Разложение регулярного решения уравнения М (дх, о)

Разложение регулярного решения уравнения термоупругости. Пусть и = (а, где и = ( /1, 2 з) — вектор упругого смещения, а 4 — температура,— есть регулярное решение однородного уравнения установившихся термоупругих колебаний. Это уравнение, как мы видели в I, 12, п. 3, имеет следующий вид [c.103]

Разложение регулярного решения уравнения М дх, сг) = 0. [c.111]

Если разыскивать регулярное решение уравнения (14) в виде полинома степени тг+1, то для получается алгебраическое уравнение четвертой степени с решениями = и п + 2 —тг + 1 —п—. Условие покоя на бесконечности обеспечивается, лишь когда в разложениях (12) все а > О, поэтому два последних корня должны быть отброшены, но две первые ветви собственных значений остаются. В рассматриваемом частном случае Ке == О эти ветви налагаются, так что мон но считать, что (14) имеет целочисленный двукратный спектр а = тг и каждому а соответствуют две регулярные собственные функции [c.279]

Допустим, что матрица потенциалов Vj постоянна при г <. R и обращается в нуль при r>R. Найти регулярное решение уравнения (16.75а) путем разложения в ряд в окрестности точки г = 0. [c.466]

Функция 5(s) регулярна, не обращается в нуль в комплексной плоскости S, разрезанной вдоль отрезка действительной оси от точки S = —до S = —Ь и стремится к единице при S-VOO. Разложение (6.18) является основой решения уравнения (6.15) методом Винера — Хопфа для неподвижной или распространяющейся с постоянной скоростью полубесконечной трещины. [c.496]

После регуляризации сингулярного уравнения решение регулярного интегрального уравнения строится либо, с помощью степенных разложений [6, 12], либо тригонометрических [8, 39]. Метод М. Г. Крейна [18, 19] использовал [c.286]

Неразрешимость краевой задачи (7), (10) в рамках принятых предположений означает неразрешимость полного уравнения конвективной теплопроводности (4) с полем скорости (1), (2), являющимся точным решением уравнений Навье — Стокса. Отсюда можпо было бы сделать выводы о том, что уравнение энергии и уравнения гидродинамики несовместимы Однако такой вывод является преждевременным, поскольку наши рассуждения существенно опирались на представление поля температуры в виде разложения по целым обратным степеням (5). В этой связи естественным является предположение о том, что парадокс неразрешимости связан с выбором разложения в виде (5), которое следует из условия аналитичности решений при В = >, тогда как для физически приемлемых решений достаточно их регулярности [46]. [c.263]

Используя отношение КЦу <С 1 в качестве малого параметра разложения (ввиду сложившейся традиции будем писать его без R как плотность /v = п), мы можем построить регулярный метод решения уравнений, полагая [c.306]

Заметим, что при малых о может быть построено регулярное асимптотическое разложение решения интегрального уравнения (3.19) в форме [c.412]

Упомянутое выше интегральное уравнение Фредгольма решается во всех рассмотренных конкретных случаях посредством сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения со t) в комплексный ряд Фурье. Исследование получающейся при этом системы, составляющее, как правило, весьма существенную часть решения задачи, показывает, что эта система во всех рассмотренных случаях регулярна при любых относительных размерах области. В случае, когда границы Ь и Ь не очень близки одна к другой, система оказывается вполне регулярной и допускает применение метода последовательных приближений. [c.578]

Для суммирования соответствующего билинейного разложения, определяющего ядро в (5.12), они использовали методы контурного интегрирования. В результате аналог интегрального уравнения в (5.12) у них оказался состоящим из двух интегральных операторов, одни нз которых с ядром Абеля. Используя затем обратный для интегрального оператора Абеля, они свели названное уравнение к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с регулярным ядром. Таким образом, точное решение парного уравнения (5.22) в отличие от (5.20) получить не удается. [c.62]

В проведенных преобразованиях выражения, определяющего а , предполагалось, что 8 = 1. Только при выборе знака плюс в выражении (1.18) получится решение, регулярное в точке р = 0. Учитывая уравнение (1.17) — разложение в ряд Ч р), вид решения волнового уравнения в оболочке и граничное условие на поверхности раздела сердце-вина — оболочка, получим дисперсионное уравнение [c.26]

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля—Грина (ВКВ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. [c.329]

Решение здесь ищется в виде регулярного асимптотического разложения (4.8.12) по обратным степеням малого параметра Ре . Для главного члена этого ряда справедливо уравнение, выведенное в работе [251]. Численное решение соответствующей задачи приводит к следующей зависимости для средней (по объему) безразмерной концентрации внутри капли [c.197]

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что разложение Гильберта не дает равномерно пригодных решений. Это связано с тем, что параметр е входит в уравнение Больцмана сингулярным образом (полезно сравнить с неаналитическим характером решений уравнения е дЦд1 f = О при е = 0). Мы знаем также, что в определенных ситуациях уравнения невязкой жидкости нереалистичны и неприменимы хуже того, регулярные методы возмущений не позволяют исправить в следующих приближениях неудовлетворительные свойства описания газа как невязкой жидкости. Последняя трудность проявляется, в частности, при изучении (вязких) пограничных слоев и заключительной стадии эволюции в нестационарных задачах. [c.267]

В работе А. И. Златина [12], посвященной периодической задаче о дискообразных трещинах в цилиндре, рассмотрены сумматорные уравнения по однородным решениям, оставляющим цилиндрическую поверхность свободной от напряжений. Особенность проблемы заключается в том, что к парным уравнениям, отвечающим за смешанные граничные условия на торце, добавляется еще дополнительное сумматорное уравнение, выражающее условие отсутствия на торце цилиндра касательных напряжений кроме того, сами однородные решения не являются ортогональными. С помощью схемы доопределения и при использовании соотношения обобщенной ортогональности однородных решений сумматорные уравнения удалось свести к одному регулярному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Формальные выкладки, характерные для метода парных уравнений, обосновываются, опираясь на соответствующие теоремы разложения по однородным решениям для цилиндра (см. работу автора [13]). [c.117]

В, работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол при этом впервые удалось получить форму кривой нейтральных возмущений на плоскости (й, Ее), отделяющую область устойчивых возмущений от неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных потоков была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее, сложность используемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.28) приводит к тому, что еще до сих пор полученные результаты в некоторых отношениях нельзя считать окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имеют особенность точке г,. в которой (7(2) —с — О, в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Поэтому большой интерес представляет нахождение равномерно сходящихся асимптотических разложений, но построение таких разложений пока наталкивается на большие трудности (см., например. Линь и Бенни (1962)). [c.126]

Н. X. Арутюнян и С. М. Мхитарян [51] с использованием разложения по полиномам Чебышева и последующим применением метода Бубнова решили задачу вк Гючения для полуплоскости, к границе которой присоединено одно и два ребра. В случае двух ребер разобран отдельно случай симметричного и антисимметричного нагружения ребер. Периодическая контактная задача для полуплоскости с ребрами на границе сформулирована в работе [7]. Исходное интегральное уравнение регулярнзовано, и затем решение представлено в виде ряда Фурье. В итоге задача сведена к регулярной бесконечной системе алгебраических уравнений. В работе [8] рассмотрена задача о контакте двух полуплоскостей, соединенных полубесконечным ребром. Задача решена с учетом реакций нормального взаимодействия между ребром и пластинами и в итоге сводится к, системе двух сингулярных интегральных уравнений, которые решаются с помощью преобразования Меллина. Учет нормальных усилий взаимодействия приводит к таким же особенностям осциллящионного характера для реакций как и при вдавливании штампа с трением. [c.126]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Изложим метод регулярных возмущений. Рассмотрим случай X > 1. При этом решение в главном определяется деформацией нокрытия. Из структуры уравнений (5.5) следует, что решение при А. < 1 нужно искать в виде асимптотических разложений [c.365]

Различные периодические и двоякопериодические задачи были рассмотрены В. И. Маховиковым [3.20—3.24]. Схема решения заключается в следующем. Обычным образом конструируются регулярные на внешности отверстий периодические функции Ф(г) и (г). Затем эти функции разлагаются в ряды Лорана в окрестности отверстия, содержащего начало координат, причем в тейлоровской части разложения удерживается п членов. Предполагая на время тейлоровские части разложений функции ф и г известными ), автор приходит к задаче, где областью является внешность одного отверстия. Эта задача легко решается методом Н. И. Мусхелишвили. Далее, найденные функции ф и г сравниваются с их исходными разложениями, откуда следует система уравнений относительно искомых коэффициентов в представлениях Аппеля для ф(г) и 11 (г). [c.260]

В промежуточной области температур вариационная оценка является, естественно, интерполяционной. Ее успех во многом зависит от того, как выбран оператор Яо и какие в него включены вариационные параметры (в теории возмущений гамильтониан Щ таких параметров вообше не включает). Так как эти параметры затем определяются из уравнений минимизации, решения которых могут оказаться и не бесконечно гладкими функциями температуры и других термодинамических параметров, то появляется возможность описать (хотя и в вариационном приближении) фазовые переходы 1-го и 2-го родов, которые могут происходить в изучаемых системах именно в области промежуточных температур. Напомним, что для того, чтобы получить разрывную функцию, рассчитывая ее с помощью регулярного метода (в нашем случае с помощью низко- или высокотемпературных разложений), необходимо отсуммировать бесконечную последовательность членов ряда. [c.351]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...