Приложение. Некоторые специальные математические функции

Ясно, что условия (3.3) — (3.5) и (3.6) или (3.6 ) будут выполняться при любом осреднении (3.1) с произвольной весовой функцией (О, удовлетворяющей условию (3.2). Иначе обстоит дело с наиболее сложным условием (3.7). Так, например, если пользоваться временным или пространственным осреднением по некоторому интервалу, то можно показать, что, строго говоря, ни при каком выборе интервала осреднения это условие не будет достаточно точно выполняться. Нетрудно, однако, привести соображения в пользу того, что интервал осреднения можно выбрать так, чтобы это условие приближенно выполнялось со сравнительно большой степенью точностью для этого надо только, чтобы интервал осреднения был велик по сравнению с характерными периодами пуль-сационного поля / = / — /, но был мал по сравнению с периодами осредненного поля /. Подобного рода соображениями и ограничился в свое время Рейнольдс в настоящее время, однако, эти качественные соображения вряд ли могут быть признаны вполне убедительными. Поэтому после работы Рейнольдса появился целый ряд прикладных исследований, посвященных вопросу о степени точности соотношения (3.7) для тех или иных конкретных операций осреднения и классов функций / и а также и чисто математических работ об общих операциях осреднения , заданных на тех или иных функциональных пространствах (т. е. специальных совокупностях функций) и точно удовлетворяющих условиям Рейнольдса (или каким-то родственным условиям тога же типа) см., например, Монин и Яглом (1965), с. 165. Однако все полученные на этом пути результаты не нашли важных приложений в механике турбулентности в первую очередь потому, что в современной теории турбулентности вопрос о смысле операции осреднения почти всегда решается совершенно иначе и притом так, что все условия Рейнольдса здесь оказываются точно выпол- [c.168]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...