Точные решения задачи трех тел

Лагранж получил еще одно точное решение задачи трех тел, рассматривая движения частиц, расположенных на одной прямой, вращающейся вокруг центра масс. [c.66]

Точные решения задачи трех тел [c.343]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [c.345]

Пусть даны трп тела с произвольными массами т, т и т". Пусть массы т и т" находятся друг от друга на произвольном расстоянии. Тогда на прямой линии между т п нг" всегда имеется определенное положение для т, которому соответствует точное решение задачи трех тел. Еслп массы различны по величине, то всегда имеются трп различные конфигурации, которым соответствуют точные решения, в зависимости от того, наибольшая, наименьшая или третья масса лежит посередине. [c.348]

Лагранж получил пять точных решений задачи трех тел (рис. 2.3), когда массы их подчиняются условию /я, > > т , а движение происходит в одной плоскости. Эти решения определяют пять точек, в которых масса т- , имея нулевую относительную скорость, остается неподвижной относительно Ш и все три тела будут двигаться в плоскости, в которой они находятся, так, что их взаимные расстояния всегда сохранятся неизменными. Эти точки называются либрационными, или центрами либрации, три из которых - коллинеарные либрационные точки, расположенные на прямой АВ - между массами /и, и - [c.110]

Заметим, наконец, что когда в поле тяготения тела 5 (Солнца) движется одновременно несколько тел Я, (планет), то точное решение задачи требует учета не только сил притяжения между телами и телом S, но и взаимного притяжения тел Pj. Точное решение возникающей отсюда задачи и тел, т. е. задача о движении п материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, связано с большими математическими трудностями, и его не удалось пока найти с помощью известных в анализе функций даже для случая трех тел. [c.396]

Вторая основная трудность состоит в том, что даже если бы мы точно знали силы взаимодействия между нуклонами, то все равно еще оставалась бы проблема математического решения квантовой задачи многих тел, причем вследствие громоздкости, в общем случае непреодолимой даже с помощью современной машинной техники, эта трудность носит не технический, а принципиальный характер. Известно, что уже неквантовая задача трех тел является сложной математической проблемой. При переходе от классической задачи многих тел к задаче о движении нуклонов в ядре необходимый здесь учет квантовых свойств приводит к колоссальным усложнениям. Действительно, в рантовой теории система из А нуклонов описы [c.80]

В такой ситуации мог бы принести пользу особый метод описания квантовых систем — метод эволюции по константе связи, сокращенно ЭКС, который в равной мере пригоден для решения задач как нерелятивистской квантовой механики, так и квантовой теории поля (см. [И]). Для задачи трех тел этот метод был развит в работах [12, 13], где была показана возможность построения удобной итерационной схемы для вычисления амплитуды упругого рассеяния. Быстрая сходимость соответствующего итерационного ряда связана с точным выполнением условий унитарности и причинности на каждом этапе последовательных приближений. [c.287]

После того как математики осознали невозможность решения в замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому, теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx = О Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов [207]. В 1887 г. появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал- [c.15]

Количественный анализ, выполненный В. А. Егоровым, показал, что достаточно точное определение параметров энергетически оптимальных пространственных траекторий и достаточно точная оценка влияния ошибок в начальных данных на решение конечной задачи могут быть сделаны в рамках ограниченной круговой задачи трех тел без учета притяжения Солнца и других планет, а также без учета на первом шаге эллиптичности лунной орбиты. [c.746]

Теорема 4. Задача трех тел при произвольных значениях их масс допускает точное решение, при котором [c.79]

Проведенные оценки дают возможность выявить наиболее существенные факторы и отбросить второстепенные. Для целей предварительного анализа траекторий движения КА в 2 была использована простейшая модель линеаризованной в окрестности Ьг круговой ограниченной задачи трех тел. Для более точного описания пассивного движения КА необходимо в первую очередь учесть нелинейность задачи по отклонениям от равновесной точки и эллиптичность орбиты Луны. В следующем параграфе будет рассмотрена нелинейная задача о движении КА в окрестности Ьг в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — КА) без учета возмущающего влияния Солнца и других внешних факторов. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Ее решение можно положить в основу алгоритма расчета пассивного движения КА в окрестности Ьг- [c.281]

Движение КА определяется решением точной системы уравнений ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — КА). Движение Луны эллиптическое. [c.294]

Движение КА определяется решением точной системы уравнений ограниченной задачи четырех тел (Земля — Луна — Солнце — КА). Геоцентрические координаты и компоненты вектора скорости Луны Г1 ( ), VI (i) определяются численным интегрированием уравнений задачи трех тел (Земля — Луна — Солнце). [c.294]

Можно было бы подумать, что, кроме известных интегралов и теоремы вириала, в задаче трех тел не удастся получить никакие другие общие результаты, поскольку и в ограниченной задаче исследованы еще не все решения. В самом деле, даже в ограниченной задаче, если два тела конечной массы двигаются не по окружностям, а по эллипсам, то интеграл Якоби не имеет места. Тем не менее работы последних лет (главным образом численное интегрирование общей задачи трех тел, выполненное для широкого спектра начальных условий и масс) позволили сделать определенные выводы о поведении системы трех тел вообще, но не о поведении какой-то конкретной системы. Точно так же статистик страхового общества сейчас может сделать точный прогноз [c.172]

Более точно можно определить Мт как геометрическое место тех точек допустимой области (I, i,..., Рз, рз), в которых функция (33) 394 принимает постоянное значение А, причем слово допустимой означает, что структура этой области отвечает некоторым требованиям. Например, наклонность i должна рассматриваться как угловая переменная (mod л), а еслп требуется (как и в 394), чтобы треугольник Д был невырожденным, то подпространство трех расстояний р,- должно определяться неравенствами О С pi < Pj + Pit. Фактически полное многообразие всех возможных состояний движения в задаче трех тел получим лишь в том случае, если также включим, с одной стороны, предельные случаи сизигий и коллинеарных решений, когда, АI = О С pi = Рз -f- рй для одной какой-либо системы индексов I, /, к и, с другой стороны, предельные случаи парных и одно-1 ременных столкновений, когда по крайней мере одно pi = 0. Действительно, в 498—500 мы увидим на сравнительно простом примере, насколько существенными являются столкновения для понимания топологической структуры. Конечно, лишь детальный анализ позволит решить, какова допустимая область (I, I, Pl, Рг, Рз) в случае, когда (pi, рз, рз) соответствует какому-либо из предельных случаев. [c.422]

Периодические орбиты Пуанкаре. Лагранж впервые показал, что при определенных начальных условиях можно довести до конца точное интегрирование дифференциальных уравнений движения в задаче трех тел. Мы обязаны Лагранжу пятью такими специальными решениями. [c.127]

Приведенная масса. Ранее ( 13) рассматривались уравнения динамики системы материальных точек. При этом указывалось, что решение их встречает для многих точек непреодолимые математические трудности. Действительно, точного решения системы уравнений (13.3) для произвольных сил не найдено уже в случае трех материальных точек, поэтому важна задача о замкнутой системе двух точек, называемая задачей двух тел. Она имеет простое и исчерпывающее решение — сводится к основной задаче динамики одной материальной точки. Решение задачи двух тел используется в небесной механике, описывающей движение планет и их спутников в Солнечной системе, в задачах на столкновение частиц, в статистической физике и других вопросах. [c.142]

Попытка учесть влияние других небесных тел, в первую очередь Луны, приводит к знаменитой задаче трех тел, а также многих тел, для которых точное решение найти не удается. При рассмотрении подобных задач Лагранж, Лаплас, Пуассон, Гаусс сформулировали основные представления теории возмущений, разработали эффективные методы расчета орбит планет. Так при изучении задачи трех тел — системы Солнце — Земля — Луна в качестве невозмущенной выбрана задача двух тел для системы Солнце — Земля. В качестве малого параметра в возмущенной задаче использовалось отношение масс Луны и Земли. Широко известный в истории науки факт открытия на кончике пера планеты Нептун Дж. Адамсом и У. Леверье связан с использованием в расчетах теории возмущений. [c.31]

К числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неоднородностях. Это объясняется тем обстоятельством, что практически во всех возникающих задачах наличие неоднородности (включения, полости, выреза, локального изменения свойств и т. д.) является почти непременным условием и информация о динамической напряженности возле этих неоднородностей необходима для различных целей. В то же время задачи дифракций упругих волн на неоднородностях входят в состав классических задач динамики деформируемых тел, а их решение требует привлечения сложного математического аппарата. Последнее обстоятельство наряду с другими не позволило на протяжении длительного времени исследовать широкие классы задач с оценкой динамической напряженности вблизи неоднородностей и основные достижения получены в основном в трех традиционных направлениях. Первое направление связано с построением точных аналитических решений отдельных весьма немногочисленных задач в большинстве случаев без анализа динамической напряженности вблизи неоднородностей. Второе направление состоит в сведении весьма широких классов задач дифракции упругих волн к системам многомерных сингулярных и регулярных интегральных уравнений с последующим доказательством существования и единственности решения. Третье направление связано с развитием асимптотических методов решения задач дифракции упругих волн, в большинстве случаев не позволяющих определить динамическую напряженность вблизи границ раздела свойств (вблизи неоднородностей). [c.5]

Главное, что будет излагаться в этой книге, по существу, состоит из трех основных частей 1) основные понятия о перемещениях, внутренних напряжениях, деформациях и работе внутренних сил, а также о процессе нагружения малого элемента твердого тела 2) основные механические свойства твердых тел, такие, как упругость и идеальная пластичность, текучесть, ползучесть и релаксация, вязкость и динамическое сопротивление, усталость и разрушение 3) основные кинематические и геометрические гипотезы, упрощающие математическую постановку задач о напряжениях, деформациях, перемещениях и разрушениях твердых тел при различных внешних воздействиях, а также основные уравнения и методы решения задач о деформации и прочности тел. Методы сопротивления материалов отличаются от более строгих методов теории упругости и пластичности в основном введением ряда упрощающих предположений кинематического и геометрического характера и, тем не менее, в большинстве случаев оказываются достаточно точными. [c.12]

Сравнивая решения задачи для сферы / = 5 (Я = 54-75 км) и 50 см (Я = 85 км), можно сделать вывод о том, что для всех трех моделей соответствующие значения газодинамических параметров в возмущенной области течения близки друг другу, хотя первая модель дает несколько меньший размер возмущенной области. Профили концентраций, полученные по второй модели, ближе располагаются к "точным", чем профили решений первой модели (фиг. 3). Различия в значениях концентраций диссоциированных компонентов, полученных в рамках первой и второй моделей, характерные как для / = 5 см, так и для R = 50 см, можно объяснить главным образом тем, что обменная реакция (О + N2 = N0 + К), влияющая на перераспределение этих компонентов, не является быстрой во всем ударном слое около тела. По этой же причине вторая модель, в которой эта реакция считается идущей с конечной скоростью, дает результаты, наиболее близкие к "точным". [c.185]

Движение происходит таким образом, как если бы каждая масса притягивалась центром инерции с сплоп, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Таким образом, каждая масса описывает коническое сечение, фокус которого находится в центре инерции. Расстояния между массами всегда образуют равносторонний треугольник, п если конические сечения будут параболами или гиперболами, то расстояния могут неограниченно возрастать. Это первое из найденных Лагранжем точных решений задачи трех тел. [c.346]

Еслп задана последовательность, в которой расположены три массы на прямой, и выбрано для расстояния между двумя внеш-Н1ШИ массами определенное значение, то существует только одно положение среднего тела, которому соответствует лагранжево точное решение задачи трех тел. Еслп изменить порядок расположения масс, то получим три, вообще говоря, различных ро-ш нпя. [c.350]

Те точки, которые определяют лагранжевы точные решения задачи трех тел, мы назовем, следуя Гильдену, точками либрации. [c.350]

Задача трех тел в случае притяжения, определяемого ньютоновским законом, наиболее важна для космодинамики. Важнейшей разновидностью этой задачи является так называемая ограниченная задача трех тел, когда предполагается, что одно из тел имеет бесконечно малую массу т и, следовательно, не оказывает влияния на движение двух других тел (с массами ту и т . В ограниченной задаче трех тел конечные массы т и т движутся по кеплеров-ским орбитам, определяемым задачей двух тел. Со многих точек зрения удобно изучать движение т в системе координат, связанной с и т . В этой вращающейся системе координат упомянутым выше пяти точным решениям задачи трех тел соответствуют точки-положения равновесия. Точки, лежащие на прямой, проходящей через т и т , обозначают и Ьд, а точки, образующие равно- [c.9]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

Значение периодических орбит для астрономии должно быть высоко оценено. С теоретической точки зрения, как замечает Пуанкаре, при помощи периодических орбит сначала удастся вторгнуться в область, до сих пор недоступщ ю анализу — в структуру интегралов задачи трех тел. Основополагающие работы Пуанкаре представляют собой бесценный источник для математиков и астрономов. Периодические решения скоро будут оказывать большую помощь практической астрономии. Как пзвестно в настоящее время, в планетной системе существует один случай, в котором действительно имеет место периодическое решение задачи трех тел (в этом случае проблемы четырех тел), а именно — для трех внутрен1шх спутников Юпитера. Значение периодических решений для астрономии заключается главным образом не в возможности обнаружить в природе такие случаи (хотя каждый пример такого рода и представляет исключительный интерес), а чтобы с их помощью можно было успешно разрешить различные особенно трудные проблемы небесной механики. В своей основополагающей работе о движении Луны Хилл исходит из периодического решения первого сорта, а относящиеся к этому численные исследования рассматривает не как вычислительные упражнения, а как истинную основу для точного расчета лунной орбиты. Эта исходная точка может с успехом найти при- [c.462]

В предыдуш,ем параграфе мы нашли только приближенное решение задачи трех тел теперь будем искать точные периодические решения задачи трех тел, из которых решение Хилла получается как предельный случай. Но при этом мы ограничимся только плоской задачей трех тел и примем за основу рассуждение, приведенное в начале 17. Заменим материальные точки Рх и Рз их обгцим центром инерции Ро с массой Ш1 + Шз = /1 и допустим, что относительное движение Р2 вокруг Ро есть круговое, с угловой скоростью и = . Выберем единицу массы так, чтобы тх + Ш2 + тоз = 1, следовательно, Ш2 = 1 — р и [c.177]

Изложенная методика построения возмущений была применена к конкретным задачам небесной механики, в частности для определения возмущений элементов орбит астероидов Юнона, Веста, Астрея, Геба, Ирида и Лютеция. В качестве нриближеиного решения дифференциальных уравнений, описывающих движение этих астероидов, было взято точное ренгение усредненного по схеме Фату варианта ограниченной круговой задачи трех тел [8, 124]. [c.188]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Открытие малых планет на орбите Юпитера вблизи точек и 5 показало, что решение частной задачи трех тел, полученное Ла анжем, представляет ие только теоретический интерес. Эти планеты относятся к группе астероидов, захваченных Юпитером, и носят название троянцев. Решение Лагранжа точно описывает совместное движение Солнца ( 2 ), Юпитера (1712) и каждого из троянцев (т ), которые при движении [c.110]

Из анализа уравнений (3.64), (3.67) и входяпщх в него соотношений следует, что если пренебречь в этих уравнениях членами порядка Аг/ I Кг I и дополнительными возмущениями, то в качестве решений этих уравнений можно принять 0 = и = 0. В частности, такое решение точно существует в эллиптической задаче трех тел. Оценки близости главного приближения (0 = х = 0) к решению уравнений (3.64), (3.67) проведены в следующем параграфе. [c.277]

Рассмотрим при фиксированной паре постоянных 1 1, все те решения gi == gi(i) задачи трех тел, которые являются непрерывно продолжаемыми при всех — оо < i С -foo, причем последнее ограничение необходимо наложить лишь в случае С = 0. Как при С = О, так и при С ф О состояние, соответствующее решению Si = gi(i) i = 1, 2, 3, при фиксированном t, представляется точкой в множестве Мт Мт ( С , h). Таким образом, все решение li = gi(i), —оо С i < -foo (г = 1, 2, 3), целиком представляется в Мт = Му С, h) кривой, вырождающейся в точку в случае, когда li = li(t) — решение относительного равновесия. Эти оо кривых, не пересекающихся друг с другом, определяют в Мт = = Мт (I I, h) группу преобразований т , —оо < i < -f оо, ана- огичных тем, которые указывались в 121 (по крайней мере, если случай С = О, соответствующий неограниченно продолжаемому решению, или, точнее говоря, если все такие решения из Мт (О, h) исключены). Легко проверить, что поток кривых, определяемых в Мт ( IСI, А) группой преобразований т = т ( С ,Л), [c.424]

Некоторые иные методы создания равных растяжений в трех взаимно перпендикулярных направлениях были предложены рядом авторов М. Ге-теньи (нагружение болта с цилиндрической головкой путем одноосного растяжения, прпчем оптические исследования применительно к плоской задаче показали, что в центре болта существует шейтральная точка , в которой касательные напряжения равны нулю) Бордмэном (нагружение каждой грани кубика растягивающими напряжениями) А. Янгом, Д. Марином и другими (цит. выше). Из литературы по концентрации напряжений ) известно, что в теле вращения, снабженном в окружном направлении выточкой, приближающейся по профилю к резко изогнутой гиперболе, и подвергнутом действию осевой растягивающей силы, центральная область минимального поперечного сечения находится в состоянии трехосного растяжения. Точное решение для случая глубокой гиперболической выточки в упругом теле вращения, подвергнутом осевому растяжению, было дано в монографии Г. Нейбера ). Это решение показывает, что максимальное осевое растягивающее напряжение действует по внутреннему контуру выточки. Для глубокой выточки это напряжение в несколько раз превышает значения окружных напряжений, а также напряжений на оси образца. Таким образом, образцы из пластичных металлов с глубокой выточкой, прежде чем разрушиться, подвергаются сначала пластической деформации по окружности минимального поперечного сечения. Поэтому напряжения, соответствующие разрушению, и нельзя здесь вычислять на основании теории упругости ). [c.202]

Повидимому, еще не делалось попыток рассмотреть вопрос о возникновении пластических областей вокруг небольшой эллипсоидальной полости в упругом теле, находящемся под действием однородного поля напряжений, когда эти напряжения приложены на большом расстоянии от полости и дей-ствуют по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Тем не менее в связи с этой темой следует обратить внимание на замечательную статью М. Садовского и Е. Стернберга ), в которой дано точное решение упругой задачи о распределении напряжений вокруг эллипсоидальной полости для случая, когда тело на бесконечности находится в равномерном всестороннем напряженном состоянии, главные оси которого параллельны осям эллипсоидальной каверны. Полученное ими решение выражено в замкнутом виде через эллиптические функции Якоби, причем приведены формулы для определения концентрации напряжений, вызванных наличием эллипсоидальной полости ). Из этого общего решения в частном случае получается задача о полости в поле чистого сдвига 0i=0, 03=—о, од=0, когда две из трех главных осей эллипсоидальной полости параллельны главным напряжениям и Og. Другие частные случаи относятся к полостям в форме эллиптического цилиндра и сферы. [c.589]

Представляют интерес для организации устойчивой межпланетной станции для наблюдения за явлениями, происходящими на земном шаре и на Луне, для астрономических исследований и в более далеком будущем - космогорода устойчивые либрационные точки в системе Земля-Луна (точки 4 и 5 (см. рис.2.3)). В 1961 г. в системе Земля - Луна в окрестности точки 5 польский астроном Кордилевский обнаружил два тусклых облакоподобных объекта. Позже было сообщение об обнаружении подобного же облака в районе Рис. 2.3. Пшъ точных решений Лагранжа 70ЧКИ Ь задачи движения трех тел [c.110]

Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти-эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кепле-ровской (опорной) орбиты элементы постоянны если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли). [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...