Слой пограничный уравнения Прандтля

Для поверхностей умеренной кривизны (выпуклых относительно жидкости), обтекаемых двумерным потоком, Гольдштейн [25] получил уравнения пограничного слоя типа уравнений Прандтля с учетом радиуса кривизны Я. Градиент давления в пограничном слое приблизительно определяется следующим образом [c.269]

На основании всего вышеизложенного приходим к заключению, что движение в пограничном слое определяется уравнениями Прандтля вида [c.245]

Таким образом, получаем систему уравнений движения в ламинарном пограничном слое — уравнения Прандтля — в виде [c.224]

При описании явления отрыва ( 35) уже было указано, что реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемого тела определяется свойствами движения в пограничном слое. Мы увидим ниже, что в математическом отношении линия отрыва есть линия, точки которой являются особыми точками решений уравнений движения в пограничном слое (уравнений Прандтля). Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих решений вблизи такой особой линии ). [c.231]

Характер этих особенностей тоже непосредственно следует из сказанного. Действительно, дойдя до линии отрыва, течение отклоняется, переходя из области пограничного слоя в глубь жидкости. Другими словами, нормальная составляющая скорости перестает быть малой по сравнению с тангенциальной и делается по крайней мере одного с нею порядка величины. Мы видели (см. (39.11)), что отношение так что возрастание Vy до Vy Vx означает увеличение в Vr раз. Поэтому при достаточно больших числах Рейнольдса (о которых, разумеется, только и идет речь) можно считать, что Vy возрастает в бесконечное число раз. Если перейти в уравнениях Прандтля к безразмерным величинам (см. (39,10)), то описанное положение формально означает, что безразмерная скорость и в решении уравнений становится на линии отрыва бесконечной. [c.232]

Но в уравнениях Прандтля скорость Vy является своего рода вспомогательной величиной, которой при исследовании движения в пограничном слое обычно не интересуются (в свя,зи с ее малостью). Поэтому желательно выяснить, какими свойствами обладает вблизи линии отрыва функция Vx. [c.232]

В текущем столетии большое развитие получил аналитический метод исследования теплоотдачи, основанный на теории пограничного слоя. Основные уравнения этой теории были установлены Л. Прандтлем в 1904 г. Два первых десятилетия теория пограничного слоя использовалась только для расчета сопротивления трения, позднее она становится также средством исследования процессов теплоотдачи. [c.243]

Здесь принято с = К . Таким образом, в случае равновесного турбулентного течения в пограничном слое дифференциальное уравнение кинетической энергии пульсационного движения вырождается и переходит в известную формулу Прандтля (1.81). Использование системы уравнений (1.107) в совокупности с уравнениями (1.80) в принципе позволяет учесть влияние на коэффициенты турбулентного переноса ряда факторов, таких как порождение, диссипация, а также нестационарность, конвекция, диффузия. [c.55]

Понятие о пограничном слое и система уравнений Прандтля для реагирующих газовых смесей. Начальные и граничные условия [c.371]

Несколько видоизменяя допущение Прандтля, считаем, что внутри пограничного слоя члены уравнения (7.4.9), ха- [c.377]

Решение практических задач ламинарного пограничного слоя путем непосредственного интегрирования уравнений Прандтля при произвольном распределении скорости в невозмущенном потоке представляет знач[[-тельные трудности. На помощь приходят приближенные методы, основанные на интегральных соотношениях между параметрами течения в пограничном слое. В качестве примера рассмотрим соотношения, полученные Карманом на основе теоремы об изменении количества движения. [c.238]

Уравнения теплопроводности, движения и сплошности для несжимаемого пограничного слоя принимают вид (уравнения Прандтля) [c.110]

Система уравнений (3-1-6) и (3-1-7) называется уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Граничными условиями будут [c.181]

Для пограничного слоя при известных допущениях эллиптические уравнения Навье-Стокса переходят в параболические уравнения Прандтля. Поэтому, как показал Л. Прандтль [3], решения стационар- [c.284]

Здесь еще раз следует подчеркнуть, что упомянутое условие устойчивости дифференциальных уравнений пограничного слоя справедливо лишь для уравнений Прандтля. А именно из уравнений пограничного слоя в форме Мизеса следует, что возмущающие процессы любого характера после минимума давления значительно возрастают в направлении движения. Условия устойчивости получаются совсем другими, если в основу дифференциальных уравнений положить уравнение в форме уравнения Л. Крокко. При этом развитие неустойчивости находится в особой зависимости от получаемого решения. Аналогичные вопросы возникают и при решении таких же параболических линейных уравнений теплопроводности. Они связаны заменой зависимой переменной независимой. В настоящей работе рассмотрение неустойчивости ограничивается исследованием уравнений пограничного слоя в форме уравнений Прандтля. [c.285]

Метод последовательных моментов Л. Г. Лойцянского получил дальнейшее развитие в работах [Л. 2 и 3] применительно к тепловым задачам ламинарного пограничного слоя без массообмена. Хорошие результаты, а также простые и наглядные расчетные соотношения, полученные при этом авторами, свидетельствуют об устойчивости и удобстве метода. В настоящее время в инженерной практике ряда отраслей (сушильная техника, химическая технология, энергетика) отсутствуют расчетные соотношения, пригодные для определения конвективного теплообмена тел произвольной формы при наличии поперечного потока вещества. В большинстве работ Л. 5 и 4] формулы получены для случая продольно обтекаемой пластинки путем численного решения уравнений пограничного слоя при числах Прандтля, близких к единице. [c.130]

Физическое толкование эффекта неустойчивости для предельного вдува основано на предположении о нарушении механизма вязкого обмена импульсом при слишком большом поступлении в пограничный слой инородного вещества, имеющего на стенке нулевую продольную составляющую скорости. С другой стороны, пограничный слой настолько утолщается, что уравнения Прандтля теряют свою силу. Для вычисления асимптотических значений Hi при отрицательных значениях параметра Mi было использовано полученное нами точное решение уравнения теплового пограничного слоя пластинки, обтекаемой равномерно нагретой жидкостью при однородном отсосе и неизменной температуре стенки. [c.140]

Уравнения Прандтля для пограничного слоя [c.155]

Существенным обстоятельством, ограничивающим широкое использование уравнений Прандтля, является переход при определенных значениях Re в пределах пограничного слоя от слоистого, ламинарного течения к хаотическому, турбулентному режиму. Именно второй тип течения при больших Re, как правило, и имеет место. Тогда необходимо либо вносить определенные коррективы в уравнения Прандтля, либо искать другие, более универсальные пути расчета характеристик пограничного слоя. [c.159]

Однако и здесь необходимо иметь еще одно соотношение, связывающее f и б . В отличие от уравнения Прандтля при выводе соотношения (6.45) мы не делали никаких предположений относительно характера движения жидкости. На этом основании будем считать соотношения (6.44) — (6.46) справедливыми как для ламинарного, так и для турбулентного течения в пределах пограничного слоя. Правда, добавочные связи между неизвестными, входящими в указанные уравнения, будут различными для каждой формы течения. [c.163]

Расчет характеристик ламинарного пограничного слоя базируется на приближенном выражении (6.72), описывающем распределение скоростей в поперечном сечении этого слоя. Точное решение рассматриваемой задачи с использованием дифференциальных уравнений Прандтля (6.36) приводит к следующим выражениям [c.178]

В частности, при выводе уравнений Прандтля для пограничного слоя все линейные размеры были выражены [c.191]

Уравнения пограничного слоя в дифференциальной форме. Ламинарное течение в плоском установившемся пограничном слое описывается приближенными уравнениями Прандтля [c.41]

В более общих задачах об обтекании тел сквозь поверхность тела может происходить отсасывание или, наоборот, выдавливание жидкости. При некоторых условиях и в этих случаях толщина пристеночного слоя, где существенно влияние вязкости, имеет порядок так что для описания течения в этом слое можно пользоваться уравнениями Прандтля. Использованию уравнений Прандтля для решения задач о ламинарных течениях жидкости в пограничном слое на твердом теле посвящена обширная литература (см., например, монографии [1-3]). Имеются и строгие доказательства существования и единственности решения уравнений Прандтля для таких течений [4]. Эти доказательства теряют, однако, силу в тех случаях, когда внутри пограничного слоя имеется зона обратных токов. Уравнения пограничного слоя широко используются также для решения задач о ламинарном смешении потоков, имеющих разные скорости, и о течениях в ламинарных струях. В этих задачах решения получены только для течений, в которых продольная составляющая скорости не меняет знак. [c.91]

Для рассмотрения некоторых свойств течений в пограничном слое с обратными токами ограничимся случаями течения вдоль плоской пластины, для которой уравнения Прандтля имеют вид [c.92]

Опуская в первом из уравнений (8-3) все члены, порядок которых меньше единицы, и возвращаясь размерным выражениям, получим уравнения Прандтля для двумерного пограничного слоя [c.180]

Взаимодействие конвекции и диффузии в потоке вязкой жидкости. Пограничный слой. Уравнение Прандтля [c.439]

Первые два из них выражают условие прилипания вязкой жидкости к твердой стенке (у = 0) — контуру обтекаемого тела. Третье (у с ) представляет требование асимптотического стремления продольной скорости и в области пограничного слоя к скорости V (х) на границе пограничного слоя с безвихревым потоком. Это граничное условие можно интерпретировать как операцию сращивания (иногда говорят сшивания ) решения уравнений Прандтля движения вязкой жидкости в пограничном слое внутренняя область со своей бесконечностью — границей пограничного слоя) с решением уравнений Эйлера для безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью внешняя область с бесконечностью в набегающем на тело невозмущенном однородном потоке). [c.446]

Уравнение пограничного слоя в форме Прандтля — Мизеса (19) по внешнему виду напоминает уравнение теплопроводности, но для того нелинейного случая, когда коэффициент температуропроводности — коэффициент при второй производной в правой части, равный у )/Z — г,— зависит от температуры (в настоящем случае роль температуры играет дефект кинетической энергии). [c.450]

Соотношение это может быть получено почленным интегрированием обеих частей уравнения Прандтля (11) по у от у = О до у = оо, либо у — 8, как это было принято в старых теориях пограничного слоя конечной толщины. Предварительно преобразуем левые части уравнений (И), чтобы обеспечить сходимость далее вводимых интегралов. Уравнения 1), пользуясь вторым из них, можно тождественно преобразовать к виду [c.462]

Таким образом, установлена возможность приведения дифференциального уравнения Прандтля (15), содержащего в себе и в соответствующих ему граничных условиях частное, характерное для данной конкретной задачи распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя, к универсальному дифференциальному уравнению (84), одинаковому для всех возможных, обладающих свойством аналитичности, т. е. существования производных любого порядка функции 11 х). [c.470]

Идея и основные уравнения теории ламинарного пограничного слоя были сформулированы Прандтлем (L Prandtl, 1904), [c.223]

Рассмотрим акустический пограничный слой у плоской твердой стенки (плоскость xz), причем движение будем считать плоским — в плоскости ху И. S lili hling, 1932). Приближения, связанные с малой толщиной пограничного слоя, описаны в 39 и сохраняют силу для рассматриваемого нестационарного движения. Нестационарность приводит лишь к появлению в уравнении Прандтля (39,5) членов с производными по времени [c.430]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

На основе этих уравнений формулируется известная теорема, часто называемая в теории пограничного слоя оановным законом давление в пограничном слое создается внешним невязким течением, т. е. давление в пограничном слое одинаково с давлением во внешнем потоке. Хотя предыдущий вывод был вначале сформулирован для плоской пластины, однако он справедлив также и для градиентных течений. Напротив, в настоящее время очень большое внимание уделяется экспериментальным данным по обтеканию плоской пластины при любых распределениях давления, которые организуются соответствующим профилированием противоположной стенки. В работе [3] впервые показано, что уравнения Прандтля для плоского потока справедливы и для изогнутой стенки при условии, что радиус кривизны стенки значительно превышает толщину пограничного слоя и плавно изменяется вдоль изогнутой стенки. В этом случае х обозначает длину дуги стенки, а г/ — расстояние, перпендикулярное стенке. На острых краях, как, например, на передней кромке плоской пластины, теория пограничного слоя неприменима. [c.8]

Краткое содержание. В предыдущей работе исследовалось влияние малых возмуш,ений входного профиля на решения уравнений стационарного пограничного слоя. Назовем решение устойчивым, если каждое такое возмущение затухает в направлении потока, и неустойчивым, если этого не происходит. В противоположность явлениям неустойчивости, которые исследовались до настоящего времени в теории пограничного слоя (волны Толлмина, вихри Гёртлера и др.), здесь речь идет не о временном нарастании возмущений, а о стационарном развитии возмущений входного или какого-либо другого профиля. Будет доказано, что уравнения Прандтля для стационарного пограничного потока становятся строго неустойчивыми там, где субстанциональное ускорение, параллельное стенке, становится отрицательным. Это наступает сразу же за минимумом давления. Смысл последнего утверждения будет раскрыт числовым расчетом стационарного пограничного потока. В частности, условия устойчивости определены методом конечных разностей. Наряду с требованием устойчивости на дифференциальные уравнения, как это известно из теории линейных уравнений теплопроводности, налагаются ограничения, связанные с выбором размеров ячеек. [c.284]

До настоящего времени считали, что в областях, где нет возвратного течения, уравнения пограничного слоя Прандтля являются в этом смысле устойчивыми. Это предположение, высказанное еще Л. Прандтлем [3], основывается на известном сходстве уравнений пограничного слоя с уравнением теплопроводности. Ниже покажем, что стационарные уравнения пограничного слоя в форме Прандтля всегда являются устойчи- выми. Докажем, что тогда и только тогда неустойчивость имеет место, когда субстанциональное ускорение в параллельном стенке направлении отрицательно. Это наступает сразу же за точкой минимума давления. Заранее установить точную границу области устойчивости не представ- .аяется возможным, пескольку она, как и нелинейность уравнений пограничного слоя, зависит от последующего решения, а потому и от краевых условий. [c.285]

Из второго уравнения (6.36) следует, что в пределах пограничного слоя давление р не меняется в поперечном направлении. Этот вывод имеет важное значение, так как позволяет находить распределение давления вдоль оси х с помощью уравнения Эйлера для идеальной жидкости. Действительно, на внешней границе пограничного слоя (у=б) при равномерном поле скоростей внешнего потока ди/ду О и здесь уравнение Прандтля (6.36) переходит в уравнение Эйлера для одномерного потока (2.26). Кроме того, условие постоянства давления поперек пограничного слоя позволяет оценивать давление в невозмущенной части потока (на верхней границе пограничного слоя) по измерениям этого давления непосредственно на обтекаемой поверхности. Следует, однако, иметь в виду, что др/дуФО на сильно искривленной поверхности, где радиус кривизны со- [c.158]

Первые три условия непосредственно вытекают из определения пограничного слоя, а четвертое можно написать на основании уравнения Прандтля для пограничного слоя. Действительно, поскольку dpjdx=Q, первое уравнение системы (6.36) примет вид [c.177]

Неудовлетворительное положение с уравнениями Озеена, связанное с описанием инерционных эффектов, суш ествовало до появления работы Лагерстрома, Коула и особенно Каплуна из Калифорнийского технологического института в середине 50-х годов. Их идеи оказались весьма плодотворными и были далее развиты в работе Праудмена и Пирсона [49]. Весьма интересно, что стимулом к такой деятельности послужили проблемы теории ламинарного пограничного слоя при высоких числах Рейнольдса, когда попытки получить поправки высшего порядка к теории Прандтля и тем самым распространить ее на область более низких чисел Рейнольдса оказались безуспешными в связи с отсутствием ясного понимания соотношения между уравнениями Прандтля и полными уравнениями Навье — Стокса. [c.63]

Кривизна границы в направлении течения влечет за собой появление градиентов давления как вдоль по течению, так и в нормальном к стенке направлении. Однако если кривизна не очень велика, а пограничный слой очень тонок, то градиент по нормали к стенке др ду обычно оказывает второстепенное влияние. Поэтому в большинстве случаев давление считается постоянным поперек слоя даже для искривленных границ. С другой стороны, даже очень малые градиенты в направлении движения могут изменить течение во всем пограничном слое. Роль градиента давления dpjdx можно выявить из уравнений Прандтля (8-7) для пограничного слоя с помощью качественных рассуждений, приведенных ниже. [c.214]

Свободные турбулентные течения, показанные на рис. 16-1, имеют одно важное свойство — то же, что и течения в пограничном слое, рассматривавшиеся ранее во всех случаях ширина Ь золы смешения мала по сравнению с ее протяженностью по направлению оси х, и градиент скорости в направлении оси у велик по сравнению с градиентом в направлении оси д . Это в точности те же предположения, которые были сделаны Пранд-тлем для упрощения уравнений движения как в случае ламинарного, так и в случае турбулентного пограничного слоя (см. 8-2 и 12-3). Следовательно, для установившегося двумерного течения однородной несжимаемой жидкости в случае свободной турбулентности уравнения движения и неразрывности будут такими же, как уравнения Прандтля для пограничного слоя с нулевым градиентом давления, а именно [c.431]

Сделанный только что вывод о независимости положения точки отрыва от рейнольдсова числа, конечно, справедлив только в предположении о применимости уравнения Прандтля в предотрывной области. На самом деле в области отрыва — ее размеры требуют специальной оценки по рейнольдсо-ву числу — уравнения Прандтля в рассмотренной форме теряют силу. При приближении к точке отрыва тормозящее влияние стенки резко убывает до нуля, и преимущественное значение производных по нормали к стенке по сравнению с производными в направлении, параллельном стенке, исчезает. При этом уже нет оснований пренебрегать величиной d uldx по сравнению с d uldy в круглой скобке в правой части первого из уравнений (3). Поперечный размер пограничного слоя, так же как и поперечная скорость, перестает быть малым, существенным становится и поперечное изменение давления ). [c.448]

Изложенный в настоящем параграфе приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя основывался на использовании однопараметрического семейства профилей скорости, представлявших точные подобные решения уравнений Прандтля (11). Такой подход или несколько более общий, заключавшийся в выборе конкурирующих однопараметрических семейств профилей скорости среди других, известных к тому времени точных решений, возник только в самом конце тридцатых годов. Ранее использовались искусственно образованные аналитические семейства профилей, просто схожие по форме с действительными профилями, совпадающие с ними на внешней (г/ = б) и внутренней (у = 0) границе пограничного слоя. Произвол в выборе такого рода конкурирующих наборов профилей скорости породил большое число различных приближенных методов и, по-видимому, отражал широко в то время принятый в теории упругости метод Ритца. [c.466]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...