Разложение регулярных решений

Разложение регулярных решений. Имеет место следующая [c.93]

Разложение регулярного решения уравнения термоупругости. Пусть и = (а, где и = ( /1, 2 з) — вектор упругого смещения, а 4 — температура,— есть регулярное решение однородного уравнения установившихся термоупругих колебаний. Это уравнение, как мы видели в I, 12, п. 3, имеет следующий вид [c.103]

Разложение регулярного решения уравнения М дх, сг) = 0. [c.111]

Основные трудности при решении краевых задач с условиями на движущихся границах связаны с тем, что они не допускают непосредственного применения метода разделенных переменных -одного из наиболее мощных методов математической физики. Особенно остро это касается неодномерных задач, которые рассматриваются в пятой главе. В настоящее время отсутствуют регулярные методы точного решения двух- и трехмерных задач. В них, как правило, ограничивались отысканием приближенных решений при медленных движениях границ путем разложения искомого решения по мгновенным модам квазистатического приближения 5.10, 5.11,5.13]. Такой подход, как отмечалось выше, не адекватен физической сущности задачи и в двумерных системах не позволяет описать явление аберрации при наклонном падении волны на движущуюся границу, двойной эффект Доплера, наличие крити- [c.16]

Если разыскивать регулярное решение уравнения (14) в виде полинома степени тг+1, то для получается алгебраическое уравнение четвертой степени с решениями = и п + 2 —тг + 1 —п—. Условие покоя на бесконечности обеспечивается, лишь когда в разложениях (12) все а > О, поэтому два последних корня должны быть отброшены, но две первые ветви собственных значений остаются. В рассматриваемом частном случае Ке == О эти ветви налагаются, так что мон но считать, что (14) имеет целочисленный двукратный спектр а = тг и каждому а соответствуют две регулярные собственные функции [c.279]

Допустим, что матрица потенциалов Vj постоянна при г <. R и обращается в нуль при r>R. Найти регулярное решение уравнения (16.75а) путем разложения в ряд в окрестности точки г = 0. [c.466]

Функция 5(s) регулярна, не обращается в нуль в комплексной плоскости S, разрезанной вдоль отрезка действительной оси от точки S = —до S = —Ь и стремится к единице при S-VOO. Разложение (6.18) является основой решения уравнения (6.15) методом Винера — Хопфа для неподвижной или распространяющейся с постоянной скоростью полубесконечной трещины. [c.496]

После регуляризации сингулярного уравнения решение регулярного интегрального уравнения строится либо, с помощью степенных разложений [6, 12], либо тригонометрических [8, 39]. Метод М. Г. Крейна [18, 19] использовал [c.286]

Заметим, что при малых о может быть построено регулярное асимптотическое разложение решения интегрального уравнения (3.19) в форме [c.412]

Неразрешимость краевой задачи (7), (10) в рамках принятых предположений означает неразрешимость полного уравнения конвективной теплопроводности (4) с полем скорости (1), (2), являющимся точным решением уравнений Навье — Стокса. Отсюда можпо было бы сделать выводы о том, что уравнение энергии и уравнения гидродинамики несовместимы Однако такой вывод является преждевременным, поскольку наши рассуждения существенно опирались на представление поля температуры в виде разложения по целым обратным степеням (5). В этой связи естественным является предположение о том, что парадокс неразрешимости связан с выбором разложения в виде (5), которое следует из условия аналитичности решений при В = >, тогда как для физически приемлемых решений достаточно их регулярности [46]. [c.263]

Упомянутое выше интегральное уравнение Фредгольма решается во всех рассмотренных конкретных случаях посредством сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения со t) в комплексный ряд Фурье. Исследование получающейся при этом системы, составляющее, как правило, весьма существенную часть решения задачи, показывает, что эта система во всех рассмотренных случаях регулярна при любых относительных размерах области. В случае, когда границы Ь и Ь не очень близки одна к другой, система оказывается вполне регулярной и допускает применение метода последовательных приближений. [c.578]

Для суммирования соответствующего билинейного разложения, определяющего ядро в (5.12), они использовали методы контурного интегрирования. В результате аналог интегрального уравнения в (5.12) у них оказался состоящим из двух интегральных операторов, одни нз которых с ядром Абеля. Используя затем обратный для интегрального оператора Абеля, они свели названное уравнение к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с регулярным ядром. Таким образом, точное решение парного уравнения (5.22) в отличие от (5.20) получить не удается. [c.62]

Считая, что потенциалы и в выражении (15.96) постоянны при г< Гд, иайти регулярное матричное решение Ф1 для j = 1 путем разложения в окрестности точки г = 0. Аналогичным образом найти линейно независимое нерегулярное решение. [c.437]

В проведенных преобразованиях выражения, определяющего а , предполагалось, что 8 = 1. Только при выборе знака плюс в выражении (1.18) получится решение, регулярное в точке р = 0. Учитывая уравнение (1.17) — разложение в ряд Ч р), вид решения волнового уравнения в оболочке и граничное условие на поверхности раздела сердце-вина — оболочка, получим дисперсионное уравнение [c.26]

Однако строгое математическое доказательство того факта, что формулы лучевого метода в случае регулярных лучевых полей являются асимптотическими разложениями решений рассматриваемых краевых задач, представляет собой трудную и в большинстве случаев еш,е не решенную проблему. Несмотря на отсутствие строгих доказательств, ни физики, ни математики не сомневаются в справедливости асимптотических формул лучевого метода. Эта уверенность основывается, во-первых, на том, что в ряде случаев такие доказательства все же получены (см. 6 гл. 1 и вводные замечания к гл. 10, где приводятся соответствуюш,ие ссылки), во-вторых, на том, что построение, формул лучевого метода согласуется с физическими представлениями о распространении коротких волн, и, в-третьих, на том, что эти формулы хорошо подтверждаются экспериментом. [c.11]

Используя отношение КЦу <С 1 в качестве малого параметра разложения (ввиду сложившейся традиции будем писать его без R как плотность /v = п), мы можем построить регулярный метод решения уравнений, полагая [c.306]

Развитие математического обеспечения в этом направлении оказало бы даже большее влияние на ирименение аналитических методов типа метода сращиваемых асимптотических разложений, чем на применение численных методов. Получение решений для возмущений высокого порядка при помощи ЭВМ, выполняющих алгебраические преобразования, могло бы стать вполне обычной задачей в случае регулярных возмущений, однако в газовой динамике много задач с сингулярными возму- [c.467]

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля—Грина (ВКВ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. [c.329]

Для таких решений источник вращения не может быть точечным. Если вернуться к постановке задачи с заданным распределением вектора скорости иа сфере радиуса / о, то для регулярности решения при х — необходимо положить Г1(а ) = 0, в результате чего получается постановка задачи Лойцяпского [90], в которой первым является динольный член разложения, характеризуемый заданием г-компоненты потока момента количества движения [c.288]

Асимптотику регулярного решения при г —> оо найдем с помош,ью разложения [c.369]

Использование последовательных итераций для решения уровней правдоподобия основывалось не предрположении, что во многих регулярных случаях для достижения хорошей аппроксимации будет достаточно осуществить только один итерационный цикл. Однако более поздние исследования показали, что может потребоваться несколько итерационных циклов для получения требуемой сходимости. Но главное даже не в этом. Анализ предложенных методов, основанных на разложении уровня правдоподобия в окрестности в, показывает, что они либо опираются на использование некоторых условий регулярности, либо могут порождать последовательности, которые не сходятся. [c.504]

Н. X. Арутюнян и С. М. Мхитарян [51] с использованием разложения по полиномам Чебышева и последующим применением метода Бубнова решили задачу вк Гючения для полуплоскости, к границе которой присоединено одно и два ребра. В случае двух ребер разобран отдельно случай симметричного и антисимметричного нагружения ребер. Периодическая контактная задача для полуплоскости с ребрами на границе сформулирована в работе [7]. Исходное интегральное уравнение регулярнзовано, и затем решение представлено в виде ряда Фурье. В итоге задача сведена к регулярной бесконечной системе алгебраических уравнений. В работе [8] рассмотрена задача о контакте двух полуплоскостей, соединенных полубесконечным ребром. Задача решена с учетом реакций нормального взаимодействия между ребром и пластинами и в итоге сводится к, системе двух сингулярных интегральных уравнений, которые решаются с помощью преобразования Меллина. Учет нормальных усилий взаимодействия приводит к таким же особенностям осциллящионного характера для реакций как и при вдавливании штампа с трением. [c.126]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что разложение Гильберта не дает равномерно пригодных решений. Это связано с тем, что параметр е входит в уравнение Больцмана сингулярным образом (полезно сравнить с неаналитическим характером решений уравнения е дЦд1 f = О при е = 0). Мы знаем также, что в определенных ситуациях уравнения невязкой жидкости нереалистичны и неприменимы хуже того, регулярные методы возмущений не позволяют исправить в следующих приближениях неудовлетворительные свойства описания газа как невязкой жидкости. Последняя трудность проявляется, в частности, при изучении (вязких) пограничных слоев и заключительной стадии эволюции в нестационарных задачах. [c.267]

В работе А. И. Златина [12], посвященной периодической задаче о дискообразных трещинах в цилиндре, рассмотрены сумматорные уравнения по однородным решениям, оставляющим цилиндрическую поверхность свободной от напряжений. Особенность проблемы заключается в том, что к парным уравнениям, отвечающим за смешанные граничные условия на торце, добавляется еще дополнительное сумматорное уравнение, выражающее условие отсутствия на торце цилиндра касательных напряжений кроме того, сами однородные решения не являются ортогональными. С помощью схемы доопределения и при использовании соотношения обобщенной ортогональности однородных решений сумматорные уравнения удалось свести к одному регулярному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Формальные выкладки, характерные для метода парных уравнений, обосновываются, опираясь на соответствующие теоремы разложения по однородным решениям для цилиндра (см. работу автора [13]). [c.117]

Изложим метод регулярных возмущений. Рассмотрим случай X > 1. При этом решение в главном определяется деформацией нокрытия. Из структуры уравнений (5.5) следует, что решение при А. < 1 нужно искать в виде асимптотических разложений [c.365]

Заключение. Таким образом, вопрос об орбитальной устойчивости регулярной прецессии Г риоли решен для почти всех допустимых значений параметров из области вс 0,01. Для оставшихся неисследованными шести точек Рк+18 ( = = 1, 2,..., 6), лежащих на кривых резонансов четвертого порядка, и для кривой изоэнергетической вырожденности при анализе устойчивости необходимо рассмотреть члены выше четвертой степени в разложении гамильтониана возмущенного движения в ряд. [c.544]

Система (35) — регулярно возмугценная, если рассматривать ее на конечных временах г 1. Будем отыскивать ее решение в виде разложения Пуанкаре, считая выполненными все необходимые для [c.186]

При изучении в плоскости годографа задач, связанных с обтеканием профиля, возникает необходимость иметь представление решения в виде суммы регулярной и сингулярных компонент. Эта форма должна соответствовать асимптотическому разложению вблизи образа бесконечно удаленной точки. Как уже упоминалось, отображение окрестности бесконечно удаленной точки течения с ненулевой циркуляцией в плоскость годографа взаимно однозначно. Казалось бы, для получения необходимой асимптотики достаточно по (3) произвести замену переменных г ъи в (2), (4) аналогично случаю несжимаемой жидкости, когда из формул [c.136]

Различные периодические и двоякопериодические задачи были рассмотрены В. И. Маховиковым [3.20—3.24]. Схема решения заключается в следующем. Обычным образом конструируются регулярные на внешности отверстий периодические функции Ф(г) и (г). Затем эти функции разлагаются в ряды Лорана в окрестности отверстия, содержащего начало координат, причем в тейлоровской части разложения удерживается п членов. Предполагая на время тейлоровские части разложений функции ф и г известными ), автор приходит к задаче, где областью является внешность одного отверстия. Эта задача легко решается методом Н. И. Мусхелишвили. Далее, найденные функции ф и г сравниваются с их исходными разложениями, откуда следует система уравнений относительно искомых коэффициентов в представлениях Аппеля для ф(г) и 11 (г). [c.260]

Пз рекуррентных формул для коэффициентов разложения решений в степенной ряд по степеням i — т следует, что все эти коэффициенты действительны, если все начальные значения (f = 1,. .., ш) и соответствующие коэффициенты разложения функций fk x) действительны. Будем считать, что это условие выполнено пусть также т действительно. Рассмотрим найденные решения Xk t) системы (1) для действительных i > т и допустим, что все функции Xk t) к = 1,. .., т) будут регулярными на открытом справа интервале т t < ti. Пусть далее вся кривая х = xit) принадлежит при т < t тому ограниченному замкнутому точечному множеству Р пространства гп измерений, на котором ш функций fk[x) комплексных переменных хг,. .., Хт регулярны. Пужно теперь показать, что вследствие теоремы существования Xk t) будут регулярными и в конечной точке t = t. [c.36]

НИИ данного решения при i > т вдоль действительной оси t и пусть их предельная точка ioo конечна. В интервале т i < ioo значение потенциальной функции U для всех t = tn бесконечно, а в остальных точках конечно. Можно утверждать, что U стремится к бесконечности, если i, оставаясь в этом интервале, стремятся к ioo- Действительно, в противном случае для заданного положительного числа А можно было бы указать возрастаюгцую сходягцуюся к ioo последовательность таких значений t, для которых U остается не больше А. Но тогда из заключительного утверждения 5 следует, что решение будет регулярно при t = = ioo, в то время как эта точка, как предельная точка особых точек i , сама должна быть особой. Поэтому U оо при i ioo и, следовательно, наименьшее из трех расстояний г 12, Г23, гзх стремится к нулю. Тогда из формулы Лагранжа (6 2) следует, что / > О в некотором достаточно малом интервале io i < ioo- Функция I при всех t = tn будет бесконечной. Уже было доказано, что I при t = ti п, следовательно, также при всех t = tn непрерывна слева таким же точно способом можно доказать правостороннюю непрерывность. Поэтому I в рассматриваемом интервале монотонно возрастает и непрерывна ввиду этого из (6 6) следует, что I при io i < ioo имеет положительную нижнюю грань. Отсюда, аналогично неравенствам (6 7), получаем, что при i ioo только одна из сторон треугольника Г13 = г стремится к нулю, в то время как остальные будут оставаться больше некоторых положительных пределов. Поэтому для бесконечно многих i , лежаш,их в этом интервале, каждый раз сталкиваются Pi и Р3, и для регуляризации при всех tn можно использовать одно и то же преобразование (7 4), (7 5), (7 30), (7 33). Пспользуя ранее введенные обозначения, можем утверждать, что функция С = хгр в соответствии с разложением (7 11) имеет предельное значение [c.71]

В, работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол при этом впервые удалось получить форму кривой нейтральных возмущений на плоскости (й, Ее), отделяющую область устойчивых возмущений от неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных потоков была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее, сложность используемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.28) приводит к тому, что еще до сих пор полученные результаты в некоторых отношениях нельзя считать окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имеют особенность точке г,. в которой (7(2) —с — О, в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Поэтому большой интерес представляет нахождение равномерно сходящихся асимптотических разложений, но построение таких разложений пока наталкивается на большие трудности (см., например. Линь и Бенни (1962)). [c.126]

В промежуточной области температур вариационная оценка является, естественно, интерполяционной. Ее успех во многом зависит от того, как выбран оператор Яо и какие в него включены вариационные параметры (в теории возмущений гамильтониан Щ таких параметров вообше не включает). Так как эти параметры затем определяются из уравнений минимизации, решения которых могут оказаться и не бесконечно гладкими функциями температуры и других термодинамических параметров, то появляется возможность описать (хотя и в вариационном приближении) фазовые переходы 1-го и 2-го родов, которые могут происходить в изучаемых системах именно в области промежуточных температур. Напомним, что для того, чтобы получить разрывную функцию, рассчитывая ее с помощью регулярного метода (в нашем случае с помощью низко- или высокотемпературных разложений), необходимо отсуммировать бесконечную последовательность членов ряда. [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...