Течения без трения как решения уравнений Навье — Стокса

В основе вывода уравнения Навье—Стокса лежит предположение о законе трения (6.2), которое может быть проверено только экспериментально. Имеющиеся немногие частные решения уравнения Навье—Стокса (например, ламинарное или слоистое течение в трубе) подтверждаются экспериментами. [c.141]

Асимптотические методы решения уравнений Навье — Стокса нашли применение к задачам обтекания малых препятствий или неровностей, расположенных в основании пограничного слоя [59, 60]. В работе [59] рассматривается обтекание несжимаемой жидкостью единичной шероховатости , т. е. выступа с высотой, много меньшей толщины пограничного слоя. Исследуется такой режим течения, при котором число Рейнольдса, вычисленное по характерному размеру выступа и скорости внутри пограничного слоя на высоте выступа, у таЪ, велико. Поэтому в первом приближении для области с характерным размером порядка высоты выступа задача сводится к решению уравнений Эйлера. Использование принципа сращивания асимптотических разложений позволяет определить граничные условия в набегающем на выступ потоке и вдали от него. В этих местах возмущения, вносимые выступом, должны затухать. Невозмущенный поток локально имеет вид и у, у = 0. Коэффициент пропорциональности в формуле для и должен соответствовать местному значению напряжения трения на дне невозмущенного пограничного слоя. В работе [59] исследованы также течения около выступов, постепенно понижающихся вверх и вниз по потоку. Показано, что при слишком резком [c.262]

ТЕЧЕНИЯ БЕЗ ТРЕНИЯ КАК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА 77 [c.77]

Течения без трения как решения уравнений Навье — Стокса [c.77]

Отыскание точных решений уравнений Навье — Стокса наталкивается в обш,ем случае на непреодолимые математические трудности. Эти трудности возникают прежде всего вследствие нелинейности уравнений Навье — Стокса, не допускающей применения принципа наложения, столь плодотворного при исследовании потенциальных течений невязкой жидкости. Тем не менее в некоторых частных случаях все же можно найти точные решения уравнений Навье — Стокса. Такими случаями являются главным образом те, в которых квадратичные члены сами собой исчезают. В настоящей главе мы рассмотрим некоторые точные решения и увидим, что большая часть этих решений в предельном случае очень малой вязкости имеет такой же характер, как течение в пограничном слое, т. е. в течениях, соответствующих этим решениям, действие трения проявляется только в тонком слое вблизи стенок. [c.86]

Течение вблизи вращающегося диска. Следующим примером точного решения уравнений Навье — Стокса является течение вблизи плоского диска, равномерно вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска. Жидкость вдали от диска принимается покоящейся. Вследствие трения слой жидкости, непосредственно прилегающий к диску, увлекается последним и под действием центробежной силы отбрасывается наружу от диска. Взамен отброшенной жидкости к диску притекает в осевом направлении новая жидкость, которая также увлекается диском и опять отбрасывается наружу. Следовательно, в данном случае мы имеем полностью трехмерное течение. Перспективное изображение этого течения показано на рис. 5.11. Скорость имеет три составляющие в радиальном направлении г, в окружном направлении ф и в осевом направлении z. [c.100]

Особый интерес представляет следующее обстоятельство. Только что полученное точное решение уравнений Навье — Стокса для течения около вращающегося диска, а также ранее полученные точные решения для течений в окрестности критической точки обладают свойствами, характерными для пограничного слоя (в смысле, поясненном в предыдущей главе). В самом деле, эти решения показывают, что в предельном случае очень малой вязкости область течения, на которую распространяется влияние трения, заключена в весьма тонком слое вблизи твердых стенок, в то время как во всем остальном пространстве течение происходит практически так же, как если бы трения не было, т. е. как если бы течение было потенциальным. Далее, рассмотренные примеры показывают, что толщина слоя, в котором [c.106]

Аналитическое решение двумерных уравнений Навье — Стокса для потока жидкости в открытых капиллярных каналах Г58] показывает, что наличие касательного напряжения на свободной поверхности жидкости приводит к увеличению коэффициента трения в жидкости в 2—3 раза. Уравнения Навье — Стокса решались для ламинарного потока жидкости методом преобразования Фурье при следующих граничных условиях. Скорость жидкости у капиллярных стенок равна нулю, градиент скорости на оси равен нулю, а свободная поверхность жидкости испытывает касательное напряжение Тщ, постоянное по величине, так как газовый поток не зависит от течения жидкости в капиллярах. Решение уравнений Навье — Стокса получено в следующем [c.114]

Газодинамическая и тепловая эффективность решеток турбин включает коэффициент профильных потерь, угол выхода потока из решетки, распределение статического давления и коэффициента трения по внешнему контуру профиля. В охлаждаемых лопатках турбины с простейшей открытой схемой охлаждающий воздух выпускается через щель в выходной кромке профиля, взаимодействует со следом за решеткой и изменяет его структуру. Современные методы расчета течения в решетках турбомашин представлены в [1 ]. Экспериментальные исследования приведены в [1, 5, 6]. Анализ струйных турбулентных течений представлен в [7], в которой использованы различные расчетные методы полуэмпирические модели [7] интегральные методы в моделях тонкого пограничного слоя и сильного взаимодействия [8] частные аналитические решения уравнений Навье - Стокса [9] совместно с моделями турбулентности [10]. [c.12]

Первоначальный образ теории относился к случаю плавного обтекания потоком какого-либо твердого тела при условии, что число Re стремится к бесконечности или практически достаточно велико. При этом согласно (4-30) в динамических уравнениях Навье — Стокса можно опустить члены, отражающие действие сил вязкости, и трактовать течение как потенциальное. Порядок дифференциальных уравнений понижается, и математические трудности решения облегчаются. Однако получаемый результат в кинематическом отношении оказывается верным отнюдь не во всей области течения. В непосредственной близости от омываемой поверхности скорость течения, как показывает опыт, чрезвычайно быстро падает до нуля, тогда как потенциальное течение лишено этого свойства. Не воспроизводится также действительная картина течения в кормовой части тел, помещенных в поток, поскольку в условиях потенциальности нет причин для отрыва струй от стенки. В динамическом отношении результат получается и вовсе неприемлемым поток на самом деле испытывает сопротивление со стороны внесенного в него тела, при полном же отсутствии трения такой эффект не возникает. [c.104]

После того, как решена невязкая задача, для удовлетворения условий прилипания и условий для энтальпии на поверхности малой неровности необходимо рассмотреть вязкий и теплопроводный подслой 4 с характерной толщиной Ау (Ь/а) / , в котором главные вязкие члены уравнений Навье-Стокса по порядку величины должны быть равны инерционным. При этом течение около поверхности малой неровности будет описываться обычными уравнениями пограничного слоя Прандтля при заданном внешнем распределении давления. Легко убедиться, что в этом случае (как и при решении краевой задачи (8.17) (8.20)) напряжение трения и тепловые потоки по порядку величины будут больше, чем в невозмущенном пограничном слое на поверхности пластины. Из этого следует, что перед такой малой неровностью также должна быть переходная область течения, в которой напряжение трения и тепловые потоки того же порядка по величине, что и в невозмущенном пограничном слое на поверхности пластины, и возрастают [Нейланд В.Я,, 1969, ]. Математически такая задача совпадает с задачей, когда во всем слое 3 с характерной толщиной порядка толщины малой неровности Ау а существенна вязкость, а в области 2 с характерными размерами Ах Ау Ь течение невязкое. В этом случае а внешнее ре- [c.386]

Хотя уравнения пограничного слоя значительно проще уравнений Навье — Стокса, все же в математическом отношении они остаются настолько трудными, что ПО поводу их решений можно сделать только немного общих выводов. Необходимо прежде всего отметить, что уравнения Навье — Стокса являются относительно координат уравнениями эллиптического типа,, в то время как уравнения Прандтля для пограничного слоя принадлежат к параболическому типу. Упрощающие допущения, положенные в основу вывода уравнений пограничного слоя, привели к тому, что стало возможным принимать давление поперек пограничного слоя постоянным, а давление вдоль стенки считать совпадающим с давлением внешнего течения и поэтому рассматривать его как заданную функцию. Эти обстоятельства сделали ненужным уравнение движения в направлении, перпендикулярном к стенке,, что с физической точки зрения можно истолковать следующим образом частицы жидкости при своем движении поперек пограничного слоя не обладают массой и не испытывают замедления вследствие трения. Очевидно что при столь глубоком изменении уравнений движения следует ожидать что их решения могут иметь некоторые особые математические свойства,, и, наоборот, нельзя ожидать, чтобы результаты вычислений во всех случаях совпадали с результатами наблюдения действительных течений. [c.142]

Что касается отрыва течения от тела , то он остается и при предельном переходе Ре - оо, т. е. при переходе к жидкости, лишенной трения. Следовательно, для тел такой формы, которая приводит к отрыву течения, теория пограничного слоя даже в предельном случае Ре оо дает совершенно иную картину течения, чем теория потенциального течения жидкости без трения. Сказанное еще раз подтверждает то, на что мы обратили особое внимание в 5 главы IV, а именно предельный переход к жидкости, лишенной трения, следует производить не в дифференциальных уравнениях Навье — Стокса, а в решениях этих уравнений, так как иначе могут получаться результаты, лишенные физического смысла. [c.144]

Упрощенные модели, которые следуют из уравнений Навье— Стокса, допускают разрывные решения. Асимптотический анализ уравнений Навье—Стокса в зависимости от малого параметра (вязкости) позволяет в области течения выделить подобласти, в которых влияние вязкости существенно (ударная волна, пограничный слой и др.), и область идеального течения (без учета трения). В этом случае в зависимости от конкретной задачи можно вязкость не учитывать, а подобласти заменить поверхностями разрыва. Эти разрывы могут быть разного характера. Если разрыв претерпевают газодинамические параметры, то говорят о поверхностях сильного разрыва. Если разрыв претерпевают производные от основных параметров, то в этом случае говорят о поверхности слабого разрыва. Иногда поверхность разрыва является неизвестной границей, положение которой определяется в ходе решения задачи. Ударная волна является примером такой поверхности разрыва. Исходную постановку задачи в рамках уравнений Навье—Стокса с учетом вязкости, теплопроводности и др. можно заменить упрощенной постановкой без учета этих факторов. При этом возникают поверхности разрыва типа ударной волны, пограничного слоя и др. [c.104]

Ламинарные течения лгидкости описываются уравнениями Навье—Стокса (6.4), в которых используется закон трений Ньютона (6.1). Турбулентные течения описываются уравнениями Рейнольдса (7.11) и из них следует, что турбулентное трение возникает при турбулентных пульсациях. Однако уравнения Рейнольдса не содержат закона турбулентного трения, т. е. связи между распределением скорости и величиной трения. Поэтому система уравнений не замкнута и для решения ее необходимо дополнить законом трения. [c.164]

Однако для потенциальных течений оба граничных условиях (3.35) для скорости в общем случае не могут быть выполнены одновременно. Если нормальная составляющая скорости вдоль границы наперед задана, то тем самым при потенциальном течении устанавливается и определенная каса тельная скорость, и поэтому условие прилипания не может быть удовлетворено. Следовательно, течения без трения в общем случае не могут рассмат риваться как решения уравнений Навье — Стокса, имеющие физический смысл, так как они не удовлетворяют граничному условию, требующему равенства нулю касательной скорости на стенке, т. е. условию прилипания на стенке. Исключением является случай, когда стенка движется вместе с течением, следовательно, когда необходимость выполнения только что указанного условия отпадает. Простейшим примером такого течения является обтекание вращающегося цилиндра. В этом случае потенциальное течение может рассматриваться как решение уравнений Навье — Стокса, имеющее физический смысл. Подробнее об этом будет сказано на стр. 90. Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в работах Г. Хамеля [Ц и Ж. Аккерета 14. [c.78]

Заключительное замечание. На этом мы закончим рассмотрение точных решений уравнений Навье — Стокса и перейдем к приближенным решениям. Под точными решениями мы понимали такие решения, которые получались из уравнений Навье — Стокса при сохранении всех членов, тож дественно не равных нулю для изучавшихся течений. В противополож-ность этому под приближенными решениями мы будем понимать такие решения, которые получаются из уравнений Навье — Стокса путем отбрасывания в них членов, по своей величине малых в условиях рассматриваемой задачи. Как уже было отмечено в главе IV, при приближенных решениях особую роль играют два предельных случая в первом из них силы трения значительно больше, чем силы инерции (ползущее движение), во втором же они значительно меньше, чем силы инерции (течение в пограничном слое). В то время как в первом случае допустимо полностью отбросить инерционные члены, во втором случае, т. е. в теории пограничного слоя, отнюдь нельзя одновременно отбросить все члены, зависящие от вязкости, так как это привело бы к невозможности выполнения физически существенного граничного условия — условия прилипания жидкости к стенкам. [c.108]

В этой главе мы рассмотрим некоторые приближенные решения урав- нений Навье — Стокса для предельного случая, в котором силы трения значительно больше, чем силы инерции. Так как силы инерции пропорциональны квадрату скорости, силы же трения пропорциональны первой степени скорости, то очевидно, что движения с преобладающей ролью сил трения возникают при очень малых скоростях или, в более общем случае, при очень малых числах Рейнольдса. Решения уравнений Навье — Стокса, получаемые путем отбрасывания в последних инерционных членов, пригодны для Re< l т. е. для чисел Рейнольдса, меньших единицы. В этом можно сразу убедиться из безразмерной записи (4.2) уравнений Навье — Стокса. В самом деле, инерционные члены отличаются от членов, зависящих от вязкости, присутствием множителя Re = pVll i. Правда, в каждом отдельном случае следует тщательно выяснить, из каких величин должно быть составлено это число Рейнольдса. Такого рода течения, для которых число Рейнольдса весьма мало, называются ползущими движениями. Необходимо отметить, что в практических приложениях ползущие движения встречаются, если не считать некоторых особых случаев, довольно редко ). [c.111]

Получено асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, описывающее влияние тонкого продольного вихря постоянной циркуляции на развитие двумерного стационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской пластине. Установлено, что в узкой области на поверхности пластины, вытянутой вдоль вихревой нити, вязкое течение описывается уравнениями трехмерного пограничного слоя. Изучено решение этих уравнений при малых значениях циркуляции вихревой нити. Обнаружен коллапс решения уравнений двумерного предотрывного пограничного слоя, вызванный сингулярным поведением трехмерных возмущений вблизи точек нулевого продольного трения. [c.97]

Особое место в многообразии течений со взаимодействием занимает теория кромочного (marginal) отрыва, созданная при анализе пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля, установленного под углом атаки [2]. Обнаружено критическое значение угла атаки, при котором градиент давления неблагоприятен, а напряжение трения на поверхности тела обращается в нуль лишь в одной точке, оставаясь во всех остальных положительным. Решение уравнений пограничного слоя имеет в этой точке слабую особенность, но является продолжимым через нее вниз по потоку. Как было показано в [3, 4], в окрестности точки нулевого трения вследствие реакщ1и внешнего потенциального потока на сингулярное поведение в ней гидродинамических функций формируется область взаимодействия пограничного слоя с внешним течением протяженностью Аде = 0(Re ), где Re - характерное число Рейнольдса. При этом задачу о взаимодействии удается свести к нелинейному интегродифференциальному уравнению относительно поверхностного трения Л(лг). Численное решение уравнения выявило два важнейших его свойства несуществование решений при превышении критического угла атаки и неединственность [4-6]. Теория кромочного отрыва, объяснившая структуру решения уравнений Навье-Стокса вблизи точки бифуркации по параметру, инициировала исследование целого ряда схожих физических задач. [c.97]

Для менее крупных неровностей при <С а 6 <С (это также случай 1, б по классификации неровностей) в возмущенной области течения 3 с характерными размерами Ах n j Ау n J Ь конвективные члены уравнений Навье-Стокса пренебрежимо малы по сравнению с вязкими. Течение будет описываться уравнениями Стокса Stokes G.G., 1851], в которых вязкие напряжения должны уравновешиваться силами давления. Соответствующая краевая задача получается сразу, если в уравнениях (8.5) отбросить конвективные члены или в (8.9) формально перейти к пределу Re О, при этом напряжение трения и тепловой поток опять будут изменяться в своем основном порядке. Это означает, что возможно появление отрыва в течении, в описании которого отсутствуют конвективные члены (решение такой задачи будет рассмотрено ниже). Для тонких неровностей при <С а <С 6 <С очевидно, получится краевая задача вида (8.11) только без конвективных членов возмущения напряжения трения и теплового потока опять будут малыми. [c.382]

Подстановка разложений (8.101) в уравнения Навье-Стокса, записанные в переменных Мизеса и совершение предельного перехода при Моо сю, <5 О и X О показывают, что в наиболее обпдем случае при а Ъ течение в области 3 в первом приближении описывается полными уравнениями Навье-Стокса для сжимаемого газа на поверхности неровности г/з = /(жз) при = О должны выполняться обычные условия непротекания и прилипания, вдали от неровности решение должно срапдиваться с невозмупденным течением в пристеночной части пограничного слоя (8.100). Если же а 6 <С <5 , то в области 3 в первом приближении будут справедливы уравнения Стокса. Разложения (8.101) показывают, что при <5 <С а 6 (5 напряжение трения т и тепловой поток д по поверхности неровности изменяются в своих основных порядках (8.96). [c.405]

Забегая вперед, заметим, что несжимаемые течения без тре шя можно рассматривать как строгие решения уравн№ий Навье — Стокса, так как для таких течений члены уравнений Навье — Стокса, зависящие от вязкости, тождественно равны нулю. В самом деле, для несжимаемых течений, происходящих без трения, вектор скорости может быть представлен как градиент потенциала ф, т. е. [c.77]

Новая модель - гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса - дает более точное описание смешанных вязких течений в каналах, соплах, в ударном слое около обтекаемых сверзвуковым потоком затупленных тел при больших и умеренных числах Рейнольдса, чем известные неэллиптические модели. Это продемонстрировано на решении тестовых задач газовой динамики. Гиперболическое приближение позволяет проводить расчеты длинных сопел со значительной продольной кривизной горла и расчеты сверхзвукового обтекания тонких затупленных тел с длинами до сотен калибров. Новая модель хорошо воспроизводит поле давления при течениях в соплах с К,,, = 1.0 и удовлетворительно - тепловой поток и трение на стенке. Для внешних течений эта модель достаточно точно предсказывает аэродинамические характеристики - такие, как давление, сопротивление, тепловой поток и др. [c.45]

Аналогичный характер имеет и решение уравнения (4.6) для вихревой напряженности. При небольших скоростях течения (силы трения велики по сравнению с силами инерции) вращение частиц жидкости возникает во всей окрестности тела. Напротив, при больших скоростях течения (силы трения малы по сравнению с силами инерции) следует ожидать такого поля течения, в котором вращение частиц жидкости сосредоточено в узкой зоне вдоль поверхности обтекаемого тела и в следе позади 1 ела, во всей же остальной области течения практически не происходит вращения частиц (см. рис. 4.1). Таким образом, можно предполагать, что в предельном случае очень малых сил трения, т. е. очень большого числа Рейнольдса, решения у равнений Навье — Стокса обладают таким свойством, что все поле течения можно разделить на две области на область тонкого слоя, облегающега [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...