Вариационный принцип для уравнения Больцмана

Хотя мы получили точные уравнения для параметров отклика и точные выражения для поправок к средним значениям динамических переменных, следует отметить, что успех применения всего изложенного формализма к конкретным задачам в значительной степени зависит от удачного выбора базисным динамических переменных Р . Далее мы покажем, что все наборы базисных переменных оказываются эквивалентными, пока мы имеем дело с точными формулами линейной реакции. Однако это не так, если корреляционные функции вычисляются приближенно, скажем, методами теории возмущений. Как правило, чем меньше динамических переменных включено в базисный набор, тем выше порядок приближения, который приходится учитывать. Ситуация здесь во многом аналогична той, которая встречается в вариационном методе решения кинетического уравнения Больцмана [78]. Интересно, что для решения уравнений линейной реакции также можно сформулировать вариационный принцип, относящийся к различным наборам базисных переменных [68]. Этот вопрос обсуждается в приложении 5А. [c.344]

В этом разделе исследуем возможность получения вариационного принципа для линеаризованного уравнения Больцмана. Будем рассматривать стационарный случай, хотя, используя свертку или преобразование Лапласа, можно изучать и нестационарный случай. Итак, рассмотрим уравнение [c.239]

Приведенный пример показывает, что если мы располагаем вариационным принципом, то небольшой объем вычислений дает достаточно точные результаты как станет ясно из дальнейшего изложения (разд. 5 и 7), тут не просто случайное совпадение. Это обстоятельство побуждает искать вариационный принцип и для нелинейного уравнения Больцмана. К сожалению, это не так просто. Дело в том, что для любого уравнения [c.398]

Полученные здесь вариационные принципы могут быть использованы для нахождения приближенных решений уравнения Больцмана с помощью методов, развитых в задачах 28.4 и 28.5. Однако выбор подходящей пробной функции в общем случае гораздо более сложен. [c.631]

Упаковочный множитель I 94 Упругое рассеяние и закон Видемана — Франца II 322, 323 Уравнение Больцмана I 318—328 вариационный принцип I 327, 328 и законы сохранения I 327 обоснование приближения времени релаксации для изотропного упругого рассеяния на примесях I 324—326 решение в приближении времени релаксации I 319, 320 См. также Приближение времени релаксации [c.412]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Функции /г, удовлетворяющие уравнению (4.3), должны удовлетворять тем же самым граничным условиям, что и решение /г линеаризованного уравнения Больцмана. Таким образом, можно искать К с некоторым числом параметров и затем определить их из вариационного принципа, делая / (/г) стационарным. Если граничные условия содержат неоднородный член вида 211 1, где и — значение скорости на границе, или АТ ( — 5/2), где ДГ — отклонение температуры, заданной на границе, от средней температуры, то величина — (( , /г)), т. е. / К) для /г = А, становится поверхностным интегралом или от РцП1и (и тогда он дает сопротивление), или от qlni (и тогда он дает поток тепла к телу). Это означает, что если при помощи вариационного метода К аппроксимируется со средней ошибкой 10%, то можно определить сопротивление или теплопередачу с ошибкой порядка 1%, потому что, согласно (4.3), члены порядка б/г взаимно уничтоя аются и ошибка становится порядка Ыг . [c.226]

Вариационные принципы для линеаризованного уравнения Больцмана излагались в разд. 10 и 12 гл. IV. Если вариационный принцип применять к кнтегродифференциальному уравнению (разд. 10 гл. IV), то трудно сделать простые, но разумные предположения о функции распределения, однако если удается сделать такие предположения, то они приводят к простым выражениям для приближенного решения. Использование модельных уравнений в интегральной форме (разд. 12 гл. IV) приводит к длинным вычислениям и громоздким результатам даже для простых пробных функций, но результаты окупаются даже при не слишком удачных предположениях. В самом деле, применен ние модельных кинетических уравнений в интегральной форме означает, что предположение о конечном числе моментов приводит к функции распределения, которая автоматически удовлетворяет граничным условиям какие бы предположения ни делались, результат все равно останется верным по структуре в свободномолекулярном пределе. [c.396]

Равенство вероятностей прямых и обратных процессов при квантово-механическом описании внутренних степеней свободы симметризует интеграл столкновений и поэтому квантовомеханический подход удобен для обш их исследований. Однако для получения численных результатов необходимо знать все вероятности переходов (дифференциальные сечения столкновений), определение которых представляет самостоятельную сложную и далеко не решенную проблему. Поэтому фактическое вычисление коэффициентов переноса пока удается провести лишь для весьма схематизированных молекул. В тех случаях, когда время возбуждения внутренних степеней свободы много больше времени возбуждения поступательных степеней, удается выразить коэффициенты переноса для равновесного и релаксируюш,его газа с внутренними степенями свободы с приемлемой точностью через известные коэффициенты одноатомного газа (В. С. Галкин и М. Н. Коган, 1968). С другой стороны, известно, что процесс столкновений молекул при не слишком низкой температуре удовлетворительно описывается классической механикой. Но при классическом описании симметрия прямых и обратных процессов нарушается, интеграл столкновений, а с ним и все исследование суш ественно усложняются. Однако для определения коэффициентов переноса можно пойти другим путем, минуя непосредственное использование уравнения Больцмана (В. И. Власов, С. Л. Горелов и М. Н. Коган, 1968). Макроскопические связи тензора напряжений и вектора потока тепла с гидродинамическими -величинами можно получить, например, с помош,ью теории необратимых процессов или с помош ью вариационных принципов, предложенных Л. И. Седовым [c.427]

Задача 47. Используя метод рассмотрения линеаризованного уравнения Больцмана в 6, вывести вариационный принцип для оценки минимального собственного значения линеаризованного оператора интеграла аолкновений. [c.422]

Задача 48. С помощью вариационного принципа, введенного в предыдущей задаче, оценить минимальное собственное значение щ линеаризованного уравнения Больцмана, если чааицы взаимодействуют как упругие твердые сферы заданного радиуса. [c.424]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...