, что некоторые классические разложения в ряды в небесной механике являются сходящимися и с их помощью можно описать решения задачи п тел, справедливые на всем интервале времени. Эта работа прояснила связь рядов Ньюкома с большинством типов планетных движений. Как отметил Басс [21 Для всех существенно нерезонансных начальных состояний ряды Ньюкома сходятся (неравномерно), и, таким образом, эти движения являются квазипериодическими однако они не обладают орбитальной устойчивостью, и поэтому произвольные малые возмущения начальных условий могут вызвать беспорядочные движения. Если движения являются резонансными пли почти-резо-иансными, то ряды могут сходиться равномерно (орбитально устойчивое квазипериодическое движение) или неравномерно (орбитально неустойчивое квазипериодическое движение), либо ряды могут расходиться (беспорядочное движение) . [c.279]

Произвольное начальное малое возмущение определяется некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эволюция возмущения определяется системой линеаризованных граничных условий, которые долисны удовлетворяться на поверхности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда граничные условия определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых t > О останется малым. Если же число уравнений больше или меньше числа независимых параметров, то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или имеет их бесконечное множество. Оба случая свидетельствовали бы о неправомерности исходного предположения (малость возмущения при малых t) и, таким образом, противоречили бы поставленному требованию. Сформулированное таким образом условие называют условием эволюционности течения. [c.467]

Метод Делоне возник из астрономических задач теории возмущений. Однако он был замечательным образом применен к задачам молодой квантовой теории. Квантовая теория Бора предполагала, что для вращающегося электрона разрешены лишь определенные орбиты. При движении по этим орбитам полностью отсутствуют потери энергии, так что движение происходит в соответствии с обычными законами механики. Таким образом, квантовая теория восприняла принципы механики, а следовательно, и канонические уравнения без каких бы то ни было модификаций. Она просто добавила определенные дополнительные ограничения на начальные условия. Теперь 2п констант интегрирования стали уже не произвольными величинами, а величинами [c.289]

Приведенные выше формулы применяются главным образом в теории планет для вычисления их возмущений путем сведения задачи к вариации произвольных постоянных, являющихся элементами первг>начального движения. Они особенно полезны для определения тех изменений, которые астрономы называют вековыми, так как они имеют очень длинные периоды и не зависят от тех изменений, которые происходят в первоначальных переменных величинах. [c.432]

Действительно, каждое слагаемое (4.2) удовлетворяет уравнению (1.1). Начальные условия (1.2) и условие (1.4) при ж = О также выполнены для каждого слагаемого. Осталось показать, что на теле удовлетворяется условие (1.3). Рассмотрим сечение х = onst звездообразного тела с произвольным четным числом лепестков, например, с восемью, как показано на рис. 7, а. Возьмем произвольную точку на луче (1-1). Граничное условие (1.3) в этой точке может нарушаться под воздействием возмущений, вызванных присутствием лучей (2-2), (3-3) и (4-4). В силу симметричного расположения луча (1-1) по отношению к лучам (2-2) и (4-4) возмущения, приходящие от них, взаимно компенсируются в направлении нормали и изменяют только касательную составляющую скорости в данной точке луча (1-1). Луч (3-3) по отношению к лучу (1-1) индуцирует только касательную составляющую скорости. Таким образом, решение (4.2) удовлетворяет условию (1.3) в каждой точке тела. [c.282]

Найдем на оси х область, от которой зависит течение в произвольной то4ке Р плоскости х, t. Характеристики, проходящие через точку Р, пересекают ось х в точках А ж В (см. рис. 3.2). Состояние среды в точке Р полностью определяется заданием начальных условий на отрезке АВ и не зависит от исходного состояния среды вне его. Отрезок АВ называется областью зависимости решения в точке Р(х, i). Из рис. 3.2 также видно, что влияние начального состояния среды на отрезке АВ на течение в последующие моменты времени ограничивается характеристиками АО слева и ВС справа. Область, заключенная между осью х и указанными характеристиками,, называется областью влияния начальных возмущений, заданных на отрезке АВ оси х. При определении областей зависимости и влияния предполагалось, что характеристики одного семейства не пересекаются друг с другом, что справедливо для непрерывного течения. [c.86]

Представляет определеппый интерес рассмотрение процессов формирования импульсов из произвольно заданного в начальный момент времени возмущения. Однако аналитически, с помощью изложенного метода, это сделать не представляется возможным, так как не ясно, будет ли набор собственных функций ортогональным и полным, если весовая функция терпит разрыв на интервале [-/"(0),/+(0)]. [c.108]

Техника решения задач выпучивания оболочек в условиях ползучести при задании начальных отклонений от идеальной формы достаточно хорошо разработана. При задани начального прогиба достаточно произвольного вида и достаточно сложном законе ползучести расчет возмущенного движения оболочки, с учетом физической и геометрической нелинейности и определение момента времени, когда будут достигнуты некоторые предельные услов ия, т. е. определение критического времени, не составляет, вообще говоря, принципиальных трудностей. Основная трудность расчета устойчивости оболочки в условиях ползучести состоит в задании величины и характера начального прогиба, целиком определяющих результаты расчета. Важно при этом учитывать саму постановку вопроса об устойчивости в условиях ползучести — устойчив ли основной Процесс ползучести оболочки на конечном интервале времени по отношению к некоторым возмущениям Исследование [c.275]

Задача, которую мы рассмотрели, указывает на заметное отличие от теории плоских волн в сферической лолне, возникшей в результате произвольного возмущения, содержатся и сжатые и разреженные участки даже в тех случаях, когда начальная скорость отсутствует и начальное возмущение плотности имеет везде одинаковый знак. Это утверждение легко обобщить при помощи выражения (1) 69. Если мы проинтегрируем значение в некоторой точке Р за период времени, в течение которого успевает пройти вся волна, так что значения и, V, w обращаются в нуль на обоих пределах, мы найдем, что все производные интеграла по координатам равны нулю. [c.268]

Предположим теперь, что в некоторой произвольной среде начальное, состоящее из некоторого импульса или из некоторого смещения, возмущение, по величине пропорциональное oskx на единицу длины, производит колебание типа [c.494]

Kelvin [1880] вывел точные дисперсионные уравнения для произвольных бесконечно малых гармонических возмущений ядра вихря Рэнкина, показал, что эти возмущения являются нейтральными, и привел количественные результаты для осесимметричной и изгибной мод в длинноволновом приближении. Сэффмэн [2000] проанализировал дополнительно случай, когда длина волны сравнима или меньше размера ядра вихря. В работе Arendt et al. [1997] продемонстрировано путем численного моделирования как начальные локализованные возмущения на вихревой трубке с постоянной завихренностью эволюцио1шруют в пакеты волн Кельвина. [c.199]

Таким образом, рассмотрение всех типов стационарных надкритических течений приводит к вью оду, что устойчивыми из них являются только пространственно-периодические вторичные течения с волновыми числами в интервале (34.17). Это означает, что хотя начальное возмущение основного течения может содержать произвольный спектр волновых чисел, в результате переходного процесса во всей области устанавливается пространственно-периодическое течение с единым волновым числом, определяемым начальным возмущеш ем. [c.244]

Рассмотрим теперь случай, когда риф произвольны, т.е. инкремент нарастания модуляционной неустойчивости не мал. Этот случай описьюает-ся полным уравнением (34.3). Непосредственное численное моделирование в длинной области [30] показало хаотический характер движения. Согласно численным экспериментам, в которых изучалось развитие локализованного начального возмущения, наложенного на основное течение [20], в расчетной области формируются разделенные переходными фронтами три зоны, в которых течение является невозмущенным, регулярным пространственно-периодическим и хаотическим во времени ив пространстве. Вследствие различия скоростей движения переходных фронтов с течением времени увеличивается протяженность как хаотической, так и регулярной зон. При сильной модуляционной неустойчивости происходит прямой переход от невозмущенного к хаотическому движению. [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...