Теорема Брунса

Как известно, дифференциальные уравнения задачи п тел допускают десять классических интегралов шесть интегралов количества движения, три интеграла площадей и один интеграл энергии, которые соответствуют законам сохранения количества движения, кинетического момента и механической энергии системы. Эти интегралы обладают тем свойством, что они алгебраически содержат координаты и скорости точек. На вопрос, существуют ли другие подобные интегралы, отвечает теорема Брунса [c.108]

После того как математики осознали невозможность решения в замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому, теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx = О Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов [207]. В 1887 г. появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал- [c.15]

Здесь рассматриваются частные решения общей задачи трех тел, приводятся теоремы Брунса и Пуанкаре о несуществовании алгебраических и однозначных трансцендентных интегралов задачи трех тел, кроме десяти классических, и излагаются исследования Зундмана, дающая общее математическое решение задачи трех тел. [c.6]

Теорема Брунса о несуществовании алгебраических первых интегралов задачи трех тел, отличных от классических [c.813]

Теорема Брунса. Всякий алгебраический интеграл задачи трех тел имеет вид [c.814]

Замечание. Теорема Брунса утверждает, что не существуют другие интегралы, алгебраические относительно канонических переменных, введенных в 1.14, 1.17 ч. IV, а следовательно, и относительно прямоугольных координат в инерциальной системе отсчета и их производных, так как последние выражаются через указанные канонические переменные алгебраическим образом. Но из этого вовсе не следует, что вообще отсутствуют какие-либо алгебраические интегралы. [c.814]

Теорема Брунса. Значения V, для которых ряд (10.2.34) сходится, и значения V, для которых ряд (10.2.34) расходится, образуют всюду плотное множество на веш,ественной оси (—оо, +оо). [c.823]

Из теоремы Брунса, однако, не следует, что точки расходимости ряда (10.2.33) также образуют всюду плотное множество, хотя точки сходимости образуют такое множество. Как оказывается, точки расходимости ряда (10.2.34) нарушают лишь равномерную сходимость рядов вида (10.2.33) (член С1- -Ео не рассматриваем). Подробности см. в [68], [69]. [c.823]

Если точками сходимости назвать такие значения V, для которых ряд сходится, а точками расходимости значения, для которых ряд расходится, то теорема Брунса утверждает, что точки сходимости и точки расходимости образуют повсюду плотное множество (при всех действительных значениях V). [c.501]

Но числа, которые удовлетворяют алгебраическому уравнению с целочисленными коэффициентами, располагаются на числовой оси повсюду плотно, и поэтому первая часть теоремы Брунса доказана. [c.502]

Если мы хотим добиться, чтобы ряды для всех 8 и т. д. ыли сходящимися, тогда по теореме Брунса, которую мы рассматривали в 5 гл. IX, величину г] необходимо выбрать так, чтобы отношение п1 было корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами по меньшей мере второй степени. Тогда для этих значений /г , п1 все ряды 8 и т. д. будут сходиться. Отсюда, естественно, не следует, что ряд [c.607]

Десять интегралов (29.1.18) уравнений Гамильтона независимы между собой и представляют алгебраические соотношения между координатами, импульсами и временем. Возникает вопрос не существует ли других алгебраических интегралов, не зависящих от уже найденных Ответ на этот вопрос дается замечательной теоремой, доказанной Брунсом в 1887 г. Оказывается, что новых алгебраических интегралов не существует любой алгебраический интеграл уравнений Гамильтона для задачи трех тел представляет комбинацию десяти классических интегралов. [c.575]

ГЛАПА XIV Теоремы Брунса и Пуанкаре [c.461]

Пенлеве распространил лемму 4 на задачу га > 3 тел. Подробное изложение теоремы Брунса содержится в [5], [58]. [c.814]

Этим путем нельзя преодолеть трудности, которые были обнаружены теоремой Брунса относительно ряда (6). Если даже вероятность расходимости мала, это не исключает того, например, что при определении постоянных интегрирования при непрерывном изменении начального положения придется проходить друг за другом бесконечное число точек сходимости и расходи- [c.509]

Если найдено I интегралов д = д, . .., д = д1 системы (11), то они называются независимыми, если функциональная матрица, образованная из та + 1 частных производных этих интегралов по Хк, I, имеет ранг I. Далее, интеграл называется алгебраическим, если он является алгебраической функцией от Хк, I. Следовательно, выгпе у нас были найдены в случае п > 1 десять алгебраических интегралов системы дифференциальных уравнений задачи п тел (4) легко видеть, что они независимы. Брунс [5] доказал интересную теорему не существует ни одного алгебраического интеграла системы (4), который был бы независимым от десяти классических. Отсюда следует, что каждый алгебраический интеграл системы (4) будет алгебраической функцией уже известных десяти интегралов. С другой стороны, в силу теоремы существования система (4) должна иметь 6п независимых интегралов, но они при 6п > 10 не могут быть все алгебраическими. Так как доказательство теоремы Брунса очень длинно, оно не может быть, к сожалению, здесь помещено. [c.42]

В классических работах был получен ряд результатов отрицательного характера. Одним из них является наиболее простая теорема Брунса, уточненная затем Пенлеве. Эта простейшая теорема утверждает, что система вида х = /(ж) в задаче трех и большего числа тел (в прямоугольных координатах) не обладает консервативными алгебраическими интегралами F x), отличными от алгебраических комбинаций семи известных еще в середине XVni в. интегралов. Следует, однако, сказать, что подобный изящный отрицательный результат не имеет какого-либо значения в динамике. Для динамики важно выявить все те независимые интегралы F x), которые являются изолированными. Однако если даже f(x) в системе (1) — алгебраическая функция, то алгебраичность интеграла F[x) этой системы является хотя и достаточным, но ни в какой мере не необходимым условием его изолированности. [c.120]

Отсюда вытекает, что солнечная система устойчива, если учитывать лишь вековые возмущения. (Устойчивость солнечной системы в предположения, что учитываются лишь линейные вековые возмущения, была показана Лагранжем (и Лапласом). Вывод, что в силу теоремы Миндинга (Я Дирихле) эти результаты можно обобщить на случай учета всех нелинейных вековых возмущений, был сделан Брунсом.) [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...