Приложение В. Специальные функции

ПРИЛОЖЕНИЕ В. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [c.638]

Л е б е д е в Н. Н. Специальные функции и их приложение. [c.232]

Однако из-за сложной формы ядер их произведения на базисные функции каждый раз необходимо интегрировать численно, используя квадратурные формулы. Во всех случаях это может быть выполнено с помощью обычной квадратурной формулы исключение составляют интегралы, дающие вклад в элементы главной диагонали матриц окончательной системы уравнений. Интегралы, содержащие функции G, имеют логарифмическую особенность и могут быть вычислены точно по специальной гауссовской квадратурной формуле, описанной в приложении В интегралы же, содержащие функцию F, должны вычисляться аналитически. Мы можем сделать это рассмотренным в разд. 5.4.4 методом (т. е. выделяя сингулярную часть интеграла вместе с дополнительным разрывным слагаемым). Функция F в этом частном случае может быть приведена к более простому виду. [c.154]

Изгибные колебания давно известны и хорошо изучены теория и инженерные приложения этого вопроса получили широкое развитие. Однако частная область — распространение установившихся вынужденных гармонических колебаний по специальным конструкциям — волноводам, предназначенным для эффективной канализации энергии, до сих нор не затрагивалась. Объясняется это тем, что почти все случаи прикладного рассмотрения изгибных колебаний относились к задачам, в которых эти колебания были нежелательны и возникали в разнообразных конструкциях, предназначенных для различных целей, совершенно не связанных с задачей передачи колебательной энергии. Таким образом, применительно к функциям, выполняемым волноводами изгибных колебаний в ультразвуковом диапазоне, инженерная теория и использование этих волноводов нуждаются в специальном систематизированном рассмотрении и развитии. С другой стороны, углубленное рассмотрение этих задач должно привести к установлению оптимальных соотношений, что, несомненно, будет способствовать более широкому распространению этого нового тина акустических волноводов. [c.247]

Наличие значительного количества справочников с таблицами математических функций, а также книг с таблицами теплофизических величин различных веществ, например [8, 27], позволило исключить приложение к этой книге — справочные таблицы. Из книги исключен также раздел, касающийся расчета теплообменных аппаратов. Изложение этого раздела требует сведений технологического характера и изучается в специальных курсах теплотехнических устройств и установок. За счет принятых сокращений более полно изложен материал в разделах курса теплопроводность и теплопередача тел, а также конвективный и лучистый теплообмен. [c.3]

Ю. Н. Кузьмин (1966) нашел распределение напряжений в упругом пространстве, ослабленном системой периодических вдоль оси z плоских трещин одинакового радиуса. Для нормальной нагрузки, приложенной к поверхности трещин, задача сводится к решению парных интегральных уравнений, сводимых в дальнейшем к уравнению Фредгольма с непрерывным ядром, выражаемым через известные специальные функции. [c.386]

Различные математические методы вводятся и обсуждаются в книге по мере возникновения в них надобности. Они не выделены в отдельную главу. По нашему мнению, читатель гораздо эффективнее овладеет математическим аппаратом, если будет применять его к конкретным возникающим задачам. Исключение сделано лишь для формул, касающихся специальных функций. Их можно найти в приложениях к книге. [c.7]

Курс теории теплопроводности применительно к задачам инженерной практики. В книге рассмотрены аналитические, численные, графические и экспериментальные методы определения стационарных и нестационарных температурных полей в различных системах. Общие положения иллюстрируются подробным разбором многочисленных конкретных задач, в том числе таких сложных систем, как лопатка турбины, крыло реактивного самолета, ядерный реактор и др. Специальная глава посвящена методам моделирования тепловых систем. Каждая глава содержит библиографию и многочисленные задачи учебного характера. В Приложении даны таблицы значений некоторых специальных функций и корней трансцендентных уравнений, необходимых для аналитического расчета тепловых систем. [c.436]

В приложении приведены свойства функции V т]) показано ее применение к вычислению сложных определенных интегралов составлена таблица соответствий изображение — оригинал в преобразовании Лапласа указана ее связь с другими специальными функциями приведена таблица четырех функций, описывающих процессы, протекающие в обменных системах. [c.57]

Книга содержит таблицы и графики, иллюстрирующие распределение напряжений в различных решетках, зависимость жесткости решетки от ее геометрии и т. п. Для проведения конкретных расчетов в приложениях даны таблицы специальных функций и констант решетки. [c.10]

Кромка Л находится в области полутени падающего полутеневого поля, а точка наблюдения Я=Р2 в области полутени для волны, падающей на клин 5 (см. рис. 4.24), Асимптотические формулы для поля, применимые в этой ситуации, выражаются через новую специальную функцию —обобщенный интеграл Френеля 0(х, у) см. приложение 2) — и имеют вид [c.133]

Изображение единичной функции (t) есть единица, и т. п. Существуют готовые таблицы операционных формул, в которых сведены изображения весьма разнообразных оригиналов, в том числе и многих специальных функций. Краткая таблица такого рода дана в приложении. [c.285]

С целью облегчения вычислений значений нормированной функции распределения, заданной формулой (11.32), составлена специальная таблица (см. табл. 10 приложения). Таблица дана для Xk = I, 2,. . ., 10,15 в интервале изменения z от О до 3,65 через [c.391]

Перемещение органов управления вызывает закручивание или сжатие пружин, что создает у оператора ощущение усилия реакции, приблизительно пропорциональное приложенному напряжению. Пружины исполняют также защитные функции, возвращая трансформатор на нулевое напряжение в случае, если оператор отпустит рукоятку управления. Управление воздушным цилиндром, приводящим в действие челюсти захвата, осуществляется регулятором и трехходовым клапаном. Манометр со специальными шкалами показывает безопасные рабочие давления при манипулировании с различными материалами. [c.99]

Функции (5) позволяют ответить на вопрос о вероятности той или иной конкретной реализации случайного процесса / (i). Однако в приложениях обычно бывает трудно определить все функции (5). Это оказывается возможным лишь для специальных типов случайных процессов (например, для гауссовских процессов). В связи с этим для описания случайных функций часто используются более простые характеристики, связанные с функцией (А, /а). [c.12]

Для рассмотренной на рис. 2.7 квазипериодической структуры с одноосной разупорядоченностью волокон на рис. 2.9 построены специальные корреляционные функции к х) (2.31) — (2.33). Таким образом, из анализа графиков на рис. 2.8 и 2.9 можно сделать вывод, что для квазипериодических случайных структур корреляционная функция к[х) (рис. 2.9) в отличие от традиционной корелляционной функции (рис. 2.8) обладает важным для численных приложений свойством локальности и быстро затухает при удалении от нулевой точки на расстояния х , превышающие радиус поперечного сечения волокна г р. Результаты расчета для изотропной разупорядоченности волокон в трансверсальной плоскости при значениях степени разупорядоченности к = к2 = 1 представлены на рис. 2.10. На рис. 2.11 приведены результаты построения геометрии основного сечения корреляционной функции к х) плоскостью Х1ОХ2, т. е. множество минимально удаленных от начала координат (х = 0) точек х, в которых функция к[х) равна нулю. Вид этого сечения является важной характеристикой анизотропии разупорядоченности структуры. [c.39]

Ясно, что условия (3.3) — (3.5) и (3.6) или (3.6 ) будут выполняться при любом осреднении (3.1) с произвольной весовой функцией (О, удовлетворяющей условию (3.2). Иначе обстоит дело с наиболее сложным условием (3.7). Так, например, если пользоваться временным или пространственным осреднением по некоторому интервалу, то можно показать, что, строго говоря, ни при каком выборе интервала осреднения это условие не будет достаточно точно выполняться. Нетрудно, однако, привести соображения в пользу того, что интервал осреднения можно выбрать так, чтобы это условие приближенно выполнялось со сравнительно большой степенью точностью для этого надо только, чтобы интервал осреднения был велик по сравнению с характерными периодами пуль-сационного поля / = / — /, но был мал по сравнению с периодами осредненного поля /. Подобного рода соображениями и ограничился в свое время Рейнольдс в настоящее время, однако, эти качественные соображения вряд ли могут быть признаны вполне убедительными. Поэтому после работы Рейнольдса появился целый ряд прикладных исследований, посвященных вопросу о степени точности соотношения (3.7) для тех или иных конкретных операций осреднения и классов функций / и а также и чисто математических работ об общих операциях осреднения , заданных на тех или иных функциональных пространствах (т. е. специальных совокупностях функций) и точно удовлетворяющих условиям Рейнольдса (или каким-то родственным условиям тога же типа) см., например, Монин и Яглом (1965), с. 165. Однако все полученные на этом пути результаты не нашли важных приложений в механике турбулентности в первую очередь потому, что в современной теории турбулентности вопрос о смысле операции осреднения почти всегда решается совершенно иначе и притом так, что все условия Рейнольдса здесь оказываются точно выпол- [c.168]

В. Е. Жуков [1] рассмотрел представляющий интерес для приложений случай специального вида многоугольника с резко меняющимися линейными размерами. Автор, отправляясь от приближенного отображения в виде конечного ряда по Кристофелю — Шварцу, применяет к решению задачи метод Мусхелишвили в несколько измененном виде. Этот видоизмененный метод впервые использовался в работах Д. М. Волкова (например [1]). В одном конкретном примере разрывной нагрузки (к отдельным участкам контура пластинки приложены распределенные по некоторому закону растягивающие усилия) решение доводится до численных результатов, причем в отображающей функции удэрживается член, содержащий [c.595]

РасслЮтрена динамика процессов в различных тепло- и массообменных аппаратах (парогенераторах, массообменных колонках, регенеративных теплообменниках и др.). Их математические модели систематизированы. Дана оценка основных упрощающих посылок. Подробно рассматриваются свойства специальной функции, являющейся решением уравнения второго порядка гиперболического типа, к которому сводятся уравнения динамики аппаратов с несжимаемым теплоносителем. Дан обзор таких решений. Рассматриваются методы решения динамических задач в сложных объектах (парогенераторах). В приложении рассмотрены свойства специальной функции и ее модификаций и даны таблицы их значений. Книга предназначена для инженеров и научных работников, занимающихся вопросами тепло- и массообмена и автоматизацией тепловых объектов, и может быть полезна студентам старших курсов соответствующих специальностей. [c.2]

Приведенные ниже данные дополняют результаты статьи. Они позволяют конструировать функционалы сложности и назначать краевые условия так, чтобы определяемые на основе принципа сложности элементы матрицы импульсных переходных функций могли иметь специальные свойства. Этому вопросу посвящен п- I приложения, в котором также поясняется характер упомянутых специальных свойств. В п. П приложения описан проекционный метод решения операторного уравнения с симметричным положительно определенным оператором — метод Ритца. Этот метод также можно считать методом построения минимизирующей последовательности для определенного типа квадратичного функционала, которая сходится в метрике гильбертова пространства к точному решению. Подобного типа операторные уравнения и квадратичные функционалы возникают при использовании принципа минимальной или - ограниченной сложности в задачах стохастической оптимизации. Обоснованием этого в частности, являются результаты данной статьи. [c.103]

Рассчитаем поле круглой поршневой диафрагмы в точках, лежащих вне оси. Точное решение для этого, случая, полученное немецким акустиком Штенцелем и основанное на разложении полей в ряды из специальных функций, оказывается чрезвытайно громозд-шиг. Поэтому мы ограничимся приближенным рассмотрением вопроса. Этого вполне дос ) аточно для большинства фактических приложений. [c.49]

Цель настоящего параграфа —показать, что сформулированные в предыдущей главе методы решения задач теории упругости по существу совпадают с описанным в 2 приложения II методом Ритца при специальном выборе базисных функций ф,-, и наметить путь к обоснованию, состоящему в доказательстве теорем о сходимости и оценке погрешности. [c.157]

При решении данного типа задач возможны два подхода. Первый подход состоит в приложении использованных выше рассуждений в каждый момент времени t, т. е. производится дискретизация только по пространственным переменным искомые параметры здесь являются функциями времени и для их определения получаются алгебраические, обыкновенные или интегро-дифферен-циальные уравнения —в зависимости от исходной задачи, которые решаются известными методами с помощью разработанных программ (Рунге — Кутта, Адамса и т, д.). При втором подходе независимая переменная — время / —считается формально равноправной с пространственными переменными х,- и производится разбиение на конечные элементы цилиндра, любое сечение которого плоскостью = onst — область изменения независимых переменных Xi, переменная t отсчитывается вдоль образующей цилиндра. Недостаток данного подхода — резкое увеличение размерности задачи, если только для движения вдоль временной переменной не применять специальные методы. Приведем описание первого подхода (представляющего собой, впрочем, частный случай второго). [c.212]

Общие результаты теории ползучести нео дно родно-стар еющих тел, полученные в 1,2, справедливы для произвольных ядер вида К — К (Ь, т) - или соответственно К = КН - р (а ), г -Ь р (а ), х]. Однако для приложений этой теории существенное значение имеет выбор ядер такого типа, чтобы они, с одной стороны, достаточно точно воспроизводили основные свойства стареющих материалов в наиболее важных случаях их нагружения, а с другой стороны, приводили бы к постановке краевых задач, допускающих эффективное рещение. Поэтому ниже остановимся лищь на тех неразностных ядрах специального типа, которые позволяют наиболее просто применить теорию ползучести неодно-родно-стареющих тел к решению прикладных задач. Разумеется, выбор ядер для стареющих материалов эквивалентен выбору вида функций для модулей мгновенных деформаций (х) и О (т) и для мер ползучести С 1, т) и со ( , т), ибо, например. [c.60]

Традиционные методы расчета стержневых систем имеют такую же последовательность, и многие ее аспекты подробно исследованы при разработке математического обеспечения для стержневых систем. Однако приложение этой схемы к расчету двумерных и трехмерных объектов требует решения многих специальных Бопросов. Одним из них является назначение расчетных узлов. Для стержневых систем эта процедура никаких затруднений не вызывает- За расчетные узлы, как правило, принимаются точки пересечения стержней, а за конечные элементы (КЭ) сами стержни или простейшие образования из них—крестообразные, рамнообразные и т. п. Для двумерных и трехмерных объектов эта процедура сходна с процедурой нанесения расчетной сетки в других численных методах. Положение часто осложняется высоким градиентом разрешающей функции, что вызывает необходимость сгущения расчетной сетки. По-видимому, автоматизация этого процесса будет весьма затруднительной, хотя за рубежом уже имеются примеры автоматического построения расчетной сетки для простейших случаев. [c.96]

Случай п= 1. Этот случай является специальным, и решения для него наиболее просто получить, задав X как степенную функцию от ж, а не в виде экспоненциальных функций, как в случае га = О, 2, 3,. .., поэтому остановимся сначала на этом варианте. При га = 1 прогибы W, пропорциональные os (у/Ю, вместе с соответствующими перемещениями, пропорциональными sin (пу/Ю, вызывают поперечное перемещение всего поперечного сечения цилиндрической оболочки без изменения егр крзгговой формы и, таким образом, соответствуют случаю изгиба длинной цилиндрической трубы. В случае чистого изгиба трубы под действием моментов Мо, приложенных на ее концах, можно положить [c.482]

В 1890 г. Хевисайд разработал ставший знаменитым операционный метод для решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, встречающихся в теории электрических цепей. Для этого случая Хевисайд дал элементарное обоснование своего метода. Затем он обобщил ) его на дифференциальные уравнения в частных производных электромагнитного поля и теплопроводности и получил целый ряд новых решений, причем этим методом не только удалось найти решения еще нерешенных задач, но и получить решения новых типов, например решения, специально соответствующие большим или малым промежуткам времени. Математическая строгость этих решений оставалась довольно сомнительной, и поэтому появилась настоятельная потребность математически строго обосновать всю теорию. Первый шаг в этом направлении был сделан Бромвичем ) [2], который в своей классической статье получил контурный интеграл с операционным выражением Хевисайда в качестве подынтегральной функции. Далее он доказал, что этот интеграл удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям, а позже оценил интеграл обычными методами контурного интегрирования. Его идеи были в дальнейшем развиты в книге [4] и нашли широкое использование в теории теплопроводности. Подобный метод, в котором также применяется контурный интеграл, был разработан Карслоу [5] (см. также приложение 1), но в его методе подын- [c.292]

Одно из мпогочислеппых приложений метода усреднения, которое получило в математической литературе название метод гармонической линеаризации или метод гармонического баланса , было предложено П. Н. Боголюбовым (см. [29, 58]). Суть его состоит в том, что нелинейные силы, участвуюнще в колебательных системах, заменяются специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного ана 1иза нелинейных систем. [c.62]

Настоящая книга является первой попыткой систематического изложения физических основ работы нового класса приборов нелинейной оптики — преобразователей инфракрасного излучения — в видимом диапазоне. Для удобства читателей, не имеющих специальной подготовки в области нелинейной оптики, монография включает главу (первую) с изложением основных понятий этого раздела физики, необходимых для восприятия предмета. Во второй главе даны общие принципы расчета нелинейно-оптических преобразователей и показано, что с точки зрения формирования изображений каждый преобразователь эквивалентен некоторой линейной оптической системе с эффективными параметрами, зависящими от конфигурации и фазового фронта накачки, ее амплитуды, типа использованного синхронизма. В третьей и четвертой рассмотрены две основные схемы нелинейно-оптических преобразователей — схемы критического векторного и касательного (некритичного) синхронизма. Обсуждаются достоинства и недостатки каждой из них и возможные варианты оптимизации параметров. В последней главе анализируются разные практические аспекты работы преобразователей (спектральные и шумовые характеристики), приведены экспериментальные данные, иллюстрирующие степень соответствия параметров реальных преобразователей основным теоретическим представлениям. Приложения 1 и 3 несут самостоятельную информацию, поскольку в первом приведен новый метод в классической теории аберраций на основе интегрального принципа Гюйгенса — Френеля, а в третьем — расчетные данные по углам разных типов синхронизма. Часть информации дана в компактной форме — показаны эквипотенциальные поверхности угол синхронизма как функция длин волн накачки и инфракрасного излучения. Материал третьего приложения основан на расчетах Г. М. Барыкинского. [c.3]

Нагнетательный клапан 12 (фиг. 34) выполняет функций обратного клапана, т. е. периодически разобщает внутреннюю полость трубопровода высокого давления и надплунжерное пространство, и с помощью цилиндрического пояска обеспечивает после отсечки падение давления в топливном трубопроводе до величины, близкой к атмосферному (разгружает трубопровод). Седло клапана 13, установленное на торец гильзы плунжера. 9, прижимается к нему при помощи нажимного штуцера 10, ввертываемого в корпус насоса между седлом клапана и нажимным штуцером ставится уплотнительная прокладка. На наружной поверхности седла клапана нарезана резьба для извлечения его из корпуса насоса при помощи специального съемника 46 (см. приложение П). Седло клапана и нагнетательный клапан также являются прецизионной парой, ни одна из деталей которой не может быть заменена без нарушения нормальной работы клапана. На заводе-изготовителе (после окончательной регулировки) крышка лючка, все установочные винты и упоры на топливном насосе пломбируются. Снятие пломб и нарушение регулировки упоров категорически запре- [c.57]

Спецкурс по теории устойчивости движения состоит из двух частей. В первой части Основы теории устойчивости движения излагаются общие методы решения задач устойчивости и их приложения к анализу динамических систем с сосредоточенными параметрами. Даются основные определения, подробно излагается второй метод Ляпунова, включая метод вектор-функций Ляпунова. Приводится обзор построения функций Ляпунова для некоторых классов нелшейных систем. Излагается теория устойчивости по первому приближению. Дается анализ критических случаев. Во второй части Специальные главы геории устойчивости движения рассматриваются новые подходы к решению задач устойчивости (в частности, принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова) и вопросы абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем (включая подробное изложение результатов В.М. Попова, [c.12]

Учебник предназначен, в первую очередь, для студентов технических университетов, поэтому наряду с тензорной формой записи применялась координатная. Авторы основывались на глубоком убеждении в том, что подобный материал для любых специальностей должен излагаться с достаточным уровнем математической строгости и доказательно, где это требуется в рамках курса. В связи с этим книга может использоваться в учебном процессе для широкого спектра специальностей. Для успегпного освоения материала необходимо знание соответствуюгцих разделов стандартного курса математического анализа, а также линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Дополнительные сведения по тензорному анализу и обобгценным функциям приведены в приложении (глава 14). [c.7]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

При каждом приложении критерия значимости [96] подвергается проверке некоторая гипотеза. В простейшем случае используется нулевая гипотеза, заключающаяся в том, что экспериментальное и теоретическое распределения не содержат существенных различий. В предположении, что нулевая гипотеза верна, сопоставляют эмпирическое значение критерия значимости, полученное по экспериментальным данным, с величиной квантиля функции распределения того или иного специального типа (Стьюдента, Фишера, Кохрена, Пирсона и др.). Следует отметить, что с помощью критерия значимости нулевая гипотеза может быть только отвергнута, но никогда не может быть доказана. [c.105]

Введенке. В этой главе мы рассмотрим решения уравнений равновесия изотропного упругого телд при ПОМОЩИ разложений в ряды гармонических функций и главным образом в ряды сферических функций. Мы начнем с некоторых специальных типов решений, полученных при помощи сферических функций и дающих важные, результаты, касающиеся равновесия шара, которые являются началом приложений теории упругости к геофизике. Мы будем следовать Кельвину, который выразил общее решение задачи 1) о шаре при помощи сферических функций, рассматривая их как функции декартовых координат и избегая преобразования к полярным координатам. После этого мы дадим некоторые применения рядов гармонических функций, отличных от сферических функций, для интегрирования уравнений равновесия. [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...