Решение корреляционных уравнений

Решение корреляционных уравнений. [c.131]

В выражении для D Гщ корреляционный момент Кн.у = = — 4,8 имеет отрицательный знак, так как решение системы уравнений (14.15)—(14.18) указывает на обратную зависимость ме-, жду Яа и Кг (рис. 14.8). В результате расчета по формулам (14.33) получено, что для единичной партии = 2,835 мм и [c.499]

В предьщущих разделах бьши рассмотрены только первые два момента теории случайных функций — математическое ожидание и корреляционная функция. К сожалению, далеко не все прикладные задачи могут быть решены методами корреляционной теории - например, часто возникающая при анализе динамических систем задача об определении вероятности превышения ординаты случайной функции заданных значений. Эти задачи можно решить, если ограничиться процессами, обладающими некоторыми специальными свойствами, но представляющими практический интерес. В предьщущих параграфах методы корреляционной теории использовались для анализа систем с линейной связью между входом и выходом. В этом случае корреляционная теория дает возможность получить вероятностные характеристики решения дифференциальных уравнений, если известны вероятностные характеристики возмущений. Получить решение нелинейных уравнений методами корреляционной теории нельзя. Однако, если ограничиться процессами, обладающими специальными свойствами, можно получить решение и для нелинейных задач статистической динамики. К таким процессам относят марковские процессы, для полной характеристики которых достаточно знать только двумерные законы распределения. [c.123]

Линейность следует из того, что динамические корреляционные формы Рз xi,. . ., х [Оа ) определяются как решения системы линейных дифференциальных уравнений (см. разд. 14.2). Поэтому любая линейная комбинация частных решений этих уравнений также является решением. [c.152]

В разд. 17.1 был установлен ряд соотношений между различными компонентами кинетического пропагатора X ( ) и, следовательно, между корреляционной и вакуумной компонентами кинетического вектора распределения f (t). Все эти соотношения содержат интегрирование по времени, учитывающее прошлое системы. Это обстоятельство чрезвычайно затрудняет практическое их использование, так как оно предполагает, что решение кинетического уравнения нам известно. Поэтому сейчас вместо этих соотношений, тонко отображающих структурные свойства теории, будет получена эквивалентная, но более удобная их форма, не содержащая интегрирования по времени и определяемая лишь значениями функций в тот же момент времени. Возможность столь замечательного перехода связана с экспоненциальной формой (17.2.15), (17.2.16) пропагатора V X [c.199]

В методах кинетических уравнений используются уравнения, отобрал<ающие изменения законов распределения ординат случайных процессов нагружения. Исследования показали, что применительно к ПТМ решения кинетических уравнений носят громоздкий характер и малопригодны для практических целей. В связи с этим в дальнейшем применяются корреляционные методы исследования. [c.104]

Хотя мы получили точные уравнения для параметров отклика и точные выражения для поправок к средним значениям динамических переменных, следует отметить, что успех применения всего изложенного формализма к конкретным задачам в значительной степени зависит от удачного выбора базисным динамических переменных Р . Далее мы покажем, что все наборы базисных переменных оказываются эквивалентными, пока мы имеем дело с точными формулами линейной реакции. Однако это не так, если корреляционные функции вычисляются приближенно, скажем, методами теории возмущений. Как правило, чем меньше динамических переменных включено в базисный набор, тем выше порядок приближения, который приходится учитывать. Ситуация здесь во многом аналогична той, которая встречается в вариационном методе решения кинетического уравнения Больцмана [78]. Интересно, что для решения уравнений линейной реакции также можно сформулировать вариационный принцип, относящийся к различным наборам базисных переменных [68]. Этот вопрос обсуждается в приложении 5А. [c.344]

Теоретическое решение задачи о распространении упругих волн в структурно-неоднородной вязкоупругой среде и связь параметров распространения упругих волн с упругими свойствами с учетом релаксации и последействия чрезвычайно сложно. Поэтому связь между акустическими параметрами стеклопластика и его упругими свойствами осуществлялась эмпирически при помощи корреляционных уравнений. [c.104]

Структура уравнения (47.9) характерна и для уравнений, которым подчиняются высшие многочастичные корреляционные функции. Поэтому с помощью уравнения (47.9) можно провести общее обсуждение параметров малости, которые могут быть использованы при приближенных решениях цепочки уравнений для многочастичных функций распределения. [c.189]

Базисные функции РКЛ находятся по корреляционной функции распознаваемых изображений путем решения интегрального уравнения на собственные значения [c.600]

Итак, решением интегрального уравнения для экспоненциально-косинусной корреляционной функции являются собственные функции фк х) вида [c.679]

Исходными данными при минимизации функционала (4) являются Rxx t), Rxy t), I = 1, 2, т. В практических задачах исходные данные часто могут быть заданы лишь приближенно. Погрешности при формировании автокорреляционных и взаимных корреляционных функций случайных процессов могут носить самый разнообразный характер. К таким погрешностям относится погрешность, вызванная несоответствием принимаемой математической модели случайного процесса его физическому выражению. Ясно, что эта погрешность может возникать и при построении корреляционных функций на основе математического анализа и при экспериментальной обработке реализаций. При использовании коррелометров возникают, например, аппаратурные погрешности, погрешность, вызванная конечным временем записи реализаций. Погрешности в используемых исходных данных образуются при различных аппроксимациях экспериментальных кривых корреляционных функций функциями специального вида. Погрешности возникают как результат дискретизации и приближенного решения векторных уравнений вида (6) на вычислительных машинах. [c.69]

Общие решения дифференциальных уравнений (15.35) — (15.38), описывающих заключительный период вырождения изотропной турбулентности, зависят от функции одного переменного — начального значения соответствующей корреляционной или спектральной функции в некоторый момент (также принадлежащий к заключительному периоду). Поэтому для сопоставления этих решений с экспериментальными данными надо тщательно измерить корреляционные или спектральные функции изотропной турбулентности в два не слишком близких момента времени, относящихся к заключительному периоду вырождения. Такие измерения представляют большую трудность поэтому неудивительно, что общие решения уравнений (15.35)—(15.38) до сих пор на опыте не проверялись (см., впрочем, ниже рис. 14 и 15). [c.145]

Б настоящее время не существует никаких общих методов решения бесконечных систем уравнений в частных производных поэтому нахождение точных решений системы уравнений для моментов всевозможных порядков пока представляется довольно безнадежным делом. Однако уравнения для старших моментов можно использовать для приближенного определения статистических характеристик турбулентности для этого надо привлечь какие-нибудь дополнительные гипотезы, позволяющие замкнуть систему первых нескольких таких уравнений. Указанный подход представляет собой естественное обобщение рассматривавшихся выше методов замыкания одного уравнения, связывающего корреляционные функции второго и третьего порядков ему и будет посвящен настоящий параграф. [c.238]

В 2 мы видели, что как обычные средние по ансамблю, так и временные корреляционные функции для двух произвольных динамических переменных непосредственно выражаются через соответствующую спектральную функцию J [см. (2.6) — (2.9)]. Таким образом, задача о вычислении названных величин сводится к нахождению фурье-образов соответствующих функций Грина. В ряде случаев этот путь оказывается более удобным, чем непосредственное решение цепочки уравнений для последовательности операторов р1, рд,. .. [c.32]

Не продолжая процедуры построения следующих уравнений, мы на примере полученных выще двух обнаруживаем чрезвычайно характерную для всей статистической механики неидеальных систем ситуацию уравнения для корреляционных функций (или их модификаций, а в квантовой статистике для корреляционных статистических операторов) образуют цепочку. Эти уравнения не замкнуты каждое уравнение для Ра содержит в интегральном члене функцию так что решению этих уравнений должна предшествовать процедура расцепления цепочки, так чтобы оставшаяся фуппа уравнений оказалась бы замкнутой. Универсального рецепта проведения такой операции нет, она производится по-разному в зависимости от типа рассматриваемой системы и физических условий, в которых она находится. В следующих разделах данного параграфа мы рассмотрим два характерных примера такого исследования (см. также 2 в разделе дополнительных вопросов). [c.306]

И наконец, чисто логический аспект ситуации. Метод Гиббса в равновесной статистической физике представляет собой замкнутый аппарат, полностью укомплектованный в аксиоматическом отношении и однозначно определяющий математическую профамму исследований. Он не содержит бессмысленных расходимостей, об устранении которых надо договариваться по,дороге, и других неприятностей, так характерных для полевых теорий. В него не надо вкладывать заранее придуманных решений для уравнений состояния и корреляционных функций — он сам выдает эти результаты, точно соответствующие рассматриваемой равновесной системе. [c.367]

Рг В) 1 при В задачи нашего раздела не входит расчет этих корреляционных функций по схеме решения цепочки уравнений Боголюбова. Это делается в разделах, посвященных равновесной статистической механике. Напомним только, что функция Рг (-К) является одной из важнейших в теории неидеальных систем и ряде приложений. Ее вид схематически представлен на рис. 1. Для систем низкой плотности в нулевом приближении эта функция аппроксимируется больцмановской экспонентой Р2 в) = ехр -Ф(Д)/0 . [c.23]

Решение однородного уравнения мы опускаем, поскольку оно выпало бы при производимом далее предельном переходе.) Соотношение (10.2.3) позволяет без труда вычислить корреляционную функцию. При t > f нз него непосредственно следует, что i t [c.329]

Таким образом, мы сравнительно несложным путем получили довольно красивую и достаточно просто физически осмысливаемую формулу для парной корреляционной функции во всей области изменения ее аргумента 0модель взаимодействия частиц Фab R) была весьма грубой именно в этой области во-вторых, при решении интегрального уравнения для Фаь (т. е. фактически для аь=ехр —Фаь/в ) мы как бы нечаянно забыли о существовании области R<2ro и интегрировали по всему пространству R, что и позволило нам довольно простым способом решить задачу до конца. С увеличением R аргумент основной экспоненты в Fab становится малым, и парная корреляционная функция приобретает форму [c.655]

Для решения уравнений случайных колебаний (6.1) надо знать все вероятностные характеристики случайных возмущений входа (каждой из компонент векторов Aq =, Ац<=, АР=< > и АТ =< >). К таким вероятностным характеристикам относятся математические ожидания, автокорреляционные функции, взаимно корреляционные функции, спектральные плотности. В результате решения должны быть получены вероятностные характеристики выхода (компонент векторов АО , АМ =, 0 = и 0 =). [c.144]

Последовательность уравнений (30), (34),. .. называется бесконечной статистической цепочкой уравнений. Чтобы получить решение для ф(х) , нужно сделать какие-то допущения, позволяющие оборвать эту цепочку. Быть может, самое простое допущение возможно в том случае, когда флуктуации 8(х) относительно ё малы. В этом случае можно предположить, что трехточечный корреляционный член в уравнении (34) пренебрежимо мал. Находим [c.256]

Основная трудность при рассмотрении неоднородных материалов со статистической точки зрения заключается в том, что для таких величин, как среднее значение ф(х) или двухточечная корреляционная функция / 2ф, не удается получить замкнутую систему конечного числа уравнений как показано в разд. III, Б, вместо этого получается бесконечная цепочка уравнений. Только в некоторых приближениях, например в приближении малых возмущений, использованном при выводе уравнения (35), можно найти решение для ф или других статистических характеристик. [c.281]

Таким образом, динамическая линейная модель может быть получена путем решения уравнения (10.47), если известны корреляционная функция входной переменной и взаимная корреляционная функция входной и выходной переменных. [c.330]

Приведенная аппроксимация интегрального уравнения (10.50) системой алгебраических линейных уравнений дает возможность практически получить динамическую модель объекта по известной корреляционной функции входа и взаимной корреляционной функции входа и выхода. Для решения системы (10.52) в настоящее время имеются программы на всех цифровых вычислительных машинах. [c.333]

Указанное условие тесно связано с условиями достаточно быстрого убывания корреляционных функций, сформулированными при выводе (34,24) из (34,23). Но в рамках теории несжимаемой жидкости существуют основания сомневаться в их соблюдении. Физическое основание для этого состоит в бесконечной скорости распрострапепия возмущений в несжимаемой жидкости. Математически это свойство проявляется в интегральном характере зависимости распределения давления в жидкости от распределения скоростей если рассматривать правую часть уравнения (15,11) как заданную, то решение этого уравнения [c.201]

Аналитическое построение динамической линейной модели. Построение динамической модели одномерного линейного стацио-"нарного объекта путем решения интегралъного уравнения (10.50) базируется на аппроксимации уравнения (10.50) системой линейных алгебраических уравнений. В некоторых случаях, когда заданы корреляционная функция входа Кхх (т) и взаимная корреляционная функция входа и выхода Кух (т) технологического [c.335]

При решении интегральных уравнений (3.2.9) методом итераций получается ряд, члены которого соответствуют диаграммам возрастающей сложности. Структура функционалов Qsj определяемых уравнениями цепочки (3.2.6), такова, что в каждом члене ряда производится итерация произведения корреляционных функций t sis2...sn = 9si9s2" 9sn Процедура итерации состоит в следующем сначала с помощью уравнений (3.2.6) для функций д . выводится дифференциальное уравнение для их произведения Ks s2...Sn затем оно формально интегрируется по времени. Полученное выражение следует затем подставить в Па первый взгляд эта проце- [c.185]

Несмотря на то, что осталось всего три оператора вместо практически бесконечной последовательности корреляционных матриц в исходной цепочке уравнений, получить общее решение нелинейных уравнений (7.4.55) - (7.4.57) не удается. Ситуация несколько упрощается в стационарном случае, когда операторы и не зависят от времени. Некоторые важные свойства стационарного решения уравнений (7.4.55) - (7.4.57) были рассмотрены в работе Покровского [33]. Мы не будем повторять здесь довольно громоздкие построения из этой работы. Более поучительно будет показать, как из операторных уравнений (7.4.55) - (7.4.57) получается уравнение Фоккера-Нланка для поля излучения. [c.135]

Однако прежде чем переходить к изложению решений этих уравнений, следует сделать замечание общего характера. Кинетическое описание с помощью кинетического уравнения для функций распределения остественно беднее, чем описание с помощью одночастичных функций распределения и двухчастичных корреляционных функций, приближенные уравнения для которых, пе [c.192]

Следовательно, коэффициенты стандартизированного уравнения регрессии (7.28) О/ определяются решением системы уравнений (7.34). Процесс нахождения, коэффициентов уравнения регрессии удобно выполнять, используя приемы матричной алгебры. При этом соотношения между Гух1 и Я определяются корреляционной матрицей, элементам которой являются коэффициенты при [c.329]

Решение этого уравнения достаточно сложная задача, и мы здесь пе будем пытаться решить ее строго. Одпако можно попытаться оценить, к каким изменениям в эффективном волновом числе приведет зфавнение (27). Для этого воспользуемся формулой (10), подставив вместо ( выражение, даваемое формулой (36.61) при замене вершинной функции простой вершиной, а вместо неизвестной функции С/ (г, Го) подставим ее асимптотику в области больших г—Го , т.е, — (4л г — Го ) ехр ( /с1 г —Го ). Оценку произведем для корреляционной функции экспоненциального вида Вг (р) = б ехр ( — ар). В этом случае входящий в (10) интеграл легко вычисляется и мы получаем для уравнение четвертой степени [c.487]

Приближенное решение уравнения (2.13) (с учетом однократного рассеяния в смысле теории переноса излучения) приведено в [110] для случая турбулентных флуктуаций е. В работе [127] приводятся результаты численного решения этого уравнения в двумерном случае. В этой работе получено поведение флуктуаций интенсивности, качественно согласуюш ееся с экспериментальными результатами, описанными в [99]. В работе [128] приводятся результаты численного интегрирования уравнепия (2.13) в трехмерном случае для гауссовской корреляционной функции диэлектрической проницаемости. В этом случае также получено насыщение флуктуаций интенсивности, качественно согласующееся с результатами [99]. В работе [129] уравнение (2.13 ) в случае турбулентных пульсаций 8 интегрировалось численным методом — методом Монте-Карло. При этом полученные результаты также согласуются с экспериментальными данными. [c.269]

О < Д < 2го результат Раь К) = О является Точным для систем из иоНоВ конечных размеров. Поведение Еаь(Я) в области Д > 2го офажено лишь качественно во-Пер-вых, исходная модель взаимодействия частиц Фоь(Д) была весьма фубой именно в этой области во-вторых, при решении интефального уравнения для Фдь (т. е. фактически для Еаь — ехр -Фаб/б ) МЫ как бы нечаянно забыли о существовании области Д < 2го и интегрировали по всему пространству Я, что и позволило нам довольно простым способом решить задачу до конца. С увеличением Д аргумент основной экспоненты в Еаь становится малым, и парная корреляционная функция приобретает форму [c.323]

Переходя к эквивалентному случаю невращающегося цилиндра в однородном магнитном поле, мы найдем, что электроны не будут вращаться в поле, а останутся в покое. Таким образом, мы пришли к противоречию уравнения Лондона в однородном магнитном поле имеют единственное решение, которое соответствует электронам, вращающимся с ларморовской частотой, а такое вращение в системе с конечной корреляционной длиной не допускается теоремой о вращающемся сосуде . Это относится не только к обычным уравнениям Лондона, но и к любой схеме, которая приводит к истинному эффекту Мейснера, например к уравнениям Пиппарда. [c.727]

Два случая колебательного 2сйоТо> 1 и апериодического 2сооТо<1 режимов (где (оо= (а//п) ) необходимо изучать отдельно, записав в каждом из них известные формальные решения уравнения (4.34), и выполнить для них, подробно рассмотренную выше для свободной частицы схему, используя временную корреляционную функцию случайной силы (4.11). [c.50]

Другой способ основывается на том, что уравнение (73) можно преобразовать при помощи функции Грина, а затем решить полученное интегральное уравнение методом итераций. Решение снова содержит все корреляционные функции от Сцтп- [c.88]

Составим уравнения движения для двух моментов времени t и t—т с помощью интеграла Дюамеля и осредним решение, т. е. получим корреляционную функцию Kf (т) = < / (t) f t — т) >. Для т = О получим дисперсию [c.202]

Кроме того, наличие функциональных и близких к ним связей между факторами, входящими в математическую модель, приводит к тому, что матрица системы нормальных уравнений оказывается влохо илй вообще необусловленной, что увеличивает трудности расчетов и ведет к ненадежности результатов решения. Особё н1Гб" нежелательно в этом отношении присутствие в модели линейно зависимых между собой технологических факторов, т. е. когда коэффициенты корреляции принимают значения —1 или - -1-В этом случае матрица корреляционных моментов является особенной (определитель ее равен нулю), и, следовательно, определение численных значений коэффициентов уравнений связи между исходными факторами и погрешностями обработки невозможно (см. п. 9.10). [c.256]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...